1、A P CDBPC G FBQADE初 二 数 学 经 典 题 型1 已 知 ： 如 图 ， P是 正 方 形 ABCD内 点 ， PAD PDA 150 求 证 ： PBC是 正 三 角 形 证 明 如 下 。首 先 ， PA=PD， PAD= PDA=（ 180 -150 ） 2=15 ， PAB=90 -15 =75 。在 正 方 形 ABCD 之 外 以 AD为 底 边 作 正 三 角 形 ADQ， 连 接 PQ， 则 PDQ=60 +15 =75 ， 同 样 PAQ=75 ， 又 AQ=DQ,， PA=PD， 所 以 PAQ PDQ，那 么 PQA= PQD=60 2=30 ， 在
2、PQA中 ， APQ=180 -30 -75 =75 = PAQ= PAB， 于 是 PQ=AQ=AB，显 然 PAQ PAB， 得 PBA= PQA=30 ，PB=PQ=AB=BC， PBC=90 -30 =60 ， 所 以 ABC是 正 三 角 形 。2.已 知 ： 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AD BC， M、 N 分 别 是 AB、 CD 的 中 点 ， AD、 BC 的 延 长 线交 MN于 E、 F 求 证 ： DEN F证 明 :连 接 AC,并 取 AC的 中 点 G,连 接 GF,GM.又 点 N为 CD的 中 点 ,则 GN=AD/2;GN AD, GNM
3、= DEM;(1)同 理 :GM=BC/2;GM BC, GMN= CFN;(2)又 AD=BC,则 :GN=GM, GNM= GMN.故 : DEM= CFN.3、 如 图 ， 分 别 以 ABC的 AC 和 BC为 一 边 ， 在 ABC的 外 侧 作 正 方 形 ACDE 和 正 方 形 CBFG，点 P是 EF的 中 点 求 证 ： 点 P 到 边 AB 的 距 离 等 于 AB 的 一 半 证 明 ： 分 别 过 E、 C、 F 作 直 线 AB 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 M、 O、 N，在 梯 形 MEFN中 ， WE平 行 NF因 为 P为 EF中 点 ， PQ平 行
4、于 两 底所 以 PQ为 梯 形 MEFN中 位 线 ，所 以 PQ （ ME NF） /2又 因 为 ， 角 0CB 角 OBC 90 角 NBF 角 CBO所 以 角 OCB=角 NBF而 角 C0B 角 Rt 角 BNFCB=BF所 以 OCB全 等 于 NBF MEA全 等 于 OAC（ 同 理 ）所 以 EM AO， 0B NF所 以 PQ=AB/2.4、 设 P 是 平 行 四 边 形 ABCD内 部 的 一 点 ， 且 PBA PDA 求 证 ： PAB PCB过 点 P作 DA的 平 行 线 ， 过 点 A 作 DP 的 平 行 线 ， 两 者 相 交 于 点 E； 连 接 B
5、EA N FE CD M B因 为 DP/AE， AD/PE所 以 ， 四 边 形 AEPD 为 平 行 四 边 形所 以 ， PDA= AEP已 知 ， PDA= PBA所 以 ， PBA= AEP所 以 ， A、 E、 B、 P 四 点 共 圆所 以 ， PAB= PEB因 为 四 边 形 AEPD为 平 行 四 边 形 ， 所 以 ： PE/AD， 且 PE=AD而 ， 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， 所 以 ： AD/BC， 且 AD=BC所 以 ， PE/BC， 且 PE=BC即 ， 四 边 形 EBCP也 是 平 行 四 边 形所 以 ， PEB= PCB所 以 ，
6、 PAB= PCB5.P 为 正 方 形 ABCD内 的 一 点 ， 并 且 PA a， PB 2a， PC=3a正 方 形 的 边 长 解 ： 将 BAP绕 B点 旋 转 90 使 BA 与 BC重 合 ， P点 旋 转 后 到 Q点 ， 连 接 PQ因 为 BAP BCQ所 以 AP CQ， BP BQ， ABP CBQ， BPA BQC因 为 四 边 形 DCBA是 正 方 形所 以 CBA 90 ， 所 以 ABP CBP 90 ， 所 以 CBQ CBP 90即 PBQ 90 ， 所 以 BPQ是 等 腰 直 角 三 角 形所 以 PQ 2*BP， BQP 45因 为 PA=a， P
7、B=2a， PC=3a所 以 PQ 2 2a， CQ a， 所 以 CP2 9a2， PQ2 CQ2 8a2 a2 9a2所 以 CP2 PQ2 CQ2， 所 以 CPQ是 直 角 三 角 形 且 CQA 90所 以 BQC 90 45 135 ， 所 以 BPA BQC 135作 BM PQ则 BPM是 等 腰 直 角 三 角 形所 以 PM BM PB/ 2 2a/ 2 2a所 以 根 据 勾 股 定 理 得 ：AB2 AM2 BM2 ( 2a a)2 ( 2a)2 5 2 2a2所 以 AB (5 2 2)a6.一 个 圆 柱 形 容 器 的 容 积 为 V立 方 米 ， 开 始 用 一
8、 根 小 水 管 向 容 器 内 注 水 ， 水 面 高 度 达 到 容 器高 度 一 半 后 ， 改 用 一 根 口 径 为 小 水 管 倍 的 大 水 管 注 水 。 向 容 器 中 注 满 水 的 全 过 程 共 用 时 间t分 。 求 两 根 水 管 各 自 注 水 的 速 度 。解 ： 设 小 水 管 进 水 速 度 为 x， 则 大 水 管 进 水 速 度 为 4x。A CB P DPA DCB由 题 意 得 ： txvxv 82解 之 得 ： tvx 85经 检 验 得 ： tvx 85 是 原 方 程 解 。 小 口 径 水 管 速 度 为 tv85 ， 大 口 径 水 管 速
9、 度 为 tv25 。7 如 图 11， 已 知 正 比 例 函 数 和 反 比 例 函 数 的 图 像 都 经 过 点 M（ 2， 1- ） ， 且 P（ 1- ， 2）为 双 曲 线 上 的 一 点 ， Q 为 坐 标 平 面 上 一 动 点 ， PA垂 直 于 x 轴 ， QB垂 直 于 y轴 ， 垂 足 分 别是 A、 B（ 1） 写 出 正 比 例 函 数 和 反 比 例 函 数 的 关 系 式 ；（ 2） 当 点 Q在 直 线 MO 上 运 动 时 ， 直 线 MO上 是 否 存 在 这 样 的 点 Q， 使 得 OBQ与 OAP面 积相 等 ？ 如 果 存 在 ， 请 求 出 点
10、 的 坐 标 ， 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；（ 3） 如 图 12， 当 点 Q 在 第 一 象 限 中 的 双 曲 线 上 运 动 时 ， 作 以 OP、 OQ 为 邻 边 的 平 行 四 边 形OPCQ， 求 平 行 四 边 形 OPCQ周 长 的 最 小 值 解 ： （ 1） 设 正 比 例 函 数 解 析 式 为 y kx ， 将 点 M（ 2 ， 1 ） 坐 标 代 入 得 12k = ， 所 以 正 比例 函 数 解 析 式 为 12y x=同 样 可 得 ， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 2y x=（ 2） 当 点 Q在 直 线 DO上 运 动 时 ，设
11、 点 Q 的 坐 标 为 1( )2Q m m， ，于 是 21 1 1 12 2 2 4OBQS OB BQ m m m = 创 = ，而 1 ( 1) ( 2) 12OAPS = - - = ，所 以 有 ， 21 14m = ， 解 得 2m图 图所 以 点 Q 的 坐 标 为 1(21)Q ， 和 2( 2 1)Q ，- -（ 3） 因 为 四 边 形 OPCQ是 平 行 四 边 形 ， 所 以 OP CQ， OQ PC，而 点 P（ 1 ， 2 ） 是 定 点 ， 所 以 OP的 长 也 是 定 长 ， 所 以 要 求 平 行 四 边 形 OPCQ周 长 的最 小 值 就 只 需 求
12、 OQ 的 最 小 值 因 为 点 Q 在 第 一 象 限 中 双 曲 线 上 ， 所 以 可 设 点 Q 的 坐 标 为 2( )Q n n， ，由 勾 股 定 理 可 得 2 2 224 2( ) 4OQ n nn n= + = - + ，所 以 当 22( ) 0n n- = 即 2 0n n- = 时 ， 2OQ 有 最 小 值 4，又 因 为 OQ 为 正 值 ， 所 以 OQ与 2OQ 同 时 取 得 最 小 值 ，所 以 OQ有 最 小 值 2由 勾 股 定 理 得 OP 5， 所 以 平 行 四 边 形 OPCQ周 长 的 最 小 值 是8.如 图 ， P 是 边 长 为 1
13、的 正 方 形 ABCD对 角 线 AC上 一 动 点 （ P 与 A、 C不 重 合 ） ， 点 E 在 射 线BC上 ， 且 PE=PB.（ 1） 求 证 ： PE=PD ； PE PD；（ 2） 设 AP=x, PBE 的 面 积 为 y. 求 出 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 x 的 取 值 范 围 ； 当 x 取 何 值 时 ， y取 得 最 大 值 ， 并 求 出 这 个 最 大 值 .解 ： （ 1） 证 法 一 ： 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AC为 对 角 线 ， BC=DC, BCP= DCP=45 . PC=PC， PBC PDC （
14、 SAS） . PB= PD， PBC= PDC.又 PB= PE ， PE=PD. （ i） 当 点 E 在 线 段 BC上 (E与 B、 C不 重 合 )时 ， PB=PE， PBE= PEB， PEB= PDC， PEB+ PEC= PDC+ PEC=180 ， DPE=360 -( BCD+ PDC+ PEC)=90 ， PE PD. ）（ ii） 当 点 E 与 点 C 重 合 时 ， 点 P 恰 好 在 AC 中 点 处 ， 此 时 ， PE PD.（ iii） 当 点 E 在 BC 的 延 长 线 上 时 ， 如 图 . PEC= PDC， 1= 2， DPE= DCE=90 ，
15、 AB CDP E1 2H PE PD.综 合 （ i） （ ii） （ iii） , PE PD.（ 2） 过 点 P 作 PF BC， 垂 足 为 F， 则 BF=FE. AP=x， AC= 2， PC= 2- x， PF=FC= xx 221)2(22 .BF=FE=1-FC=1-( x221 )= x22 . S PBE=BF PF= x22 ( x221 ) xx 2221 2 .即 xxy 2221 2 (0 x 2). 41)22(212221 22 xxxy . 21a 0， 当 22x 时 ， y最 大 值 41 .（ 1） 证 法 二 ： 过 点 P 作 GF AB， 分
16、别 交 AD、 BC于 G、 F. 如 图 所 示 . 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 四 边 形 ABFG和 四 边 形 GFCD 都 是 矩 形 ， AGP和 PFC都 是 等 腰 直 角 三 角 形 . GD=FC=FP， GP=AG=BF， PGD= PFE=90 .又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD （ SAS） . PE=PD. 1= 2. 1+ 3= 2+ 3=90 . DPE=90 . PE PD.（ 2） AP=x， BF=PG= x22 ， PF=1- x22 . S PBE=BF PF= x22 ( x221 ) xx 2221 2 .即
17、 xxy 2221 2 (0 x 2). 41)22(212221 22 xxxy .AB CP DEFAB CP DEFG1 23 21a 0， 当 22x 时 ， y 最 大 值 41 .9、 如 图 ， 直 线 y=k1x+b与 反 比 例 函 数 y=k2x 的 图 象 交 于 A（ 1， 6） ， B（ a， 3） 两 点 （ 1） 求 k1、 k2的 值 （ 2） 直 接 写 出 k1x+b-k2x 0时 x的 取 值 范 围 ；（ 3） 如 图 ， 等 腰 梯 形 OBCD中 ， BC OD， OB=CD， OD 边 在 x轴 上 ， 过 点 C 作 CE OD 于 点 E，CE
18、和 反 比 例 函 数 的 图 象 交 于 点 P， 当 梯 形 OBCD的 面 积 为 12 时 ， 请 判 断 PC和 PE 的 大 小 关 系 ，并 说 明 理 由 10、 如 图 12， 已 知 直 线 12y x 与 双 曲 线 ( 0)ky kx 交 于 A B， 两 点 ， 且 点 A的 横坐 标 为 4（ 1） 求 k的 值 ；（ 2） 若 双 曲 线 ( 0)ky kx 上 一 点 C的 纵 坐 标 为 8， 求 AOC 的 面 积 ；（ 3） 过 原 点 O的 另 一 条 直 线 l交 双 曲 线 ( 0)ky kx 于 P Q， 两 点 （ P点 在 第 一 象 限 ） ，若 由 点 A B P Q， ， ， 为 顶 点 组 成 的 四 边 形 面 积 为 24， 求 点 P的 坐 标 图 12O xAyB
