1、第五章 二次函数的知识点总结知识点一 二次函数的概念一般地，我们称 2y ax bx c ( 0, acba 是常数， )表示的函数为二次函数。其中x为自变量，y是x的函数。说明：（1）任何一个二次函数的表达式都可以化成 2y ax bx c ( 0, acba 是常数， )的形式，我们把 2y ax bx c ( 0, acba 是常数， )叫做二次函数的一般表达形式，我们往往据此判断一个函数是不是二次函数。（2）在一般式中，只有当 0a 时函数 2y ax bx c 才是二次函数。当 =0a 时，y bx c ，若 0b ，该函数是一次函数；若 0b ，则函数y c 是一个常数函数。知识点
2、二 二次函数自变量的取值范围一般地，二次函数 2y ax bx c ( 0, acba 是常数， )的自变量x可以是任意实数。提醒：在二次函数 2y ax bx c ( 0, acba 是常数， )中，x的取值范围是全体实数。对于实际问题，他的自变量的取值范围会有一定限制。知识点三 画函数 2y ax （ 0a ）的图像画二次函数图像的方法与前面学过的画一次函数及反比例函数的图像的方法相同，也分为列表、描点、连线三个步骤。列表时，所选取的x的值为0以及以0为中心的数值。所描的点越多，所选取数据的绝对值的差越小，则图形越精确。说明：一般只要描出5个点即可画出草图，在5个点中包括顶点（即坐标原点）
3、及对称轴两侧对应的两组坐标点，连线时与画反比例函数的双曲线一样，注意用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，及得二次函数的图像。画二次函数是要注意以下几点：（1）列表时，自变量的取值不能太大也不能太小，要统筹兼顾。（2）由于抛物线是对称图形，所以选点时自变量向对称轴两侧对称取值；（3）连线时，必须按从大到小或从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接，切记用线段连接，或漏点或跨点连接。（4）在同一坐标系内画多个图像时，要在恰当的位置表明函数表达式。知识点四 二次函数 2y ax （ 0a ）的图像和性质二次函数 2y ax （ 0a ）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
4、二次函数 2y ax （ 0a ）的性质可以通过下表来表示：函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值2y ax（ 0a ） 开口向上 （0,0） y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随x的增大而减小 当 0x 时，函数图形有最低点，及0最小值y2y ax（ 0a ） 开口向下 （0,0） y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随x的增大而增大 当 0x 时，函数图形有最低点，及0y 最大值说明：（1）抛物线 2y ax 的对称轴是x轴，顶点坐标是（0,0），这与的a符号无关。（2）在二次函数 2y ax （ 0a ）的图像中，抛物线的开口方向取决于a的符号：
5、0a ，抛物线开口向上， 0a ，抛物线开口向下；抛物线的开口大小取决于a，当a越大时，抛物线的开口越小，当a越小时，抛物线的开口越大。（3）二次函数的图像以对称轴为界，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反；顶点为“限”，在顶点处取最值。知识点五 二次函数 2y ax k （ 0a ）的图像和性质函数 2y ax k （ 0a ）a的符号 0a 0a 图像 0k 0k 开口方向 开口向上 开口向下对称轴 y轴 y轴顶点坐标 0,k 0,k函数的增减性 当 0x 时，y随x的增大而减小；当 0x 时，y随x的增大而增大 当 0x 时，y随x的增大而增大；当 0x 时，y随x的增大而减小最值
6、当 0x 时， ky 最小值 当 0x 时，y k最大值说明：（1）二次函数 2y ax k （ 0a ）的图像是顶点坐标为（0，k）的一条抛物线，大小和形状与 2y ax 相同，只是位置不同。（2）观察二次函数 2y ax k （ 0a ）与 2y ax （ 0a ）的图像可以看出：当 0k 时，把抛物线 2y ax 沿y轴向上平移k个单位就得到 2y ax k ；当 0k 时，把抛物线 2y ax 沿y轴向下平移k个单位就得到 2y ax k 。知识点六 二次函数 2( )y a x h （ 0a ）的图像和性质当 0h 时，次时函数为2y ax ，下面讨论 0h 的情况。函数 2- )y
7、 a x h（ （ 0a ） 2- )y a x h（ （ 0a ）a的符号 0a 0a 图像 0h 0h 对称轴 过点（h,0）且平行于y轴的直线 过点（h,0）且平行于y轴的直线顶点坐标 ,0h ,0h函数的增减性 当x h 时，y随x的增大而减小；当x h 时，y随x的增大而增大 当x h 时，y随x的增大而增大；当x h 时，y随x的增大而减小最值 当x h 时， 0y 最小值 当x h 时， 0y 最大值说明：（1）二次函数 2- )y a x h（ （ 0a ）的图像是顶点坐标为（h,0）的一条抛物线，形状、大小与 2y ax 相同，只是位置不同。（2）观察二次函数 2- )y a
8、 x h（ （ 0a ）与 2y ax 的图像可以得出：二次函数 2- )y a x h（ 0a ）的图像可由 2y ax 的图像左右移动得到：当h0时，把抛物线 2y ax 沿x轴向右平移得到；当h0时，把抛物线 2y ax 沿x轴轴向右平移h个单位长度可得抛物线 2- )y a x h（ ；O hy x O xy hyxh O h xxyO当h0时，把抛物线 2y ax 沿x轴轴向右平移h个单位长度可得抛物线 2- )y a x h（ 。知识点七 二次函数 2( )y a x h k （ 0a ）的图像和性质当 0h 时，函数为 2y ax k ；当 0k ,函数为 2- )y a x h
9、（ ； 当 0h 且 0k 时,函数为2y ax ；下面讨论 0k 时的情况，如下表：图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数增减性 最值0a 0h 0k 向上 （h,k） 过点（h,k）且平行于y轴的直线 在对称轴的左侧，即当 hx 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x h 时，y随 x 的增大而减小 当 hx 时，ky 最小值0k 0h 0k 0k 0a 0h 0k 向下 (h,k) 过点（h,k）且平行于y轴的直线 在对称轴的左侧，即当 hx 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x h 时，y随 x 的增大而增大 当 hx 时，y k最大值0k 0h 0k 0k 提醒
10、：（1）由于从 2( )y a x h k （ 0a ）中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把2( )y a x h k 叫做二次函数的顶点式。（2）一般地，抛物线 2( )y a x h k 与 2y ax 形状相同，位置不同。把抛物线 2y ax 的图像先向上（下）再向左（右）平移，可以得到抛物线 2( )y a x h k 的图像，平移的距离、方向要根据 kh, 的值来决定。（3）抛物线 2y ax 通过平移得到抛物线 2( )y a x h k 的方法：把抛物线先向右（h0）或向左（h0)或向下（k0）平移k 个单位，就得到抛物线 2( )y a x h k 。知识点八 二次函数
11、2y ax bx k （ 0a ）的图像和性质一般地，二次函数 2y ax bx c 可以配方成 2( )y a x h k 的形式，即22 4( )2 4b ac by a x a a 。它的性质列表如下：二次函数 2y ax bx c ）是常数，且（ 0, acba0a 0a 图像开口方向 向上 向下顶点坐标 ）（ abacab 44,2 2 ）（ abacab 44,2 2对称轴 过点 ）（ abacab 44,2 2 ，且平行于y轴的直线 过点 ）（ abacab 44,2 2 ，且平行于y轴的直线函数增减性 当 abx 2 时，y随x的增大而减小；当 2bx a 时，y随x的增大而增
12、大 当 abx 2 时，y随x的增大而增大；当 2bx a 时，y随x的增大而减小最值 当 2bx a 时，abacy 44 2最小值 当 2bx a 时，24 4ac by a最大值说明：研究二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图像和性质时，常转化为研究 2( )y a x h k 的yO x O xy图像和性质，而转化的具体方法就是公式法或配方法。知识点九 二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图像和性质二次函数 2y ax 、 2+y ax k 、 2( )y a x h 、 2( )y a x h k 的图像形状、大小相同，只是位置不同，它们都可以通过相互平移而得到。
13、提醒：（1）抛物线只有在a值相同的情况下可以相互平移。（2）抛物线平移与其变化式的关系可以概括为：左加右减，上加下减。（3）左右平移关系是变化在二次项内部（括号内部），上下平移关系式变化在二次项外部（括号外部）。知识点十 用待定系数法确定二次函数的表达式在求含有待定系数的二次方程表达式时，可以通过题中条件得到方程组，解出这些待定系数，从而得到函数表达式。说明：（1）当已知抛物线顶点坐标（h,k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为2( )y a x h k 求解。（2）当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为 1 2( )( )y a x x x x 求解，其中 21,xx
14、为抛物线与x轴交点的横坐标。知识点十一 二次函数与一元二次方程的关系（1） 当二次函数 2y ax bx c 与x 轴有两个交点 1 2( ,0)( ,0)x x 时，则一元二次方程2 0ax bx c 有两个根 1 2x x和 ，即此时 2 4 0b ac ；（2）当二次函数2y ax bx c 与 x 轴有一个交点 12( ,0)x 时，则一元二次方程2 0ax bx c 有一个根 12x ，即此时 2 4 0b ac ；（3）当二次函数 2y ax bx c 与x轴没有交点时，则一元二次方程 2 0ax bx c 没有实数根，即此时 2 4 0b ac 。知识点十二 建立二次函数模型求生活中最大（小）值问题在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积或获取最大经济利益或怎样求最简开支等问题，利用二次函数的图像和性质便可解决。提醒：1.通常把上述问题转化为求二次函数的最值问题。2.用求二次函数最值的方法解决问题步骤如下：（1）找等量：分析题目中的等量关系；（2）列式：列出函数表达式；（3）求最大（小）值：利用配方法把函数配成 2( )y a x h k 的形式，求出最值。
