1、- 1 -九年级数学圆知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行
2、于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；r内含（图 5） 无交点 ；drddCBAO- 2 -五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（
3、2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， O弧 弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ；
4、；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBAB 2C2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OD C推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90C 是直径90AB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，CO 是直角三角形或AB90COE DCBAOC DA BFEDC BAOCB
5、AOD CBAOCB AOCB AO- 3 -注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称
6、二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，ABCDP P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，O 2CEAB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线PEDC
7、BANM AOPBAOPO DCBAO EDCB AD EC BPAO- 4 - 2PACB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OE D十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点2 垂直平分1十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 2。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算
8、在 中进行：OABCRtBOD；:1:32D（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtAE:1:2AE（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tOB:3OB十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 2136Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V（2）圆锥侧面展开图（1） =侧表 底 2RrBAO1 O2 CO2O1BADCB AOECBA DOBAOS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC B
9、AO- 5 -OBACD（2）圆锥的体积： 213Vrh【考点例题分析】知识点一、圆的定义及有关概念例 P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_知识点二、平面内点和圆的位置关系例 如图，在 RtABC 中，直角边 3AB， 4C，点 E， F分别是 BC，AC的中点，以点 为圆心， 的长为半径画圆，则点 在圆 A 的_，点 F在圆 A 的_练: 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点 120m 以外的安全区域。这个导火索的长度为 18cm，那么点导火索的人每秒钟跑 6.5m 是否安全？分析：爆破时的安全区域
10、是以爆破点为圆心，以 120m 为半径的圆的外部，如图所示： O 120m 爆 破 中 心 安全区域 知识点三、圆的基本性质例 1:如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？例 2如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？AOB 与COD 呢？ OBA CE DF- 6 -BACBACDO知识点四、圆与三角形
11、的关系例 1:如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例 2: 如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（ ） A5 cm B2.5cm C3cm D4cm练习:1 如 图 ， 是 等 边 三 角 形 ， 是 上 任 一 点 ， 求 证 ：BDB2. CAD 所夹圆内部分 的 直 径 ， 过 点 有 两 条 弦 ， ， 求OAB2cmAC=2 cmDc3的面积。解：符合题设条件的图形有两种情况：知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离例 1如图，AB 为O 的直径，C 是O 上
12、一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB=A（1）CD 与O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与O 相切，且D=30，BD=10，求O 的半径- 7 -EDOAB CF例 2.如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC，交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F求证：DE 是O 的切线；例 3：如图，ABC 的内切圆O 与 BC、AB、AC 分别相切于点 D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求 AE、BD、CF 的长。例 4:如图所示，EB、EC 是O 的两条切线，B、C 是切点
13、，A、D 是O 上两点， 如果E=46，DCF=32，求A 的度数知识点六、圆与圆的位置关系例:如图所示，点 A 坐标为（0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1） 若点 B 坐标为（4，0） ，B 半径为 3，试判断A 与B 位EDCBA OB ACEDOF_A_y_x_O- 8 -置关系；（2）若B 过 M（2，0）且与A 相切，求 B 点坐标知识点七、正多边形和圆例:在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池 DEFN，其中 D、E 在 AB 上，如图
14、2494 的设计方案是使 AC=8，BC=6（1）求ABC 的边 AB 上的高 h（2）设 DN=x，且 DNFAB，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积例 1已知扇形的圆心角为 120，面积为 300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？- 9 -BCAPO典题分析1.如图，从点 P 向O
15、引两条切线 PA，PB，切点为 A，B，AC 为弦，BC 为O的直径，若P=60，PB=2cm，求 AC 的长2.如图，已知扇形 AOB 的半径为 12，OAOB，C 为 OB 上一点，以 OA 为直线的半圆 O 与以 BC为直径的半圆 O 相切于点 D求图中阴影部分面积3. 如图，在平面直角坐标系中，C 与 y 轴相切，且 C 点坐标为（1，0） ，直线 过点 A（l1，0） ，与C 相切于点 D，求直线 的解析式。l4.如图.某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16的航行达到，达到后必须立即卸货。此时接到气象部门的通知，一台风中心正以 40 海里
16、h时的速度由 A 向北偏西 的方向移动，距台风中心 20060海里的圆形区域（包括边界）均回受到影响。问： 3 题- 10 -(1）.B 处是否回受到台风的影响？请说明理由： (2).为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ (供选用数据：)21.4,3.75.如图，已知一底面半径为 r，母线长为 3r的圆锥，在地面圆周上有一蚂蚁位于 A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径的长. 5 题图检测一一、选择题1在ABC 中，C=90，AB3cm，BC2cm,以点 A 为圆心，以 2.5cm 为半径作圆，则点 C 和A 的位置
17、关系是（ ） 。AC 在A 上 C 在A 外 CC 在A 内 C 在A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm,则圆的半径为（ ） 。A16cm 或 6cm 3cm 或 8cm C3cm 8cm3AB 是O 的弦，AOB80则弦 AB 所对的圆周角是（ ） 。A40 140或 40 C20 20或 1604O 是ABC 的内心，BOC 为 130，则A 的度数为（ ） 。A130 60 C70 805如图 1，O 是ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，已知A = 100，C = 30，则DFE 的度数是（ ） 。A55 60 C65 706如图 2，边长为
18、12 米的正方形池塘的周围是草地，池塘边 A、B、C、D 处各有一棵树，且 AB=BC=CD=3米现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ） 。A A 处 B B 处 CC 处 DD 处图 1 图 27已知两圆的半径分别是 2 和 4，圆心距是 3，那么这两圆的位置是（ ） 。- 11 -A内含 内切 C相交 外切8已知半径为 R 和 r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ） 。ARr C 2R2+r2 R+r Rr9已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则圆锥的侧面积为（ ） 。10 B12 15 2010如果在一个顶点周围用两个正
19、方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则 n 的值是（ ） 。A3 B4 C5 D6 11下列语句中不正确的有（ ） 。相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧A3 个 2 个 C1 个 4 个12先作半径为 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，则按以上规律作出的第 8 个外切正六边形的边长为（ ） 。A C 7)32(8)32(7)23(8)23(13如图 3，ABC 中，C=90，BC=4，AC=3，O 内切于ABC ，则阴影部分面积为( )A12- 12-2
20、 C14-4 6-14如图 4，在ABC 中，BC 4，以点 A 为圆心、2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC于 F，点 P 是A 上的一点，且EPF40，则图中阴影部分的面积是（ ） 。A4 B4 C8 D8 9994915如图 5，圆内接四边形 ABCD 的 BA、CD 的延长线交于 P，AC、BD 交于 E，则图中相似三角形有（ ） 。A2 对 3 对 C4 对 5 对 图 3 图 4 图 5二、填空题1两圆相切，圆心距为 9 cm，已知其中一圆半径为 5 cm，另一圆半径为_.2两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为 6，则两圆围成的环形面积为_。3边长
21、为 6 的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_。4同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_。5矩形 ABCD 中，对角线 AC4，ACB30，以直线 AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_。6.扇形的圆心角度数 60，面积 6，则扇形的周长为_。7圆的半径为 4cm，弓形弧的度数为 60，则弓形的面积为_。8在半径为 5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为 6cm，另一条弦长为 8cm，则两条平行弦之间的距离为_。9如图 6，ABC 内接于O，AB=AC，BOC=100，MN 是过 B 点而垂直于 OB 的直线，则- 12 -ABM=_，CBN=_；10如图 7，在矩形 ABCD 中，
22、已知 AB=8 cm，将矩形绕点 A 旋转 90，到达 ABCD的位置，则在转过程 中，边 CD 扫过的(阴影部分)面积 S=_。图 6 图 7三、解答下列各题1如图，O 1的圆心在O 的圆周上，O 和O 1交于 A，B，AC 切O 于 A，连结 CB，BD 是O 的直径，D40求：A O 1B、ACB 和CAD 的度数。2 如图，已知扇形 OACB 中，AOB120，弧 AB 长为 L4，O和弧 AB、OA、OB 分别相切于点 C、D、E，求O 的周长。3如图，半径为 2 的正三角形 ABC 的中心为 O，过 O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。4如图，ABC 的CRt，B
23、C4，AC3，两个外切的等圆O 1，O 2各与 AB，AC，BC 相切于F，H，E，G，求两圆的半径。- 13 -5如图，AB 为O 直径，BC 切O 于 B，CO 交O 交于 D，AD 的延长线交 BC 于 E，若C = 25，求A 的度数6如图，AB 是 OD 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AEBF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明7如图，P 为正比例函数 图象上的一个动点，P 的半径为 3，设点 P 的坐标为（ ， ） xy23 xy（1）求P 与直线 相切时点 P 的坐标；- 14 -检测二一 选择题1、如图， OA中，弦 B的长为 6cm
24、，圆心 O到 AB的距离为 4cm，则 OA的半径长为（ C ）A3cm B4cm C5cm D6cm2、如图，点 C， ， 都在 A上，若 34 ，则 的度数为（ ）A 34 B 56 C 60 D 683、已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧 上不同于点 C 的任意一点，则BPCCD 的度数是（ ）A45 B60 C75 D904、圆的半径为 13cm，两弦 AD ， 24cmB， 10c，则两弦 AB， 的距离是（ ） 7 7 1 7或 m5、O 的半径是 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则直线 a 与O 的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交 D内
25、含6、如图，已知扇形 ， AD的半径之间的关系是 12BA，则 C的长是 AD长的（ ） 12倍 2倍 14倍 4倍7、如图，已知 EF是 O的直径，把 为 60的直角三角板 的一条直角边 B放在直线 EF上，斜边 AB与 交于点 P，点 B与点 重合；将三角形 ABC沿 OE方向平移，使得点 与点 重合为止设 x ，则 的取值范围是（ ） 6012 306x 39 12 8、若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为 10 cm、深约为 2 cm 的小坑，则该铅球的直径约为( )A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm 9、如图是一个零件示意图，A、B
26、、C 处都是直角， AMN是圆心角为 90 的弧，其大小尺寸如图标示MN的长是（ ） O CBAPODCBA(第 3 题图)CBD第 6 题第 1 题图 第 2 题图- 15 -（A） （B） 32 （C）2 （D）410、如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去 13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠） ，那么这个圆锥的高为（ ）A6cm B 35cm C8cm D 53cm二、填空题（每题 3 分，共 30 分）11、如图，AB 切0 于点 B，AB=4 cm，AO=6 cm，则O 的半径为 cm12、如图，点 A， 是 O上两点， 10A，点 P是 A上的动点（ P
27、与 AB， 不重合） ，连结P，过点 分别作 E于 ， FB于 ，则 EF 13、已知，如图：AB 为 O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC45 0。给出以下五个结论：EBC22.5 0， ； BDDC；AE 2EC ；劣弧是劣弧 D的 2 倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。14、两圆的半径分别为 3 和 5，当这两圆相交时，圆心距 d的取值范围是 。15、已知一个圆锥体的底面半径为 2，母线长为 4，则它的侧面展开图面积是 （结果保留 ）16、如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB已知半径 60cmOA， 108B ，则管道的长度（即 AB的长
28、）为 cm （结果保留 ）17、O 的半径为 3cm，B 为O 外一点，OB 交O 于点 A，AB=OA，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P 运动的时间为 s 时，BP 与O 相切18、已知 1A、 2的圆心距 12=5，当 1与 2相交时，则 1O的半径 R=_ 2的半径 r=_ （写出一组满足题意的 R 与 r 的值即可）19、如图，在 6的网格图中（每个小正方形的边长均为 1 个单位）， 的半径为 1， BA的半径为 2，要使 A与静止的 B相3 73 C ABMN7 第 9 题图O F CAPE （B）第 7 题图第 1
29、0 题图ABOFPE第 12 题图A B60cm18O第 11 题图 第 16 题图第 13 题图A B第 19 题- 16 -切，那么 A由图示位置需向右平移 个单位20、如图， 1P是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 1P的左下端剪去一个半径为 12的半圆后得到图形 2P，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 34,nP ，记纸板n的面积为 nS，试计算求出 2S ； 3S ；并猜想得到 1nS 2。三、解答题21、如图，已知 AB是 O的直径， AC是弦， D切 OA于点 C，交 B的延长线于点 D，120CD， （1）求证： ；（2）求 的半径22、如图，
30、 A是半径为 12cm的 OA上的定点，动点 P从 A出发，以 2cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点 P回到 地立即停止运动（1）如果 90，求点 P运动的时间；（2）如果点 B是 延长线上的一点， B，那么当点 运动的时间为 s时，判断直线 与 OA的位置关系，并说明理由23、如图 1，在等边ABC 中，ADBC 于点 D，一个直径与 AD 相等的圆与 BC 相切于点 E、与 AB 相切于点 F，连接 EF . 判断 EF 与 AC 的位置关系( 不必说明理由)；（第 20 题） ABO第 21 题图第 22 题图- 17 - 如图 2，过 E 作 BC 的垂线，交圆于 G，连接 AG. 判断四边形 ADEG 的形状，并说明理由； 求证：AC 与 GE 的交点 O 为此圆的圆心. 图 1 图 2第 23 题图
