1、【高考地位】在直线 与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一 判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第 一步 假设这样的对称点 A、B 存在，利用对称中的垂直关系设出两点 A、B 所在的直线方程；第二步 联立 AB 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点 C 的坐标；第三步 把 C 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步 利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.例 1. 已知
2、椭圆 C：3x 24y 2=12,试确定 m 的取值范围，使得对于直线 l：y=4xm，椭圆 C 上有不同两点关于这条直线对称.解得： 0x 2x2(1)0axa得 。a34点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用求出参数范围.当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.【变式演练 3】如图倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点28yxFAB，（）求抛物线的焦点 的坐标及准线 的方程；Fl（）若 为锐角，作线段 的垂直
3、平分线 交 轴于点 ，证明 为定值，并求此ABmPcos2P定值（II）解法一：作 ， ，来源:学&科&网 Z&X&X&KAClBDl垂足分别为 ，则由抛物线的定义知， F记 的横坐标分别为 ， ，AB， AxB则 cos22ppCF，解得 cos441s类似地有 ，解得 FBcoB记直线 与 的交点为 ，则mAE1()2FABFAEF2144cos2cos1sin所以 2iFEP故 2244sincos(1cos)8inFP【高考再现】1. 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知直线 ，抛物线:20lxy2:y(0)Cpx（1）若直线 l
4、 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；(2,).p求 p 的取值范围.【答案】 （1） （2） 详见解析，xy8)34,0(（2）设 ，线段 PQ 的中点12(x,y)(,)PQ0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ,ll于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为.yxb由 消去 得2ypxb20(*)ypb因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 ，化简得 .2()4()0pb0pb方程（*）的两根为 ，从而21,2y
5、120.yp因为 在直线 上，所以0(x,)Ml0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2,).因为 在直线 上(2,).pyxb所以 ，即b2.p由知 ，于是 ，所以20p()04.3p因此 的取值范围为 4(,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值
6、范围2. 【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交C2yxFx12,l于 两点，交 的准线于 两点C,ABCPQ，（I）若 在线段 上， 是 的中点 ，证明 ；FARARQ（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.BFB【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】（）由于 在线段 上，故 .FAB01ab记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ，AR1kQ2k 2211kbaba所以 . 5 分（）设 与 轴的交点为 ，lx)0,(1xD则 .2,221 baSabFabSPQFABF 由题设可得 ，所以 （舍去） ， .1x01x1x
7、设满足条件的 的中点为 .),(yE当 与 轴不垂直时，由 可得 .而 ，所以 .ABxDABk)(12xybayba2)1(2x当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . 12 分1考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】 （1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法） ，利用代入法求解时必须找准主动点与从动点3. 【2016 湖南六校联考，理 12】已知 分别为椭圆 的左、右顶点，不同两,AB2:1(0)xyCab点 在椭圆 上，且关于
8、轴对称，设直线 的斜率分别为 ，则当,PQCx,PQ,mn取最小值时，椭圆 的离心率为（ ）21lnbamA B C D323122【答案】D【解析】设点 则 ， ，从而 ，0(,)Pxy201ab2bmna1ln2amb22lnbab设 ，令 ，则 即 ， ，当且仅当2ba()ln()2fxmax2(),()fxff2ab即 取等号，取等号的条件一致，此时 ， 故选 Db21 21be2e4. 【2016 江西师大附中、鹰潭一中一联，理 20】已知抛物线 C 的标准方程为 ，M 为抛)0(pxy物线 C 上一动点， 为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N当 A 为抛)
9、0(,aA物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，MON 的面积为 18（1）求抛物线 C 的标准方程 ；（2）记 ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，ANt1若没有，请说明理由（） 时， ， 同号，又 ，0a120ya 12y ， 2211|tAMNmyy，2122222()4mtmyagg不论 a 取何值，t 均与 m 有关， 即 时，A 不是“ 稳定点”；05. 【2016 高考四川文科】在平面直角坐标系中， 当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴随点 ”为；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点 ”为它自身，现有下列命题：
10、22(,)yxPx若点 A 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .【答案】【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问 题 时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的
11、点的坐标，然后判断，问题就得以解决6. 【2016 高考新课标 1 文数】 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛xO物线 C： 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.2(0)ypx（I）求 ；OHN（II）除 H 以外 ,直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 .【答案】 （I）2（II ）没有【解答】试题分析：先确定 , 的方程为 ,代入 整理得 ,解得 ,)(2tpNOxtpypxy202xt1,得 ,由此可得 为 的中点,即 .（II ） 来源:ptx2)(2tHH|ON把直线 的方程
12、,与 联立得 ,解得 ,即直线 与Mxtpyxy20422tyty21MH只有一个公共点,所以除 以外直线 与 没有其它公共点 . CMC考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多 的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【反馈练习】1. 【2015 届湖北省襄阳四中等四校高三下学期期中理科数学试卷】已知点 M
13、到点 的距离比到点 M(2,0)F到直线 的距离小 4；60x（）求点 M 的轨迹 C 的方程；（）若曲线 C 上存在两点 A，B 关于直线 l: 对称，求直线 AB 的方程124yx【答案】 （） （）28yx450【解析】试题分析： （1）结合图形知，点 M 不可能在 轴的左侧，由抛物线的定义可知 M 的轨迹是抛物线，y其中 4p（2）由点差法及 的斜率为4 可得 ，可得 中点的坐标为 ，ABl 12AB(4,1)即 ，注意检验:1()ABlyx50xy试题解析：（1）结合图形知，点 M 不可能在 轴的左侧，即 M 到点 的距离等于 M 到直线 的y(2,0)F2x距离 M 的轨迹是抛物线
14、， 为焦点， 为准线 M 的轨迹方程是：(2,0)F2x28y（2）设 则 相减得 12(,)(,AxyB218,y121212()()yx又 的斜率为4 则 Bl1)41y中点的坐标为 ， 即(,:(4)ABlx50xy经检验，此时， 与抛物线有两个不同的交点，满足题意ABl考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系. 2 【2014 届北京四中高三数学二模理科数学试卷】设 是椭圆 上不关于坐标轴对称的,AB2: 143xyW两个点，直线 交 轴于点 （与点 不重合） ，O 为坐标原点. ABxM,（1）如果点 是椭圆 的右焦点，线段 的中点在 y 轴上，求直线 AB 的方程； W（2）
15、设 为 轴上一点，且 ，直线 与椭圆 的另外一个交点为 C，证明：点 与点Nx4ONAB关于 轴对称 .C【答案】 （1）直线 （即 ）的方程为 或 ； （2）详见解析ABM30xy340xy【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出点 的坐标为 ，由此能求出直线 （即 ）的方B(1,)2ABM程 （2）设点 关于 轴的对称点为 （在椭圆 上） ，要证点 与点 关于 轴对称，只要证点 与Bx1WCx1B点 C 重合，又因为直线 与椭圆 的交点为 C（与点 不重合） ，所以只要证明点 ， ， 三点共ANAN线即可（2）设点 关于 轴的对称点为 （在椭圆 上） ，Bx1BW要证点 与点 关于 轴对称
16、，C只要证点 与点 C 重合，.1又因为直线 与椭圆 的交点为 C（与点 不重合） ，ANA所以只要证明点 ， ， 三点共线. 7 分1B以下给出证明：由题意，设直线 的方程为 , , ，则 . A(0)ykxm1()Axy2(,)B12(,)xy由 2341,xykm得 ， 9 分22()8410x所以 ，(3)kk， . 10 分12284mx214x在 中，令 ，得点 的坐标为 ，yk0yM(,0)mk由 ，得点 的坐标为 ， 11 分OMN4(,)所以 ，所以点 ， ， 三点共线，即点 与点 关于 轴对称. 14 分10NABkAN1BBCx考点：直线与椭圆综合问题3 【2017 届河
17、南豫北名校联盟高三理上精英对抗赛数学试卷】已知点 是椭圆 上任意一点，点 到直线 : 的距离为 ，到点 的距离为 ，且PCP1l2x1d(,0)F2d，直线 与椭圆 交于不同两点 、 （ 、 都在 轴上方） ，且 .21dl ABx180OAFB（1）求椭圆 的方程；C（2）当 为椭圆与 轴正半轴的交点时，求直线 方程；Ayl（3）对于动直线 ，是否存在一个定点，无论 如何变化，直线 总经过此定点？若存在，求出该定l OFAl点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（ 2） ；（3）存在， .21xy1yx2,0M【解析】试题分析：（1）设 ，则 ， ，代入 化简得 ；(,)Pxy
18、12dx21xy21d21xy（2）先求得 ，得到直线 的方程，代入椭圆方程求得 ，进而求得直线1,AFBkBF4,3B的方程；（3）直线 方程 入 ，写出根与系数关系，代入 ，化Bykxb21y0AFBk简得 所以直线 方程为 ，直线 总经过定点 .来源:20bkABl2,0M代入 解，得 （舍） , 21xy0,1xy4,31,xy1B， .即直线 的方程为 . 3420ABk:2ABxl12yx 12211212=kxbkxbkxbxb220kk ，0b直线 方程为 ，直线 总经过定点 . AB2ykxl2,0M考点：直线与圆锥曲线位置关系.来源:4 【2017 届河北定州中学高三高补班
19、上周练一数学试卷】已知椭圆 C1： 1 （ab0）的离心2xy率为 ，P（ 2，1）是 C1上一点来源:3（1）求椭圆 C1的方程；（2）设 A、B、Q 是点 P 分别关于 x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于 AB 的直线 l 与 C1相交于不同于P、Q 的两点 C、D.点 C 关于原点的对称点为 E证明：直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形【答案】 （1） ；（2）证明见解析.218xy【解析】试题分析：（1）本小题要求椭圆标准方程，由离心率可得 ，再把点 坐标代入 ，2ab2,121xyab又得 ， 的一个方程，两者联立可解得 ， ；（2）设直线 、 的斜率分别为 ，
20、 ，则要证直ababPDE1k2线 、 与 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证 ，为此先得 ， ，从PDEy 120k,A,而有 ，于是可设直线 方程为 ，同时设 ， ，由直线 方程与椭圆方12kAl12yxtC,xy2,xyl程可得 ， ，计算 ，可得结论1x1212k（2）由题设知 A、B 的坐标分别为（2，1），（2，1）因此直线 l 的斜率为 .设直线 l 的方程为：y x t.2由 得：x 22tx2t 240.218ty当 0 时，不妨设 C（x 1，y 1），D（x 2，y 2），于是 x 1x 22t，x 1x22t 24.设直线 PD、PE 的斜率分别为 k1，k 2，则要证
21、直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1k 20，所以直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.5 【2016 江西师大附中、鹰潭一中一联】已知抛物线 C 的标准方程为 ，M 为抛物线 C 上)0(2pxy一动点， 为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N当 A 为抛物线 C 的)0(,aA焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， MON 的面积为 18（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）记 ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，ANt1若没
22、有，请说明理由【解析】 （）由题意， ， ，211| 1822MONpSA 6p抛物线 C 的标准方程为 2yx6 【2016 湖南六校联考】已知 分别为椭圆 的左、右顶点，不同两点,AB2:1(0)xyCab在椭圆 上，且关于 轴对称，设直线 的斜率分别为 ，则当,PQCx,PQ,mn取最小值时，椭圆 的离心率为（ ）21lnbamA B C D323122【答案】D【解析】设点 则 ， ，从而 ，0(,)Pxy201ab2bmna1ln2amb22lnbab设 ，令 ，则 即 ， ，当且仅当2ba()ln()2fxmax2(),()fxff2ab即 取等号，取等号的条件一致，此时 ， 故选 Db21 21be2e
