1、第六节 三角函数的图象与性质（）,基础梳理,典例分析,题型一 三角函数y=Asin(x+)的图象,分析（1）由振幅、周期、初相的定义即可解决. （2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点. （3）只要看清由谁变换得到谁即可.,【例1】已知函数y=2sin(2x+ ).（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；（3）说明y=2sin(2x+ )的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,解 (1)y=2sin 的振幅A=2,周期T= =,初相= .(2)令x= ,则y=2sin =2sin x.列表，并描点画出图象:,(3)方法一：把y=sin x的
2、图象上所有的点向左平移 个单位，得到y=sin 的图象，再把y=sin 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）,得到y=sin 的图象，最后把y=sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin 的图象.方法二：将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移 个单位,得到y=sin =sin 的图象；再将y=sin 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin 的图象.,举一反三,学后反思 （1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个
3、周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象.（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x+= 来确定平移单位.,1. 已知函数y= (xR).（1）用“五点法”画出它的图象；（2）求它的振幅、周期及初相；（3）说明该函数的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,解析:（1）y=2sin ，令x= ，列表如下：描点连线：,题型二 三角函数y=Asin(x+)的解析式,【例2】下图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.,（2）振幅A=2,周期T=4，初相为 .（3）将y=sinx图象上各点向左平移 个单位，得到y=sin的图
4、象，再把y=sin 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin 的图象，最后把y=sin 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y=2sin 的图象.,分析 首先确定A.若以N为五点法作图中的第一零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sin x的图象），所以A0; 若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sin x的图象），所以A0.而= ,可由相位来确定.,解 方法一：以N为第一个零点，则A=-3,T=2,此时解析式为y=- sin(2x+).点N(- ,0)在图象上，- 2+=0 = ，所求解析式为y= ,方法二：以点M( ,0)为
5、第一个零点，则A= ,= =2,解析式为y= sin(2x+)，将点M( ,0)代入得:2 +=0所求解析式为y=,学后反思 (1)本例中与这两个解析式是一致的，由可得. 同样由也可得.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一零点”的确定是很重要的，尽量使A取正值，由f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法:如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由= 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标 ,则令 +=0（或 +=）即可求出.,举一反三,代入点的坐标.利用
6、一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式,再结合图形解出和.若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.（3）利用图象特征确定函数解析式y=Asin(x+)+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：振幅A= .相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长为 ，由此推出的值.确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.,2. 函数y=Asin(x+)0,| ,xR的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A. y=-4sin B. y=-4sinC. y=4sin D. y=4sin,答案：B,题型三 三角函数y=Asin(x+)模型,【例3】某港口
7、的水深y(米)是时间t(0t24,单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：,解析：由图象可知，A=-4, =8, =16,= ,设y=-4sin ,代入最低点坐标（2,-4）,可得sin =1, =2k+ （kZ）,=2k+ （kZ）,满足条件的一个是k=0,即= ,y=-4sin .,分析 (1)从拟合曲线可知函数y=Asin t+b的周期；由t=0时的函数值,t=3时取得最大值，进而可求出、A、b的值，即得函数的表达式.（2）根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5(米)的时段，从而可回答题中的两问.,解 (1)从拟合曲线可知：函数y=Asin t+b在一个周
8、期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12，因此 =12,= .又当t=0时，y=10; 当t=3时， =13，b=10,A=13-10=3.于是所求的函数表达式为y=3sin t+10.,（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）.由拟合曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.令 可得2k+ 2k+ （kZ）,12k+1t12k+5(kZ).取k=0，则1t5,取k=1，则13t17;
9、而取k=2时，则25t29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.,学后反思 由于一天24小时中，港口的水深变化是周期性的，且变化两个周期，因此我们计算船舶在港内停留的时间时不要只限制在一个周期内，应该在两个周期内考虑.,举一反三,3. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.,(1)用一个三角函数来近似描述这个港
10、口的水深与时间的函数关系；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（若sin =0.2，则=0.201 4，取3.14）,解析： （1）以时间x为横坐标，以水深y为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接（如图）.根据图象，可以考虑用函数y=Asin(x+)+h刻画水深y与时间x的关系，从数据和图象可以看出，A=2.5，h=5,T=12,=0,= ,y=2.5sin x+5.,(2)货船需要的安全水深为5.5米，y=2.5sin x+55.5时就可以通过（如图所示）.令2.5sin x+5
11、=5.5,sin x=0.2，由图象可知， x=0.201 4或- x=0.201 4, ,由周期T=12，因此，货船应在0时30分左右进港，早晨5时30分左右离开,或12时30分左右进港，17时30分左右离开.,题型四 三角函数y=Asin(x+)的综合应用,【例4】(12分)(2008山东）已知函数f(x)= sin(x+）-cos(x+)(00)为偶函数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 .(1)求f( )的值；(2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
12、,分析 (1)先把函数化成f(x)=Asin(x+)的形式，再利用奇偶性和对称性求出函数f(x)的解析式，进而求出f( ).(2)利用函数图象的变换确定出新函数y=g(x)的解析式，再求出其单调递减区间.,解 (1) .3因为f(x)为偶函数，所以任意对xR,f(-x)=f(x)恒成立， ，.5即整理得 .6因为0且xR,所以 .又因为00, )的最小正周期为，且其图象关于直线x= 对称，则有下面四个结论：图象关于点 对称；图象关于点 对称在 上是增函数；在 上是增函数.所有正确结论的编号为 .,解析 T=，=2.又 ,由图象及性质可知正确.,答案: ,11. （2009潍坊模拟）已知函数 .
13、(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）在所给坐标系中画出函数在区间 的图象（只作图不写过程）.,解析：(1)函数f(x)的最小正周期T= =，令 函数f(x)的单调递减区间为,(2),12. (2009陕西)已知函数f(x)=Asin(x+),xR(其中A0,0, )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为M .（1）求f(x)的解析式；（2）当x 时，求f(x)的值域.,解析：（1）由最低点为M 得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为 得 ，即T=,= .由点M 在图象上，得 =-2,即 (2) 当 ，即x= 时，f(x)取得最大值2；,当 即x= 时，f(x)取得最小值-1.f(x)的值域为-1，2.,
