1、方程组与不等式组（一）中考考点复习 练习题考点 11 一元一次方程温故而知新：1.等式的概念及性质等式：表示相等关系的式子叫做等式.等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍相等.（2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得的结果仍是等式.2.一元一次方程及相关概念方程：含有未知数的等式叫做方程.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根.解方程：求方程解的过程叫做解方程.一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程.一元一次方程的一般形式 ：a
2、x+b=0(a0).3.一元一次方程的解法一般步骤：（1）去分母， （2）去括号， （3）移项， （4）合并同类项， （5）系数化 1.注意：（1）去分母时不要漏乘无分母的项.（2）去括号时，括号前是“-”号，去掉括号时括号内每一项都要改变符号.（3）移项时要变号. 探究类型之一 等式的基本性质例 1 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）A.10g，40g B.15g，35g C.20g，30g D.30g，20g解析：设每块巧克力和每个果冻的重量分别为 x g，y g，则 32,50xy解得 20,3.x答案：
3、C小结：（1）当天平的左右两盘的质量相等时，天平就处于平衡状态，即可找到等量关系.(2)利用等式性质，等式两边同乘以（或除以）同一个数时，一定要注意此数不为 0.举一反三：1.如图所示，在第一个天平上，砝码 A 的质量等于砝码 B 加上砝码 C 的质量；如图所示，在第二个天平上，砝码 A 加上砝码 B 的质量等于 3 个砝码 C 的质量请你判断：1 个砝码 A 与_个砝码 C 的质量相等解析： = = = =例 2 依据下列解方程 0.352x= 1的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据.解：原方程可变形为 = 3.(_分数的性质_)去分母，得 3（3x+ 5）=2(
4、2x-1). (_等式的性质 _)去括号，得 9x+15=4x-2.（_乘法分配律 _）(_移项_),得 9x-4x=-15-2. (_等式的性质_)合并，得 5x=-17. (_合并同类项法则_)（_系数化为 1_）,得 x=-175.（_等式的性质_） 小结：解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为 1 等.在解具体方程时，要仔细观察它的特点，注意解方程的方法与技巧；去分母时，分子是多项式的要添括号. 举一反三：2.解方程 21021364xx.解析：先去分母，然后再去括号、移项、合并同类项，最后再将系数化为 1，在去分母的过程中，注意不含分母的项别忘了也要乘
5、各分母的最小公倍数.考点 12 二元一次方程组的解法温故而知新：1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组：由几个二元一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.2.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法.例 1 已知 2,1xy是二元一次方程组 7,1axby的解，则 a-b 的值为（ ）A.1 B.1
6、C.2 D.3解析：把 2,1xy代入到二元一次方程组 7,1axby中得 27,1ab解得 2,3;aa-b=2-3=-1.答案：A小结：（1）根据方程组的概念，代入原方程组可以判定给出的一对未知数的值是不是二元一次方程组的解（2）适合二元一次方程的一对未知数的值叫二元一次方程的一个解.举一反三：1.若关于 x， y 的二元一次方程组 31,xya的解满足 x+y 0方程有两个不相等的实数根 .（2）b 2-4ac=0 方程有两个相等的实数根 .（3）b 2-4ac2 C.a0，求 k 的取值范围； （2）在 k 的取值范围内选取负整数.答案：解：（1）=（-3） 2-41（-k）= 9+4
7、k.方程有两个不相等的实数根则 0，即 9+4k0，解得 k 94.（2）可选取 k=-2，此时该一元二次方程为 x2-3x+2=0，解这个一元二次方程得 x1=1，x 2=2.小结：=b 2-4ac0 等价于一元二次方程有两个不相等的实数根，选用未知系数的值一定要注意它的取值，这是此类开放性问题的一个易错点.举一反三：1.证明：不论取何值时，关于 x 的方程（x -1） （x-2）=m 2 总有两个不相等的实数根.解析：将（x -1） （x -2）=m 2 化为一般形式，然后证明 0 即可.2.若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2k=0 有两个实数根，求 k 的取值范围及 k 的非负整
8、数值.解析：方程有两个实数根，即 0，然后解不等式即可得到 k 的取值范围，然后找出所有符合条件的非负整数值.考点 16 一元二次方程根与系数的关系温故而知新：一元二次方程根与系数的关系：如果 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根，那么x1+x2=- ba，x 1x2= c.例 1 已知一元二次方程 x2-6x-5=0 的两根为 a，b，则 1的值是_解析：根据根与系数的关系可得 a+b=6，ab=-5；1ab= = 65.答案：小结：关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择哪种方式要根据具体题目的特点来确定）：利用求根公式求根；利用根与系数的关系
9、将这两个根的和与积表达出来：x1+x2=- ba，x 1x2= c，以便后继作整体代换； 将根代入方程中进行整体处理 .举一反三：1.已知一元二次方程 y2-3y+1=0 的两个实数根分别为 y1，y 2，则（y 1-1） （y 2-1）的值为_.解析：由根与系数的关系可得 y1+y2=3，y 1y2=1；（y 1-1） （y 2-1）= y 1y2-（ y1+y2）+1= 1-3+1=-1.例 2 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2.（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+ x2x 1 x2 1 且 k 为整数，求 k 的值 .解析：（1）一元二
10、次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实数根，故 0；（2）根据根与系数的关系得 x1+ x2=-2, x1 x2=k+1，再根据 x1+ x2x 1 x21 及（1）的结论确定出 k 的范围，最后结合 k 为整数确定 k 的值.答案：解：（1）因为一元二次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实数根，所以 =22-4（k+1）=-4k 0，即 k 0.（2）根据根与系数的关系得 x1+ x2=-2, x1 x2=k+1，所以-2-（k+ 1）-1，解得 k-2，结合（1）知-2k 0.又 k 为整数，所以 k=-1 或 0.小结：（1）用根与系数的关系求字母的值时，要代入 检验.（2）一元二次
11、方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值，体现了整体思想. 举一反三：2.若关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-3=0 的两个实数根为 x1，x 2，且满足 x1=3x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值.解析：根据根与系数的关系可知 x1+x2=4，结合 x1=3x2 可求出 x1，x 2 的值；根据根与系数的关系得 x1x2= k-3 求出 k 的值.3.已知关于 x 的方程 x2 2（k1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2.（1）求 k 的取值范围；（2）若|x 1+x2|=x1x2-1，求 k 的值.解析：（1）方程 x22（ k1）x+k 2=0 有两个实数根
12、x1，x 2，则 0 从而确定出 k 的取值范围；（2）由根与系数的关系得 x1+x2=2（k 1） ，x 1x2= k2，代入|x 1+x2|=x1x2-1 求出 k 的值，要注意 k 的取值范围 .考点 17 一元二次方程的应用温故而知新：1.增长率问题等量关系：（1）增长率= 增量基础量.（2）设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数， b 为增长后的量，则 a(1+m)n=b，当 m为平均下降率时，则 a(1-m)n=b.2.利润率问题等量关系：（1）毛利润=售出价-进货价.（2）纯利润=售出价-进货价 -其他费用.（3）利润率= 利 润进 货 价 .例 1 广安市某楼盘准
13、备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？解析：（1）设平均每次下调的百分率为 x，第一次下调后价格为 6000（1-x ）元，第二次下调后价格为 6000（1x ） 2 元；（2）分别算出两种优惠价格.答案：解：（1）设平均每次下调的百分率为
14、x，则根据题意可得 6000（1x ） 2=4860，解这个方程得 x1=0.1=10%，x 2=1.9（不合题意，舍去）.所以平均每次下调的百分率为 10%.（2）按方案购房优惠 48601000.02=9720（元） ；按方案购房优惠 80100=8000（元）.因为 97208000，所以方案更优惠.小结：理清等量关系是解决此类问题的基础.举一反三：1.某商品原售价 289 元，经过连续两次降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程中正确的是（ ）A.289（1-x） 2=256 B.256（1-x） 2=289 C.289（1-2x ）= 256 D.256
15、（1-2x）=289解析：第一次降价后的售价为 289（1-x）元，第二次降价后售价为 289（1-x ） （1-x）=289（1-x ）2 元，故 289（1-x ） 2=256.例 2 商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加_件，每件商品盈利_元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？解析：（2）根据等量关系“每
16、件商品的盈利可卖出商品的件数=2100 元”列方程求解.答案：（1）2x ；（50-x ） 解：（2）根据题意可得（50-x） （30+ 2x）= 2100, 整理得 x2-35x+300=0，解这个方程得 x1=15，x 2=20.因为随着价格的降低销售量逐渐增加，所以为了要尽快减少库存应降价 20 元.即当降价 20 元时，商场日盈利可达到 2100 元.小结：（1）把售价、每件利润、销售件数表示出来.（2）利用“每件利润销售件数= 销售利润”列方程 .（3）常利用求二次函数的最大值来确定最大利润、进货件数及定价.举一反三：3.某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元.经市场预测，销售
17、定价为 52 元时，可售出 180 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个.商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则定价多少？解析：（1）本题适合设定价增加 x 元，需表示出每件的利润和销售量；（2）根据“每件的利润销售量= 2000 元”列方程，方程的解为正值表明是提高定价，方程的解为负值表明降低定价；（3）利用二次函数确定最大利润.小结：接下来我们看一道面积型的一元二次方程应用题.2.如图所示，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m若矩形的面积为 4 m2，则 AB 的长度是_m （可利用的围墙长度超过 6 m） 解析：设 AB=x m，则 BC=（6-2x ）m；根据题意得 x（6-2x ）=4，解得 x1=1，x 2=2；当 x=2 时，6-2 x=2，也就是说此时 AB= BC=2 m，与图中的“邻边不等”相矛盾，故应舍去.
