1、专题 16 数列中项数问题数列中项数问题， 不仅是存在性问题， 而且是整数解问题 . 会利用整除性质、 奇偶分析法、 “范围”控制解决，常用到分类讨论思想类型一 整数解问题典例 1. 已知集合 ， , 对于数列 ，且对于任意 ， ，有 记 为数列 的前 项和 . ( ) 写出 ， 的值；( ) 数列 中，对于任意 ，存在 ，使 ，求数列 的通项公式；( ) 数列 中，对于任意 ，存在 ，有 . 求使得 成立的 的最小值类型二 存在性问题典例 2 已知数列 an 中， a2=1，前 n 项和为 Sn，且 1( )2nn n a aS （ 1）求 a1；（ 2）证明数列 an 为等差数列，并写出其
2、通项公式；（ 3）设 1lg3nn nab ，试问是否存在正整数 p， q( 其中 1pq) ，使 b1， bp， bq 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ( p， q) ；若不存在，说明理由类型三 否定性问题典例 3 等差数列 na 的前 n 项和为 1 31 2 9 3 2nS a S， ， （ 1）求数列 na 的通项 na 与前 n 项和 nS ；（ 2）设 ( )nn Sb nn N，求证：数列 nb 中任意不同的三项都不可能成为等比数列1 1. 公差 d 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1 2 2， S3 12 3 2（ 1）求数列 an 的通项公式
3、 an 及其前 n 项和 Sn；（ 2）记 cn Snn，试问：在数列 cn 中是否存在三项 cr ， cs ， ct ( r s t ， r , s, t N*) 恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由 . 2. 已知各项均为正数的等比数列 的公比为 ，且 . 在数列 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；3. 设 nnc 2 ，试问数列 nc 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由4. 已知数列 na 满足： 1113(1 ) 2(1 )1 ,2 1 1n nn na aaa a， 1 0( 1)n na a n ，数列 nb 满
4、足：2 21 ( 1)n n nb a a n （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式；（ 2）证明：数列 nb 中的任意三项不可能成等差数列5. 已知等比数列 na 的首项是 1，公比为 2，等差数列 nb 的首项是 1，公差为 1，把 nb 中的各项按照如下规则依次插入到 na 的每相邻两项之间，构成新数列 nc ： 1 1 2 2 3 3 4, , , , , , ,a b a b b a b5 6 4, ,b b a ，即在 na 和 1na 两项之间依次插入 nb 中 n个项，则 2013c _. 6. 设等差数列 的前 项和为 且 （ 1）求数列 的通项公式及前 项和公式；（
5、2）设数列 的通项公式为 ，问：是否存在正整数 t ，使得成等差数列？若存在，求出 t 和 m的值；若不存在，请说明理由7. 设 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 项和，且2 2 2 22 3 4 5 7, 7a a a a S （ 1）求数列 na 的通项公式及前 项和 nS ；（ 2）试求所有的正整数 m ，使得 12m mma aa为数列 na 中的项8. 若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列，对于 ，将排列记为 ，将排列 记为 ，依此类推，直至 ，对于 na q 10 2q na na n nS ， 5 13 334 9a a S， na n nb nnnaba t 1
6、2 mb b b， ，( 3 )m m N，nn2 排列 和 ， 它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数， 叫做和 的相关值，记作 ，例如 ，则 ， ，若，则称 为最佳排列（）写出所有的最佳排列 （）证明：不存在最佳排列 （）若某个 （ 是正整数）为最佳排列，求排列 中 的个数9设数列 的前 n 项和为 ，已知 ， （ ） （ 1）求证：数列 为等比数列；（ 2）若数列 满足： ， 求数列 的通项公式； 是否存在正整数 n，使得 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不存在，请说明理由10已知数列 的前 项和为 . （ 1）求数列 的通项公式 ；（ 2）令 ，求数列 的前 项和 ；（
7、 3） 令 ， 问是否存在正整数 使得 成等差数列？若存在， 求出 的值，若不存在，请说明理由 . 11数列满足： 或 1（ k=1,2, ,n 1） 对任意 i ， j ，都存在 s， t ，使得 ，其中 i ， j ， s， t 1,2 ， n 且两两不相等（ I ）若 m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； 1,1,1,2,2,2 ； 1,1,1,1,2,2,2,2 ； 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （ II ）记 若 m=3，求 S的最小值；（ III ）若 m=2018，求 n 的最小值12 已知等差数列 a n 和等比数列 b n 均不是常数列， 若 a1
8、b1 1， 且 a1， 2a2， 4a4成等比数列， 4b 2，2b3， b4 成等差数列（ 1）求 a n和 b n 的通项公式；（ 2）设 m， n 是正整数，若存在正整数 i ， j ， k（ i j k） ，使得 ambj ， amanbi ， anbk 成等差数列，求 m n 的最小值；（ 3）令 cn ，记 c n 的前 n 项和为 Tn， 的前 n 项和为 An若数列 pn 满足 p1 c1，且对 n2, n N*，都有 pn Ancn，设 p n 的前 n 项和为 Sn，求证： Sn 4 4lnn 13已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项的和 . （ 1）求数列 的通项公式
9、；（ 2）若 ， ， 成等差数列， ， 18， 成等比数列，求正整数 的值；3 （ 3）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由 . 14由 ， ， ， 排列而成的 项数列 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项（ ）满足条件的数列中，写出所有的单调数列（ ）当 时，写出所有满足条件的数列（ ）满足条件的数列 的个数是多少？并证明你的结论15 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 已知 1n nS pS q（ p、 q 为常数， *n N ） ， 又 1 2a ， 2 1a ，3 3a q p . （ 1）求 p、 q 的值；（
10、 2）求数列 na 的通项公式；（ 3） 是否存在正整数 m、 n， 使122 1mnmnS mS m成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对 ,m n ；若不存在，说明理由 . 16已知数列 an 的各项均为正数，记数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 an2 的前 n 项和为 Tn，且 3TnSn2 2Sn， n N*（）求 a1的值；（）求数列 an 的通项公式；（）若 k， t N* ，且 S1， Sk S1， St Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值17数列 na 定义为 1 0a ， 11a a ， 21 12n n na a a ，*n N（ 1）若 1 01 2aa
11、 aa，求1 2 101 1 12 2 2a a a的值；（ 2） 当 0a 时， 定义数列 nb ， 1 12kb a k ， 1 1 1 2n nb b ， 是否存在正整数 ,i j i j ，使得 21 1 2 12i jb b a a a . 如果存在，求出一组 ,i j ，如果不存在，说明理由 . 18设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 3 1n nS na n n *n N . （ 1）求数列 na 的通项公式 na ；（ 2）是否存在正整数 n ，使得 231 2 3 1 20161 2 3 2nS SS S nn ？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由 .
12、 19记等差数列 na 的前 n 项和为 nS . 4 （ 1）求证：数列 nSn是等差数列；（ 2） 若 1 1a ， 对任意 * , 2n N n ， 均有 1 1, ,n n nS S S 是公差为 1的等差数列， 求使 1 22k kkS SS为整数的正整数 k 的取值集合；（ 3）记 0nanb a a ，求证： 1 2 1.2n nb b b b bn. 20已知数列 na 中， 1 2a ，前 n 项和 nS 满足 1 3 2 0n na S （ n ） （）求数列 na 的通项公式；（）是否存在整数对 ,m n 满足 2 4 8 0n na ma m ？若存在，求出所有的满足题意得整数对,m n ；若不存在，请说明理由5
