1、4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。精典例题：【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，A60 0，B D90 0，BC2，CD3，则AB？分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案： 38例 1图 32 EDCBA例 2图 QP CBA【例 2】如图，P 为ABC 边 BC 上一点，PC2PB，已知ABC45 0， APC60 0，求 ACB 的度数。分析：本题不
2、能简单地由角的关系推出ACB 的度数，而应综合运用条件 PC2PB及APC 60 0 来构造出含 300 角的直角三角形。这是解本题的关键。答案：ACB 75 0（提示：过 C 作 CQAP 于 Q，连结 BQ，则AQBQ CQ）探索与创新：【问题一】如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30 0，点 A 处有一所中学，AP160 米，假设汽车行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为 18 千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A 点）距离公路（ MN）
3、的最近距离（AD80 米）入手，在距 A 点方圆 100 米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。略解：作 ADMN 于 D，在 RtADP 中，易知 AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以 A 为圆心，100 米为半径作圆交 MN 于 E、F ，连结 AE、AF，则AEAF100，根据勾股定理和垂径定理知：EDFD 60，EF120，从而学校受噪声影响的时间为：（小时）24（秒）15082t评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。问 题 一 图 FEDA QPNMCBA问 题 二 图 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千
4、米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米时的速度沿北偏东 300 方向往 C 移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图 1，由点 A 作 ADBC，垂足为 D。AB220，B30AD110（千米） 。由题意知，当
5、 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。（2）由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。则AEAF160。当台风中心从 E 处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。EF60 （千米） 。15302710622 DE 15该台风中心以 15 千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为（小时） 。15460（3）当台风中心位于 D 处时， A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 126.5（级） 。20评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的
6、几何元素代表的意义，由题意可分析出，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，会受台风影响，若过 A 作 AD BC 于 D，设 E，F 分别表示 A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则 AEAF160；当台风中心位于 D 处时，A 市受台风影响的风力最大。跟踪训练：一、填空题：1、如果直角三角形的边长分别是 6、8、 ，则 的取值范围是 。x2、如图，D 为ABC 的边 BC 上的一点，已知 AB13，AD12， ，BD5，ACBC，则 BC 。第 2题 图 13125DC BA第 3题 图 DCBA第 5题 图 D CBA3、如图，四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2
7、231，且B90 0，则DAB 。4、等腰ABC 中，一腰上的高为 3cm，这条高与底边的夹角为 300，则 。ABCS5、如图，ABC 中，BAC90 0，B2C，D 点在 BC 上，AD 平分BAC ，若AB1，则 BD 的长为 。6、已知 RtABC 中，C90 0，AB 边上的中线长为 2，且 ACBC6，则 ABC。7、如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，腰长为 8cm，AC、BD 相交于 O 点，且AOD60 0，设 E、F 分别为 CO、AB 的中点，则 EF 。第 7题 图 FEODCBA第 8题 图 EQPD CBA第 9题 图 DCBA8、如图，点 D、E 是等边 AB
8、C 的 BC、AC 上的点，且 CDAE，AD 、BE 相交于 P 点，BQAD。已知 PE1，PQ3，则 AD 。9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A、B、C、D 的面积的和是 。二、选择题：1、如图，已知ABC 中，AQPQ，PRPS，PRAB 于 R，PS AC 于 S，则三个结论：ASAR ； QPAR； BRPQSP 中（ ）A、全部正确 B、仅和正确 C、仅正确 D、仅和正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2 倍，并且有一个角是 300，那么这个三角形的形状是（ ）A、直角三角形 B、钝角三
9、角形 C、锐角三角形 D、不能确定3、在四边形 ABCD 中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD 3，则ACB 的度数是（ ）A、大于 900 B、小于 900 C、等于 900 D、不能确定第 1题 图 SR QP CBA第 4题 图 OCBA4、如图，已知ABC 中，B90 0，AB3，BC ，OA OC ，则OAB 的36度数为（ ）A、10 0 B、15 0 C、20 0 D、25 0三、解答题：1、阅读下面的解题过程：已知 、 、 为ABC 的三边，且满足abc422acba，试判断ABC 的形状。4解： 422cb )()( 22aa 22cbABC 是直角三角形。问：（1
10、）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ；（3）本题的正确结论是 。2、已知ABC 中，BAC75 0，C60 0，BC ，求 AB、AC 的长。33、如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DCBE，DG CE 于 G。（1）求证：G 是 CE 的中点；（2）B2BCE 。第 3题 图 GED CBA第 4题 图 CBA4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，ACB90 0，BC60 米，A36 0。（1）若入口 E 在边 AB 上，且与 A、B 等距离，请你在图中画出入口 E 到 C 点的最短路线，并求最短路线 CE 的长（保
11、留整数） ；（2）若线段 CD 是一条水渠，并且 D 点在边 AB 上，已知水渠造价为 50 元米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。参考数据：sin36 00.5878， sin5400.80905、已知ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 的两个023)2(2kxkx实数根，第三边 BC5。（1） 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；k（2） 为何值时，ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。参考答案一、填空题：1、10 或 ；2、16.9；3、135 0；4、 cm2；5、 ；6、5；7、47318、7；9、49二、选择题：BDCB三、解答题：1、 （1）；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过 A 作 ADBC 于 D，则 AB ，AC2333、提示：连结 ED4、 （1）51 米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与 AB 垂直，造价 2427 元。5、 （1）2；（2） 4 或 3，当 4 时，面积为 12。kk
