1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 II)数学理1.已知集合 A=-2，-1，0，1，2，B=x|(x-1)(x+2)0，则 AB=( )A.-1，0B.0，1C.-1，0，1D.0，1，2解析：B=x|-2x1，A=-2，-1，0，1，2，AB=-1，0.故选：A2.若 a 为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则 a=( )A.-1B.0C.1D.2解析：因为(2+ai)(a-2i)=-4i，所以 4a+(a2-4)i=-4i，4a=0，并且 a2-4=-4，所以 a=0.故选：B3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，
2、以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；B2004-2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故
3、D 错误.故选：D4.已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.84解析：a 1=3，a 1+a3+a5=21，a 1(1+q2+q4)=21，q 4+q2+1=7，q 4+q2-6=0，q 2=2，a 3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3(2+4+8)=42.故选：B5.设函数 f(x)= ，则 f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12解析：函数 f(x)= ，即有 f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3，f(log212)= =12 =6，则有 f(-2)+f(log212)=
4、3+6=9.1log故选 C6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B. 7C. 6D.15解析：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为以棱锥，正方体切掉部分的体积为 111= ，13216剩余部分体积为 1- = ，65截去部分体积与剩余部分体积的比值为 .5故选：D7.过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|=( )A.2 6B.8C.4D.10解析：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，D=-2，E=4，F=-20，x 2+y2-2x+
5、4y-20=0，令 x=0，可得 y2+4y-20=0，y=-22 ，|MN|=4 .66故选：C8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=( )A.0B.2C.4D.14解析：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18，满足条件 ab，不满足条件 ab，b=4，满足条件 ab，满足条件 ab，a=10，满足条件 ab，满足条件 ab，a=6，满足条件 ab，满足条件 ab，a=2，满足条件 ab，不满足条件 ab，b=2，不满足条件 ab，输出 a 的值为 2.故选：B9.已知 A，B 是球 O
6、 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A.36B.64C.144D.256解析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO-ABC=VC-AOB= R2R=16R3=36，故 R=6，则球 O 的表面积为134R 2=144.故选 C10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOP=x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，
7、则 y=f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.解析：由对称性可知函数 f(x)关于 x= 对称，2且当 0x 时，BP=tanx，AP= ，4此时 f(x)= +tanx，0x ，此时单调递增，排除 A，C(不是直线递增)，D.4故选：B11.已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：设 M 在双曲线 的左支上，且 MA=AB=2a，MAB=120，则 M 的坐标为(-2a， a)，3代入双曲线方程可得 ，可得 a=b，c= ，即有 e= = .ca2故选：D12.设函数
8、f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当 x0 时，xf(x)-f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )A.(-，-1)(0，1)B.(-1，0)(1，+)C.(-，-1)(-1，0)D.(0，1)(1，+)解析：设 g(x)= ，则 g(x)的导数为：g(x)= ，fx当 x0 时总有 xf(x)f(x)成立，即当 x0 时，g(x)恒小于 0，当 x0 时，函数 g(x)= 为减函数，fx又g(-x)= =f(x)x=g(x)，函数 g(x)为定义域上的偶函数又g(-1)= =0，函数 g(x)的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式 f(x)0
9、 xg(x)0 或 ， 0x1或 x-1.故选：A13.设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 = .abab解析：因为向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，所以 + =( +2 )，bab所以 ，解得 = .12故答案为： 1214.若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 .解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由 得 D(1， )，12所以 z=x+y 的最大值为 1+ = .3故答案为： 3215. (a+x)(1+x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a= .解析：设 f(x)=(a+x)(1+
10、x)4=a0+a1x+a2x2+a5x5，令 x=1，则 a0+a1+a2+a5=f(1)=16(a+1)，令 x=-1，则 a0-a1+a2-a5=f(-1)=0.-得，2(a 1+a3+a5)=16(a+1)，所以 232=16(a+1)，所以 a=3.故答案为：316.设 Sn是数列a n的前 n 项和，且 a1=-1，a n+1=SnSn+1，则 Sn= .解析：a n+1=SnSn+1，a n+1=Sn+1-Sn=SnSn+1， =1，即 =-1，又 a1=-1，即 =-1，数列 是以首项和公差均为-1 的等差数列，1nS =-1-1(n-1)=-n，S n=- .nS故答案为：-
11、117. ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍.(1)求 ；(2)若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长.2解析：(1)如图，过 A 作 AEBC 于 E，由已知及面积公式可得 BD=2DC，由 AD 平分BAC 及正弦定理可得 ，sinC= ，从而得解 .(2)由(1)可求 BD= .过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，由 AD 平分BAC，可求2AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长.答案：(1)如图，过 A 作 AEBC 于 E， =2，BD=2DC，AD 平分B
12、AC，BAD=DAC，在ABD 中， ，sinB= ；在ADC 中， ，sinC= ； .(2)由(1)知，BD=2DC=2 = .2过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，AD 平分BAC，DM=DN， =2，AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得： ，x=1，AC=1，BD 的长为 ，AC 的长为 1.218.某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 9
13、7 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求 C 的概率.解析：()根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；(
14、)根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可.答案：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散；()记 CA1表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ，记 CA2表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意” ，记 CB1表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意” ，记 CB2表示事件“B 地区用户满意度等级为满意” ，则 CA1与 CB1独立，C A2与 CB2独立，C B1与 CB2互斥，则 C=CA1CB1C A2CB2，P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)，由所给的数据 CA1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为 ， ， ， ，16204820所以 P(CA1)= ，P(C A2)= ，P(C B1)= ，P(C B2)= ，16204所以 P(C)= =0.48.
