1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理一、选择题(每小题 5分，共 50分)1.设全集 U=xN|x2，集合 A=xN|x 25，则 UA=( )A. B. 2C. 5D. 2，5解析：全集 U=xN|x2，集合 A=xN|x 25=xN|x3，则 CUA=xN|x3=2，答案：B.2.已知 i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“(a+bi) 2=2i”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当“a=b=1”时， “(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立，故“a=b=1”是“(a+bi) 2=2i”的充分条件；当“(a+
2、bi) 2=a2-b2+2abi=2i”时， “a=b=1”或“a=b=-1” ，故“a=b=1”是“(a+bi) 2=2i”的不必要条件；综上所述， “a=b=1”是“(a+bi) 2=2i”的充分不必要条件；故选 A3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2解析：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为 3，底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形，四棱柱的高为 6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为 3和 4，几何体的表面积 S=246+36+33+234+2 34+(4
3、+5)3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).答案：D.4.为了得到函数 y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数 y= cos3x的图象( )A.向右平移 个单位B.向左平移 个单位C.向右平移 个单位D.向左平移 个单位解析：函数 y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数 y= cos3x的图象向右平移 个单位，得到 y= = 的图象.答案：C.5.在(1+x) 6(1+y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=( )A.45B.60C.120D.210解析：(1+x) 6(1+y)4的展开式
4、中，含 x3y0的系数是： =20.f(3，0)=20；含 x2y1的系数是 =60，f(2，1)=60；含 x1y2的系数是 =36，f(1，2)=36；含 x0y3的系数是 =4，f(0，3)=4；f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=120.答案：C.6.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c，其 0f(-1)=f(-2)=f(-3)3，则( )A.c3B.3c6C.6c9D.c9解析：由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得 ，解得 ，f(x)=x3+6x2+11x+c，由 0f(-1)3，得 0-1+6-11+3，即 6c9，故选 C.7.在同一直角坐标系中，函
5、数 f(x)=xa(x0)，g(x)=log ax的图象可能是( )A.B.C.D.解析：当 0a1 时，函数 f(x)=xa(x0)，g(x)=log ax的图象为：此时答案 D满足要求，当 a1 时，函数 f(x)=xa(x0)，g(x)=log ax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选 D8.记 maxx，y= ，minx，y= ，设 ， 为平面向量，则( )A.min| + |，| - |min| |，| |B.min| + |，| - |min| |，| |C.max| + |2，| - |2| |2+| |2D.max| + |2，| - |2| |2+| |2解析：对于选项 A
6、，取 ，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项 B，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边 min| + |，| - |= ，显然，不等式不成立；对于选项 C，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边 max| + |2，| - |2=| + |2=4 ，而不等式右边=| |2+| |2=2 ，显然不成立.由排除法可知，D 选项正确.答案：D.9.已知甲盒中仅有 1个球且为红球，乙盒中有 m个红球和 n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取 i(i=1，2)个球放入甲盒中.(a)放入 i个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1，2)；(b)放入 i个球后，从甲盒中取 1个球是红球的
7、概率记为 pi(i=1，2).则( )A.p1p 2，E( 1)E( 2)B.p1p 2，E( 1)E( 2)C.p1p 2，E( 1)E( 2)D.p1p 2，E( 1)E( 2)解析： ， ，所以 P1P 2；由已知 1的取值为 1、2， 2的取值为 1、2、3，所以， = ，E( 1)-E( 2)= .答案：A10.设函数 f1(x)=x2，f 2(x)=2(x-x2)， ，i=0，1，2，99.记 Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)丨+|f k(a99)-fk(a98)|，k=1，2，3，则( )A.I1I 2I 3B.I2I 1I 3C.I1I 3I
8、2D.I3I 2I 1解析：由 ，故= =1，由 ，故1，+= ，故 I2I 1I 3，答案：B.二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示，当输入 50时，则该程序运算后输出的结果是 .解析：由程序框图知：第一次循环 S=1，i=2；第二次循环 S=21+2=4，i=3；第三次循环 S=24+3=11，i=4；第四次循环 S=211+4=26，i=5；第五次循环 S=226+5=57，i=6，满足条件 S50，跳出循环体，输出 i=6.答案：6.12.(4分)随机变量 的取值为 0，1，2，若 P(=0)= ，E()=1，则 D()= .解析：设 P(=1)=p，P(=2)=q，则由已知得
9、 p+q= ， ，解得 ， ，所以 .答案：13.(4分)当实数 x，y 满足 时，1ax+y4 恒成立，则实数 a的取值范围是 .解析：由约束条件作可行域如图，联立 ，解得 C(1， ).联立 ，解得 B(2，1).在 x-y-1=0中取 y=0得 A(1，0).要使 1ax+y4 恒成立，则 ，解得：1 .实数 a的取值范围是 .答案： .14.(4分)在 8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余 5张无奖.将这 8张奖券分配给 4个人，每人 2张，不同的获奖情况有 种(用数字作答).解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有 =24种；一、二、三等奖，有 1人获得 2张，1 人获得
10、 1张，共有 =36种，共有 24+36=60种.答案：60.15.(4分)设函数 f(x)= ，若 f(f(a)2，则实数 a的取值范围是 .解析：函数 f(x)= ，它的图象如图所示：由 f(f(a)2，可得 f(a)-2.由 f(x)=-2，可得-x 2=-2，即 x= ，故当 f(f(a)2 时，则实数 a的取值范围是 a ，答案：(-， .16.(4分)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 (a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 .解析：双曲线 (a0，b0)的两条渐近线方程为 y= x，则与直线 x-3y+m
11、=0联立，可得 A( ， )，B(- ， )，AB 中点坐标为( ， )，点 P(m，0)满足|PA|=|PB|， =-3，a=2b， = b，e= = .答案： .17.(4分)如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A处进行射击训练.已知点 A到墙面的距离为 AB，某目标点 P沿墙面上的射线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A观察点 P的仰角 的大小.若 AB=15cm，AC=25cm，BCM=30，则 tan 的最大值是 .(仰角 为直线 AP与平面 ABC所成角)解析：AB=15cm，AC=25cm，ABC=90，BC=20cm，过 P作 PPBC，交 BC于
12、 P，连接 AP，则 tan= ，设 BP=x，则 CP=20-x，由BCM=30，得 PP=CPtan30= (20-x)，在直角ABP中，AP= ，tan= ，令 y= ，则函数在 x0，20单调递减，x=0 时，取得最大值为 = .答案： .三、解答题18.(14分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，c= ，cos 2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB.()求角 C的大小；()若 sinA= ，求ABC 的面积.解析：()ABC 中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-
13、B).求得 tan(A+B)的值，可得 A+B的值，从而求得 C的值.()由 sinA= 求得 cosA的值.再由正弦定理求得 a，再求得 sinB=sin(A+B)-A的值，从而求得ABC 的面积为 的值.答案：()ABC 中，ab，c= ，cos 2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB， - = sin2A- sin2B，即 cos2A-cos2B= sin2A- sin2B，即-2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-B).ab，AB，sin(A-B)0，tan(A+B)=- ，A+B= ，C= .()sinA= ，C= ，A ，或 A (舍
14、去)，cosA= = .由正弦定理可得， = ，即 = ，a= .sinB=sin(A+B)-A=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA= -(- ) = ，ABC 的面积为 = = .19.(14分)已知数列a n和b n满足 a1a2a3an= (nN *).若a n为等比数列，且a1=2，b 3=6+b2.()求 an和 bn；()设 cn= (nN *).记数列c n的前 n项和为 Sn.(i)求 Sn；(ii)求正整数 k，使得对任意 nN *均有 SkS n.解析：()先利用前 n项积与前(n-1)项积的关系，得到等比数列a n的第三项的值，结合首项的值，求出通项 an，然后现利用条件求出通项 bn；()(i)利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；(ii)本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明.答案：()a 1a2a3an= (nN *) ，当 n2，nN *时， ，
