1、第 1 页，共 16 页百校联盟 2019 届高三 TOP20 十二月联考（全国卷）数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题）1. 已知集合 ， ，则 =|=2 =|=1+ =( )A. B. C. D. 2,+) (,2 1,2 (1,2【答案】D【解析】解： 集合 ， =|=2=|2，=|=1+=|1=|162+32解得 6|2| 1=|=12又 ；0的夹角为 , 3故答案为： 3根据 是单位向量，进行数量积的运算即可求出 ，从而可求得 =1,|=2，这样即可得出 的夹角=12 ,考查数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式14. 已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 的取值范围是_0+
2、402+40 =2+63第 8 页，共 16 页【答案】 0,187【解析】解：由题意，作出可行域 可行域的顶点 ，. (2,2)， 的三角形区域，(4,4)(0,4)， 表示可行域内的点与 连线的斜=2+63=2+33 (3,0)率，过 ，得： ，故 3 2347 0187故答案为： 0,187.作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键15. 双曲线 C： 的左右焦点分别为 ， ，点 A 为双曲线 C 右2222=1(0,0) 1 2支上一点，直线 与 y 轴交于点
3、B，且 ， ，则双曲线 C1 |1|=3|12的离心率为_【答案】 3+6【解析】解：设 ，=.2=则 1=3 ， ，112 3=422=62=66又 ， ，4=2=2632又 (4)2+2=42226+32=0226+3=0，=63，1，=6+3故答案为： 6+3设 ，则 ，又 ，=.2= 1=3.2=62.=66 4=2，即可求解(4)2+2=42226+32=0226+3=0本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用直角三角形的勾股定理是解题的关键16. 如图，在三校锥 中， 平面 ABC， ， =4，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则三=13 52棱锥 体积的最大值为_
4、第 9 页，共 16 页【答案】3223【解析】解：设三棱锥 的外接球的球心为 O，半径为 R， 的外接圆半径 为 r，则 ，得 ，又 ，42=52=13 2=2+(2)2，即 13=2+4 =3又 ， =2=6=42，32=2+22=2+223则 24三棱锥 体积 =131312242234=3223三棱锥 体积的最大值为 3223故答案为： 3223设三棱锥 的外接球的球心为 O，半径为 R， 的外接圆半径为 r，由已知 求得 R，再由 求解 r，利用正弦定理求得 AB，再由余弦定理及基本不等2=2+(2)2式求得 的最大值，则三棱锥 体积的最大值可求 本题考查三棱锥体积最值的求法，考查正
5、弦定理及余弦定理的应用，是中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， A 为锐角，且 的面积 为 24 若 ，求 A；( ) = 求 的取值范围( )2+2【答案】解： ， ，( )=24 12=242=2由正弦定理得 ，=2， ，= =12又 ， ；0=|= 262=33二面角 的余弦值为 1133【解析】 由已知可得 ，再利用线面垂直的判定可得 ，在( ) 1 中，求出 CQ 的值，再结合已知条件即可求 的值； 以 C 为坐标原点，CA，CB ， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求( ) 1出平面 与平
6、面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1 11的余弦值11本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题20. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆22+22=1(0) 1 2 (1,22)C 上一点且 的面积为 1222 求椭圆 C 的方程；( ) 记椭圆 C 的左顶点为 A，过点 A 作直线 ， 分别交椭圆 C 于点 P， 异于点( ) 1 2 (，当 时，求证：直线 PQ 过定点) 12【答案】解： 设椭圆的焦距为 2c，则 的面积为 ，解( ) 1212222=22=22得 ，=1所以，椭圆的焦点
7、分别为 、 ，1(1,0)2(1,0)由椭圆的定义得 ，所以，2=|1|+|2|=(1+1)2+(32)2+(11)2+(32)2=4，则 ，=2 =22=3因此，椭圆 C 的方程为 ；24+23=1 由题意得 ，设 、 ，设直线 PQ 的方程为 ，( ) (2,0) (1,1) (2,2) =+代入椭圆方程并整理得 ，(2+2)2+2+22=0第 13 页，共 16 页，即 ，=(2)24(2+2)(22)0 22+20由韦达定理可得 ， ，1+2=22+212=222+2，而 ，同理可得 ，12=(1+2,1)=(1+2,1) =(2+2,2)所以，=(1+2)(2+2)+12=(2+1)
8、12+(+2)(1+2)+(+2)2，=(2+1)(22)2+2 (+2)22+2 +(+2)2=32+42+22+2 =0解得 或 舍去=23 =2( )！故直线 PQ 过定点 (23,0)【解析】 先利用 的面积为 ，求出 ，从而得出椭圆的焦点坐标，然( ) 1222 =1后利用椭圆定义求出 2a，再利用 a、b、c 之间的关系求出 b 的值，从而得出椭圆的标准方程； 设直线 PQ 的方程为 ，设点 、 ，将直线 PQ 的方程与椭( ) =+ (1,1) (2,2)圆的方程联立，列出韦达定理，利用 结合韦达定理计算出 n 的值，从而得出=0直线 PQ 所过定点的坐标本题考查直线与椭圆的综合
9、问题，考查韦达定理在直线与椭圆综合中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题21. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程是()=+2 =()(1,(1)522=0 求实数 a，b 的值；( ) 若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： ( ) ()=()2 1 2 1+26【答案】解： 根据题意，曲线 在点 处的切线方程是 ，( ) =()(1,(1) 522=0则切线的斜率 ，切点为=52 (1,32)，其导数 ，()=+2 ()=2 +则有 ， ，(1)=+2=32(1)=+=52解可得： ， ；=3 =12 证明：由 的结论， ，则 ，( ) ( ) ()=312+2 ()=()2=312
10、(2)2第 14 页，共 16 页则 ，()=3(2)=(+1)(3)分析可得：在区间 上， ， 为增函数，(0,3)()0 ()在 上， ， 为减函数，(3,+) ()0 (6)61变形可得 1+26【解析】 根据题意，由曲线的切线方程可得切线的斜率和切点的坐标，求出函数( )的导数，由导数的几何意义和切线的性质分析可得 ，(1)=+2=32，解可得 a、b 的值，即可得答案；(1)=+=52 由 的结论，可得 ，进而可得( ) ( ) ()=312+2，求出 的导数，由函数的导数与函数单调性的关()=()2=312(2)2 ()系分析可得在区间 上， 为增函数，在 上， 为减函数，结合函数
11、(0,3)() (3,+) ()的零点判定定理可得函数 有 2 个不同的零点 ， ，设 ，则有() 1 2 161变形可得结论本题考查函数导数的应用，涉及利用导数分析函数的单调性以及切线方程的计算，属于综合题22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 以原点 O 为=132=1+12( ).极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =2第 15 页，共 16 页 求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；( ) 若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求 的大小( ) 【答案】解： 直线 l 的参数方程为 为参数 ( ) =132=
12、1+12( )转换为直角坐标方程为： ，+3=1+3所以转换为极坐标方程为： +313=0曲线 C 的极坐标方程为 =2转换为直角坐标方程为： 2+2=2 设 M、N 的极坐标分别为 ， ，( ) (1,1) (2,2)则： ，=|12|由 ，(+3)=1+3=2 消去 得到： ， 2+32=3即： ，(2+6)=32不妨设： ，(0,2)所以： ，2+6(6,76)所以： ，2+6=3或 23即： 或 ，1=122=4 1=42=12所以： =|12|=6【解析】 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转( )换 利用 的结论，进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和方程
13、组的应用求出结( ) ( )果1 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23. 已知函数 ()=|+4|+|4| 求不等式 的解集；( ) ()3 设函数 的最小值为 z，正实数 m，n 满足 ，求证：( ) () 2=+210+3【答案】解： ，即 ；( )()3 |+4|+|4|3当 ，时，不等式可化为 ，解得 ；3 3 44 +4+43第 16 页，共 16 页综上所述：原不等式的解集为 ；|83 证明：由绝对值不等式性质得： ，( ) |+4|+|4|+4+4|=8，得 ，=8 2=8所以 ，(1)(2)=10所以 ，+=(1)+(2)+3210+3当且仅当 ， 时取等=10+1 =10+21所以原不等式成立【解析】 对 x 按照 3 种情况讨论去绝对值分别解出不等式后，结果再相并；( ) 先由绝对值不等式求出 ，然后变形后用基本不等式求出最小值可证( ) =8本题考查了绝对值不等式的解法 属中档题.
