1、2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 1 页 共 31 页专题 9：几何综合问题1. （2012 宁夏区 10分）在矩形 ABCD中，AB=2，AD=3,P 是 BC上的任意一点（P 与 B、C不重合） ，过点 P作 APPE，垂足为 P，PE 交 CD于点 E.(1)连接 AE，当APE 与ADE 全等时，求 BP的长；(2)若设 BP为 x，CE 为 y，试确定 y与 x的函数关系式。当 x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3)若 PEBD，试求出此时 BP的长.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在 RtABP 中，AB=2，BP= 22APB35。（2
2、）APPE，RtABPRtPCE。 ABPCE ，即 2x3y。 21x。 21139yx()8当 时，y 的值最大，最大值是 。（2）设 BP=x, 由（2）得 213CEx。PEBD，CPECBD。 PBD， 即23x，化简得 23x10。解得 4或 （不合题意，舍去） 。当 BP= 3 时， PEBD。【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 2 页 共 31 页【分析】 （1）由APEADE 可得 AP=AD=3，在 RtABP 中，应用勾股定理即可求得 BP
3、的长。（2）由 APPE，得 RtABPRtPCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得 y与 x的函数关系式。化为顶点式即可求得当 3x2时， y的值最大，最大值是 98。（3）由 PEBD，得CPECBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得 BP的长。2. （2012 山西省 12分）问题情境：将一副直角三角板（RtABC 和 RtDEF）按图 1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O 是 AB的中点，点 D与点 O重合，DFAC 于点 M，DEBC 于点 N，试判断线段 OM与 ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON
4、，证明如下：连接 CO，则 CO是 AB边上中线，CA=CB，CO 是ACB 的角平分线 （依据 1）OMAC，ONBC，OM=ON （依据 2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：依据 1： 依据 2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图 1中的 RtDEF 沿着射线 BA的方向平移至如图 2所示的位置，使点 D落在 BA的延长线上，FD 的延长线与 CA的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE垂直相交于点N，连接 OM、ON，试判断线段 OM、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程【答案】 （1）解：等腰三角
5、形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） ；角平分线上的点到角的两边距离相等。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 3 页 共 31 页（2）证明：CA=CB，A=B。O 是 AB的中点，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA 和ONB 中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS） 。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：连接 CO，则 CO是 AB边上的中线。ACB=90，OC= 12AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，BND
6、=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四边形 DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS） 。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON。【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】 （1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。（2）利用 AAS证明OMAONB 即可。（3）利用 SAS证明MOCNOB 即可得到 OM=ON，MOC=NOB。通过角的等量代换即可得MON=BOC=90，而得到 OMON。3. （201
7、2 福建厦门 10分）已知 ABCD，对角线 AC与 BD相交于点 O，点 P在边 AD上，过点 P分别作 PEAC、PFBD，垂足分别为 E、F，PEPF（1）如图，若 PE ，EO1，求EPF 的度数；3（2）若点 P是 AD的中点，点 F是 DO的中点，BF BC3 4，求 BC的长22012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 4 页 共 31 页【答案】解：（1）连接 PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL） 。EPOFPO。在 RtPEO 中， tanEPO ，EOPE EPO30。 EPF60。（2）点 P是 AD的中点， APDP
8、。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL） 。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。 ABCD是矩形。 点 P是 AD的中点，点 F是 DO的中点， AOPF。 PFBD， ACBD。 ABCD是菱形。 ABCD是正方形。 BD BC。2 BF BD，BC3 4 BC，解得，BC4。34 2【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接 PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”证明PEO 和PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得FPO=EPO，从而得解。（2）根据条件证
9、出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。4. （2012 甘肃白银 10分）如图，点 A，B，C，D 在O 上，AB=AC，AD 与 BC相交于点 E，AED12，延长 DB到点 F，使 12，连接 AF（1）证明：BDEFDA；（2）试判断直线 AF与O 的位置关系，并给出证明2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 5 页 共 31 页【答案】解:（1）证明：在BDE 和FDA 中，FB 2BD，AE 1ED， BDE2FA3。又BDEFDA，BDEFDA。（2）直线 AF与O 相切。证明如下：连接 OA，OB，OC，ABAC，BOCO，OAOA，
10、OABOAC（SSS） 。OABOAC。AO 是等腰三角形 ABC顶角BAC 的平分线。AOBC。BDEFDA，得EBDAFD，BEFA。AOBE，AOFA。直线 AF与O 相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。【分析】 （1）因为BDE 公共，夹此角的两边 BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知BDEFDA。（2）连接 OA、OB、OC，证明OABOAC，得出 AOBC再由BDEFDA，得出EBD=AFD，则 BEFA，从而 AOFA，得出直线 AF与O 相切。5. （2012 广东广州 14分）如图，
11、在平行四边形 ABCD中，AB=5，BC=10，F 为 AD的中点，CEAB 于 E，设ABC=（6090） （1）当 =60时，求 CE的长；（2）当 6090时，是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由连接 CF，当 CE2CF 2取最大值时，求 tanDCF 的值2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 6 页 共 31 页【答案】解：（1）=60，BC=10，sin= CEB，即 sin60= CE3102，解得 CE=53。（2）存在 k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：连接 CF并延长交 BA的延长线于点 G，F 为 AD
12、的中点，AF=FD。在平行四边形 ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG 和CFD 中，G=DCF，G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS） 。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，点 F是 AD的中点，AG=5，AF= 12AD= BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG 中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数 k=3，使得EFD=3AEF。设 BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在 RtBCE 中，CE 2=
13、BC2BE 2=100x 2。在 RtCEG 中，CG 2=EG2+CE2=（10x） 2+100x 2=20020x。CF=GF（中已证） ，CF 2=（ 1CG） 2= 4CG2= 1（20020x）=505x。CE 2CF 2=100x 250+5x=x 2+5x+50=（x 52） 2+50+ 4。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 7 页 共 31 页当 x= 52，即点 E是 AB的中点时， CE2CF 2取最大值。此时，EG=10x=10 51=2，CE= 510x=142， CG5tanDFta1E32。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形
14、的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】 （1）利用 60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接 CF并延长交 BA的延长线于点 G，利用“角边角”证明AFG 和CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得 CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=GF，再根据 AB、BC 的长度可得 AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得AEF=G=AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，从而得解。设 BE=x，在 RtBCE 中
15、，利用勾股定理表示出 CE2，表示出 EG的长度，在 RtCEG 中，利用勾股定理表示出 CG2，从而得到 CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。6. （2012 广东肇 庆 10分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB为直径的O 交 AC于点 E，交 BC于点 D，连结 BE、AD 交于点 P. 求证：（1）D 是 BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】证明：（1）AB 是O 的直径，ADB=90，即 ADBC。AB=AC，D 是 BC的中点。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 8 页 共 31 页（2）AB 是O 的直径
16、，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C 是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。 ABDCE。 BC。BC=2BD， 2，即 ADE。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。 DPBCE。 ADP2CE，即 ABCE=2DPAD。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由 AB是O 的直径，可得 ADBC，又由 AB=AC，由三线合一，即可证得 D是 BC的中点。（2）由 AB是O 的直径，AEB=ADB=90，又由C 是公
17、共角，即可证得BECADC。（3）易证得ABDBCE 与BPDBCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得 ABCE=2DPAD。7. （2012 贵州毕节 14分）如图，AB 是O 的直径，AC 为弦，D 是 ABC的中点，过点 D作EFAC 的延长线于 E，交 AB的延长线于 E，交 AB的延长线于 F。（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 sinF= 13，AE=4，求O 的半径和 AC的长。【答案】 （1）证明：连接 OD，2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 9 页 共 31 页D 是 ABC的中点，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF
18、=90。EF 是O 的切线；（2）解：在AEF 中，E=90，sinF= 13 ，AE=4， AEF12sin。设O 的半径为 R，则 OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF 中，ODF=90，sinF= 13，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。连接 BC，则ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O 的半径为 3，AC 的长为 2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】 （1）连接 OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则 O
19、DAC，从而得出ODF=90，即 EF是O 的切线。（2）先解直角AEF，由 sinF= 13 ，得出 AF=3AE=12，再在 RtODF 中，由sinF= 13，得出 OF=3OD，设O 的半径为 R，由 AF=12列出关于 R的方程，解方程即可求出O 的半径。连接 BC，证明 BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出 AC的长。8. （2012 江苏泰州 12分）如图，已知直线 l与O 相离，OAl 于点 A，OA=5，OA 与O相交于点P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l于点 C（1）试判断线段 AB与 AC的数量关系，并说明理由；（2
20、）若 PC= 52，求O 的半径和线段 PB的长；（ 3） 若 在 O上 存 在 点 Q， 使 QAC是 以 AC为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 求 O的 半 径 r的 取 值 范2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 10 页 共 31 页围 【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接 OB。AB 切O 于 B，OAAC，OBA=OAC=90。OBP+ABP=90，ACP+CPB=90。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长 AP交O 于 D，连接 BD，设圆半径为 r，则由 OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=
21、 25， 2222ABOrACP 5r形 。由（1）AB=AC 得 5 5r形，解得：r=3。AB=AC=4。PD 是直径，PBD=90=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。 CPADB，即 256P，解得65PB=。（3）作线段 AC的垂直平分线 MN，作 OEMN，则 OE= 12AC= AB= 25r。又圆 O要与直线 MN交点，OE= 215rr，2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 11 页 共 31 页r 5。又圆 O与直线 l相离，r5。 O的 半 径 r的 取 值 范 围 为 r5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆
22、的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）连接 OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPB=90，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长 AP交O 于 D，连接 BD，设圆半径为 r，则 OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出225r 5r形，求出 r，证DPBCPA，得出 CPADB ，代入求出 PB即可。（3）根据已知得出 Q在 AC的垂直平分线上，作出线段 AC的垂直平分线 MN，作OEMN，求出 OEr，求出 r范围，再根据相离得出 r5，即可得出答案。9. （2012 江苏南京 10分）如图，A
23、、B 为O 上的两个定点，P 是O 上的动点（P 不与A、B 重合） ，我们称APB 为O 上关于 A、B 的滑动角。（1）已知APB 是 O上关于点 A、B 的滑动角。 若 AB为O 的直径，则APB= 若O 半径为 1，AB= 2，求APB 的度数（2）已知 2O为 1A外一点，以 2O为圆心作一个圆与 1OA相交于 A、B 两点，APB 为1A上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交 2于点 M、N（点 M与点 A、点 N与点 B均不重合） ，连接 AN，试探索APB 与MAN、ANB 之间的数量关系。【答案】解：（1）90 0。如图，连接 AB、OA、OB2012 年中考数
24、学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 12 页 共 31 页在AOB 中，OA=OB=1AB= 2，OA 2+OB2=AB2。AOB=90。当点 P在优弧 AB 上时（如图 1） ，APB= AOB=45；当点 P在劣弧 AB 上时（如图 2） ，APB= 12（360AOB）=135。（2）根据点 P在O 1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点 P在O 2外，且点 A在点 P与点 M之间，点 B在点 P与点 N之间，如图 3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二种情况：点 P在O 2外，且点 A在点 P与点 M之间，点 N在点P与点 B之间，如图 4，MAN=APB+ANP=
25、APB+（180ANB） ，APB=MAN+ANB180。第三种情况：点 P在O 2外，且点 M在点 P与点 A之间，点 B在点P与点 N之间，如图 5，APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB。第四种情况：点 P在O 2内，如图 6，APB=MAN+ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】 （1）根据直径所对的圆周角等于 90即可得APB=90 0。根据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点 P在优弧 AB上；点 P在劣弧 AB上两种情况讨论即可。（2）根据点 P在O 1上的位置分为四种情况得到APB 与MAN、ANB 之间的数量关
26、系。10. （2012 四川宜宾 10分）如图，O 1、O 2相交于 P、Q 两点，其中O 1的半径r1=2，O 2的半径 r2= 过点 Q作 CDPQ，分别交O 1和O 2于点 CD，连接2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 13 页 共 31 页CP、DP，过点 Q任作一直线 AB交O 1和O 2于点 AB，连接 AP、BP、ACDB，且 AC与DB的延长线交于点 E（1）求证： PA2B；（2）若 PQ=2，试求E 度数【答案】 （1）证明：O 1的半径 r1=2，O 2的半径 r2= ，PC=4，PD=2 2。CDPQ，PQC=PQD=90。PCPD 分别是O 1、O
27、2的直径，在O 1中，PAB=PCD，在O 2中，PBA=PDC，PABPCD。 PABCD，即 PC42。（2）解：在 RtPCQ 中，PC=2r 1=4，PQ=2，cosCPQ= Q1P2。CPQ=60 。在 RtPDQ 中，PD=2r2=2 ，PQ=2，sinPDQ= D。PDQ=45 。CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45。又PD 是O 2的直径，PBD=90。ABE=90PBQ=45。在EAB 中，E=180CAQABE=75。答：E 的度数是 75。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。2012 年
28、中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 14 页 共 31 页【分析】 （1）求出 PC、PD，证PABPCD，得出 PABCD，从而PAC42BD。（2）由 cosCPQ= PQ1C，求出 CPQ=60，同理求出PDQ=45。由圆周角定理，得出CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45，求出PBD=90，求出ABE=45根据三角形的内角和定理求出即可。11. （2012 四川广安 9分）如图，在ABC 中，ABC=ACB，以 AC为直径的O 分别交AB、BC 于点 M、N，点 P在 AB的延长线上，且CAB=2BCP（1）求证：直线 CP是O 的切线（2）若 BC=2 5，sinBCP=
29、5，求点 B到 AC的距离（3）在第（2）的条件下，求ACP 的周长【答案】解：（1）ABC=ACB 且CAB=2BCP，在ABC 中，ABC+BAC+BCA=180，2BCP+2BCA=180。BCP+BCA=90，即PCA=90。又AC 是O 的直径，直线 CP是O 的切线。（2）如图，作 BDAC 于点 D，PCAC，BDPC。PCB=DBC。C=2 5，sinBCP= 5 C5sinBCPsiDB2，解得：DC=2。由勾股定理得：BD=4。点 B到 AC的距离为 4。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 15 页 共 31 页（3）如图，连接 AN，在 RtACN 中，
30、 CN5A= sin DB sinP，又 CD=2，AD=ACCD=52=3。BDCP，ABDACP。 BDAPC，即 43P5。 20C3。在 RtACP 中，225+53。ACP 的周长为 0AP3。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】 （1） ）根据ABC=AC 且CAB=2BCP，在ABC 中ABC+BAC+BCA=180，得到 2BCP+2BCA=180，从而得到BCP+BCA=90，证得直线 CP是O 的切线。（2）作 BDAC 于点 D，得到 BDPC，从而利用C5sinBCPsiB2求得 DC
31、=2，再根据勾股定理求得点 B到 AC的距离为 4。（3）先求出 AC的长度，然后由 BDPC 求得ABDACP，利用比例线段关系求得 CP的长度，再由勾股定理求出 AP的长度，从而求得ACP 的周长。12. （2012 四川达州 7分）如图，C 是以 AB为直径的O 上一点，过 O作 OEAC 于点 E，过点 A作O 的切线交 OE的延长线于点 F，连结 CF并延长交 BA的延长线于点 P.（1）求证：PC 是O 的切线.（2）若 AF=1，OA= 2，求 PC的长. 【答案】解：（1）证明：连结 OC， 2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 16 页 共 31 页 OEAC
32、，AE=CE。FA=FC。 FAC=FCA。OA=OC，OAC=OCA。OAC+FAC=OCA+FCA，即FAO=FCO。FA 与O 相切，且 AB是O 的直径，FAAB。FCO=FAO=90。又OC 是O 的半径，PC 是O 的切线。（2）PC 是O 的切线，PCO=90。而FPA=OPC，PAF=90，PAFPCO 。 PAFCO。CO=OA= 2，AF=1，PC= 2PA 。设 PA=x，则 PC= x在 RtPCO 中，由勾股定理得， 222(x)()(x) ，解得： 42x7。PC 167。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （
33、1）连接 OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明FAC=FCA，然后根据切线的性质得出FAO=90，然后即可证明结论。（2）先证明PAFPCO，利用相似三角形的性质得出 PC与 PA的关系，在 RtPCO中，利用勾股定理可得出 x的值，从而也可得出 PC得长。13. （2012 四川德阳 14分） 如图，已知点 C是以 AB为直径的O 上一点，CHAB 于点H，过点 B作O 的切线交直线 AC于点 D，点 E为 CH的中点，连结并延交 BD于点 F，直线CF交 AB的延长线于 G.求证：AEFD=AFEC；求证：FC=FB；若 FB=FE=2，求O 的半径 r的长.2012 年中考数学压轴题分
34、类解析汇编 (十专题)第 17 页 共 31 页【答案】 （1）证明：BD 是O 的切线，DBA=90。CHAB，CHBD。AECAFD。 AECFD。AEFD=AFEC。（2）证明：CHBD，AECAFD，AHEABF。 CEAHDFB。CE=EH（E 为 CH中点） ，BF=DF。AB 为O 的直径，ACB=DCB=90。CF=DF=BF，即 CF=BF。（3）解：BF=CF=DF（已证） ，EF=BF=2，EF=FC。FCE=FEC。AHE=CHG=90，FAH+AEH=90，G+GCH=90。AEH=CEF，G=FAG。AF=FG。FBAG，AB=BG。连接 OC，BC，BF 切O 于
35、 B，FBC=CAB。OC=OA，CF=BF，FCB=FBC，OCA=OACFCB=CAB。ACB=90，ACO+BCO=90。FCB+BCO=90，即OCCG。CG 是O 切线。GBA 是O 割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BGAG=2BG2，【注，没学切割线定理的可由AGCCGB 求得】在 RtBFG 中，由勾股定理得：BG 2=FG2BF 2，FG 24FG12=0。解得：FG=6，FG=2（舍去） 。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 18 页 共 31 页由勾股定理得：AB=BG= 26=4。O 的半径 r是 。【考点】切线的判定和性质，等腰三
36、角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 BD是O 的切线得出DBA=90，推出 CHBD，证AECAFD，得出比例式即可。（2）证AECAFD，AHEABF，推出 BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出 CF=DF=BF即可。（3）求出 EF=FC，求出G=FAG，推出 AF=FG，求出 AB=BG，连接 OC，BC，求出FCB=CAB 推出 CG是O 切线，由切割线定理（或AGCCGB）得出（2+FG）2=BGAG=2BG2，在 RtBFG 中，由勾股定理得出 BG2=FG2BF 2，推出 FG24FG
37、12=0，求出 FG即可，从而由勾股定理求得 AB=BG的长，从而得到O 的半径 r。14. （2012 四川资阳 9分）如图，在ABC 中，ABAC，A30，以 AB为直径的O交 B于点 D，交 AC于点 E，连结 DE，过点 B作 BP平行于 DE，交O 于点 P，连结EP、CP、OP（1）(3 分)BDDC 吗？说明理由；（2）(3 分)求BOP 的度数；（3）(3 分)求证：CP 是O 的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设 OP交 AC于点 G，证AOGCPG
38、” ；小强说：“过点 C作 CHAB 于点 H，证四边形 CHOP是矩形” 【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接 AD，AB 是直径，ADB=90。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 19 页 共 31 页AB=AC，BD=DC。（2）AD 是等腰ABC 底边上的中线，BAD=CAD 。 ABDE。BD=DE。BD=DE=DC。DEC=DCE。ABC 中，AB=AC，A=30，DCE=ABC= 12 (180 30)=75。DEC=75。EDC=1807575=30。BPDE，PBC=EDC=30。ABP=ABCPBC=7530=45。OB=OP，OBP=OPB=45
39、。BOP=90。（3）设 OP交 AC于点 G，则AOG=BOP =90。在 RtAOG 中，OAG=30， OG1A2。又 OP1ACB2， PC。 PC。又AGO=CGP，wAOGCPG。GPC=AOG=90。CP 是 O的切线。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）连接 AD，由圆周角定理可知ADB=90，再由 AB=AC可知ABC 是等腰三角形，故 BD=DC。（2）由于 AD是等腰三角形 ABC底边上的中线，所以BAD=CAD，故 ABDE，从而可得出 BD=DE，故 BD=DE=DC，所以DEC=DCE，ABC 中
40、由等腰三角形的性质可得出ABC=75，故DEC=75由三角形内角和定理得出EDC 的度数，再根据 BPDE 可知PBC=EDC=30，进而得出ABP 的度数，再由 OB=OP，可知OBP=OPB，由三角形内角和定理即可得出BOP=90。（3）设 OP交 AC于点 G，由BOP=90可知AOG=90在 RtAOG 中，由OAG=30，可知 O1A2，由 PO1CAB2得 PG， OPAC ，由AGO=CGP可得出AOGCPG，由相似三角形形的性质可知GPC=AOG=90，故可得出 CP是O的切线。 2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 20 页 共 31 页15. （2012 山
41、东滨州 12分）如图 1，l 1，l 2，l 3，l 4是一组平行线，相邻 2条平行线间的距离都是 1个单位长度，正方形 ABCD的 4个顶点 A，B，C，D 都在这些平行线上过点 A作 AFl 3于点 F，交 l2于点 H，过点 C作 CEl 2于点 E，交 l3于点 G（1）求证：ADFCBE；（2）求正方形 ABCD的面积；（3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 h1，h 2，h 3，试用 h1，h 2，h 3表示正方形 ABCD的面积 S【答案】解：（1）证明：在 RtAFD 和 RtCEB 中，AD=BC，AF=CE，RtAFDRtCEB（HL） 。（2
42、）ABH+CBE=90，ABH+BAH=90，CBE=BAH。又AB=BC，AHB=CEB=90，ABHBCE（AAS） 。同理可得，ABHBCECDGDAF。S 正方形 ABCD=4SABH +S 正方形 HEGF=4 1221+1+1=5。（3）由（1）知，AFDCEB，故 h1=h3，由（2）知，ABHBCECDGDAF，S 正方形 ABCD=4SABH +S 正方形 HEGF=4 2（h 1+h2）h 1+h22=2h12+2h1h2+h22【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。【分析】 （1）直接根据 HL定理得出 RtAFDRtCEB。（2）由 AAS定理
43、得出ABHBCECDGDAF，再根据 S 正方形 ABCD=4SABH +S正方形 HEGF即可得出结论。（3）由AFDCEB 可得出 h1=h3，再根据（2）中ABHBCECDGDAF，可知S 正方形 ABCD=4SABH +S 正方形 HEGF，从而得出结论。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 21 页 共 31 页16. （2012 山东泰安 10分）如图，E 是矩形 ABCD的边 BC上一点，EFAE，EF 分别交AC，CD 于点 M，F，BGAC，垂足为 C，BG 交 AE于点 H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E是 B
44、C中点，BC=2AB，AB=2，求 EM的长【答案】解：（1）证明：四边形 ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90，AEB+BEA=90。BAE=CEF。ABEECF。（2）ABHECM。证明如下：BGAC，ABG+BAG=90。ABH=ECM。由（1）知，BAH=CEM，ABHECM。（3）作 MRBC，垂足为 R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45。MER=45，CR=2MR。MR=ER= 12RC=3。EM= MR2sin453。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】 （1）由四边形 ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90，又由 EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF。（2）由 BGAC，易证得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可证得ABHECM。2012 年中考数学压轴题分类解析汇编 (十专题)第 22 页 共 31 页
