1、第 1 页 共 15 页2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 II）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题 11、12、16 题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理
2、相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化， “夯实双基(基础知识、基本方法)” ，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数23i（A） 4i （B） 34i （C） 34i （D） 34i【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i22()1()34iii.（2）.函数 ln()xy的反函数是（A） 210xe （B） 21(0)xye（C） (R)y （D） R【答案】D【命题意图】本试题
3、主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得 ，即 ，又 ；在反函数中 ，故选 D.第 2 页 共 15 页（3）.若变量 ,xy满足约束条件1,325xy ，则 zxy的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由 A(1,)(,41,)构成的三角形，可知目标函数过 C 时最大，最大值为 3，故选 C.（4）.如果等差数列 na中， 3452a，那么 127.a（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】 1734544
4、1274()12, 282aaaa（5）不等式260x的解集为（A） ,3 或 （B） 213xx ， 或 （C） 21xx ， 或 （D） ， 或 【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】 利用数轴穿根法解得-2x1 或 x3，故选 C（6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号 1,2 的卡片放入同一
5、封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封第 3 页 共 15 页两个有 种方法，共有 种，故选 B.（7）为了得到函数 sin(2)3yx的图像，只需把函数 sin(2)6yx的图像（A）向左平移 4个长度单位 （B）向右平移 4个长度单位（C）向左平移 2个长度单位 （D）向右平移 2个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】 sin()6yx=si2()1x， sin()3yx= sin()6x，所以将i2的图像向右平移 4个长度单位得到 2的图像，故选 B.（8） ABCV中，点 D在 AB上， C平方 AB若 Caur， Abr， 1a，b，则
6、ur（A） 123a （B） 213ab （C） 345b （D） 435【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为 CD平分 A，由角平分线定理得 A2=B1，所以 D 为 AB 的三等分点，且 2B(C)3，所以12+ab3，故选 B.（9）已知正四棱锥 SAD中， S，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为 a，则高 所以体积第 4 页 共 15 页，设 ，则 ，当 y 取最值时， ，解得 a=0 或a=4 时，体积最大，此
7、时 ，故选 C.（10）若曲线12yx在点12,a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力【解析】332211,yxka，切线方程是1322()yaxa，令 0，123a，令 0， ，三角形的面积是128s，解得 64.故选 A.（11）与正方体 1ABCD的三条棱 AB、 1C、 D所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线 上取一点，分别作
8、 垂直于 于 则分别作，垂足分别为 M，N ，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN PM ；PQ AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 ，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC 1、A 1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.第 5 页 共 15 页（12）已知椭圆2:1(0)xyCab 的离心率为 32，过右焦点 F且斜率为(0)k的直线与 相交于 AB、 两点若 FB，则 k（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作
9、 AA1，BB 1 垂直于l，A 1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得，由 ，得 ，即 k= ，故选 B.第卷注意事项：1用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共 10 小题，共 90 分。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13）已知 a是第二象限的角， 4tan(2)3，则 tan 【答案】 12 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由 4tan()3得 4tan23，又 2tan4t13，解得1t2或，又 是第二象限的角，所以 .（14）若 9()x的
10、展开式中 3x的系数是 84，则 a 【答案】1 第 6 页 共 15 页【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.【解析】展开式中 3x的系数是 339()84,1Caa.（15）已知抛物线 2:0yp 的准线为 l，过 (,0)M且斜率为 3的直线与 l相交于点 A，与 的一个交点为 B若 A，则 p 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l于 E， B，M 为中点， 1BA2，又斜率为 3， 0A3， 1A2， ME，M 为抛物线的焦点，p2.（16）已知球 O的半径为 4，圆 与圆 N为该球的两个小圆，
11、AB为圆 与圆 N的公共弦， B若 3M，则两圆圆心的距离 【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图， 4，所以22AOR3， =3，由球的截面性质，有 OME,N， MN，所以 与 全等，所以 MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， E2OA 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 10 分）ABC中， D为边 上的一点， 3BD， 5sin13， 3cos5ADC，求 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关
12、系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cosADC= 0，知 B .由已知得 cosB= ，sinADC= .从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB= = .第 7 页 共 15 页由正弦定理得 ，所以 = .【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（18） （本
13、小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和 2()3nnSA（）求 limnS；（）证明： 1223naa 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1()2nnsa的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】第 8 页 共 15 页【点评】2010 年高考数学全国 I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列
14、求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.（19）如图，直三棱柱 1ABC中， ABC， 1A， D为 1B的中点，E为 1AB上的一点， 3E（）证明： D为异面直线 1与 D的公垂线；（）设异面直线 1AB与 C的夹角为 45，求二面第 9 页 共 15 页角 11ACB的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB 1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 B
15、B1的中点，故 DEBF，DEAB 1. 3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB 1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB 1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= .作 B1HA 1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC 1，K为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1KAC 1，因此
16、B 1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.第 10 页 共 15 页【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.（20） （本小题满分 12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过T1， T2， T3的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互
17、独立已知 T1， T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 第 11 页 共 15 页（）求 p；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率；（） 表示 T1， T2， T3， T4中能通过电流的元件个数，求 的期望【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.（21） （本小题满分 12 分）己知
18、斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 210xyabb ， 相交于 B、 D 两点，且第 12 页 共 15 页BD 的中点为 1,3M （）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， 17DBA，证明：过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】第 13 页 共 15 页【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.（22） （本小题满分 12 分）设函数 1xfe（）证明：当 -时， 1xf；（）设当 0x时， a，求 a 的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的第 14 页 共 15 页能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】第 15 页 共 15 页【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
