1、本文简介现在上网的材料微积分魔术 ，是两书微积分快餐 （科学出版社，2009年 8 月） 、 微积分减肥快跑 （科学普及出版社，2011 年 1 月）的姊妹篇今年 3 月，日本地震惊动了世人，也惊动了微积分教育：微积分不仅为了高中、大学阶段做题、考试之用，更重要的是之后用于预测或破解关系人类生存的大事所以本文一开始就添加一段“微积分何用” ，凸显学习的目的接下来转入主题，微积分如何像算术或魔术一样，一步一步把困难变走具有高中数学程度的读者只要用心都能理解，并进一步引导他们到近代微积分作者简介林群 中国科学院院士 发展中世界科学院院士中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要从事计算数学研究曾获
2、全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B博尔扎诺数学科学成就金奖热爱科普和教育事业，著有画中漫游微积分、微分方程与三角测量、微积分快餐等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任、北京市数学建模竞赛委员会主任微积分魔术封面图：变走飞机算术，或魔术，拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招作者 林群 *（linqlseccc accn）* 中国科学院院士，发展中世界科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员主要从事计算数学研究曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B博尔扎诺数学
3、科学成就金奖热爱科普和教育事业，著有画中漫游微积分、微分方程与三角测量、微积分快餐等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任引论摘要 算术拿来与微积分对照：算术里有一招， 2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招微积分何用微积分躲不开、绕不过，高中学它为了快速解题、有利减负，何况大学理工科更要对付难题（如图 0-4） 但文史类就不要学吗？请看托尔斯泰本人对战争与和平的解读，图 0-1 摘自战争与和平：只有采取无限小的观察单位历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案历史的规律正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯
4、下的和无法避免的错误最后一句凸显了微积分对人类何用还有一些故事：为什么柏林墙会在 1989.11.9倒塌？为什么苏联在 1992 年 1 月瓦解？为什么股市在 1929 和 1987 年的 10 月崩溃？是什么导致 911 的恐怖袭击？图 0-2 不知情微积分会帮我们得到答案（或知情） （见36的报告） 回到更近一些国计民生买菜只用初等算术，但存款利息怎么算？见下图：图 0-3 复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分人口预测的难题能不能快速解出？见下图：图 0-4 2000 年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，得 12.66 亿，又慢又费；若用微积分，只要一个大学生花 5 分钟，得
5、 13.45 亿，又快又省，相差 8000万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成此例凸显了微积分的效率还有天气预报、地震预报更难，图 0-5 2011 年 6 月日本宣布滨冈核电地带在 30 年内发生 8 级地震的概率高达 87% 该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人但人命关天：像 2011 年 3 月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染图 0-6 排队买盐（不止中国）简言之从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分这些事难道不会影响到你的行为、感觉或感情，甚或生存？尽管你不必亲自写小说，算利息或作预报，这些都有专家做，但它们怎么来的?为什么是这样？暗藏什么玄机？难道你不
6、想享有更多的知情权（或知识权）吗？图 0-7 知情权这是生存权的一部分，若你有这意识，生存不光吃喝玩乐，那就应该学一点微积分 微积分与算术对照计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表：图 0-8 九九歌但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，叫微积分，专来计算函数的导数与积分，有导数与积分表图 0-9 微积分两块门牌 （简称两张表，见本文第一篇末） ，其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可不知（知其然且知其所以然） 这就是微积分中压倒一切的重头戏，破解微积分先破解两张表 上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相被缩小到两条代数式（书中式（1-14） （1-15 ） ）上，完全
7、的证明或推导又缩小到几步高中数学（甚或几个裸例上）没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明白（知其所以然） ，微积分高中化了，这是当务之急图 0-10 梦想成真：高中微积分但凭什么有这样大的本领，能把传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密何在？幼儿在计算 2+9 时由 2 出发用手掰 9 下才算出来，一旦变到 9+2 时由 9出发只要掰 2 下，难度降低了，甚或把困难变走了 图 0-11 变个角度 难度下降初等算术如此，对比高等的微积分，也有同理：一旦变个角度，偶然的火花，图 0-12 思想的火花能把计算导数/积分的困难（小除数/无穷次相加）变走（见本文第一篇） ，一下改变形势打破
8、僵局，所以也被比作变魔术：图 0-13 变走飞机我们把上述工作方法总结为直接法：概念定理少、证明推导短，抄近路速战速决（图 0-14 右）几页让人知情反之，盛行的系统法：先要讲极限、连续性、实数等，概念定理多、证明推导长，数百页，迂回周折（图 0-14 左）捉不住要领，让人难以知情图 0-14 系统法 (盘山公路迂回战) 和 直接法(抄近路速战速决) 这样，几页取代了数百页！我们及早地、简单地破获了两张表，让人及时知情（知其所以然） 这是最原始的资本，以后的微积分便从此展开，不断地使用和发酵， 图 0-15 发酵所以有了这两张表，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利！有人想多学（如考研） 那
9、么，接下来就将前面两张表（或两条代数式）普遍化（由初等函数扩充到一切可能的函数） ，同时又推到顶级（泰勒展开） 这些作业只是发酵，只有量变并无难度上面两张表及泰勒展开，堪称微积分的三次战役，上演着“三国演义” 到此，无需大装备，小米加步枪，高中学生也能参战，图 0-16 步兵 属于第一遍微积分接下来，第二遍微积分， 最大的战役或主战场，向“微分方程”世界进军微分方程是牛顿以来无数科学家用来主宰世界的模型，图 0-17 运动服从微分方程也是高中和大学的分水岭，属于更难的算术，高中数学已不够用，需要大装备，除了大学专业中高深的概念定理和更长的证明推导，还得求助于计算机图 0-18 多兵种这时只能走
10、大道（如图 0-14 左） ，尚无小路可攀，所以到了该出手时才出手！但此文未能谈及这些，需读前书微积分减肥快跑第六章继续长征， 图 0-19 长征扩张到多元微积分，第三遍微积分，最难部分所以，微积分要分几遍学但此文未能谈及这些，需读前书微积分快餐第四章自然要问，有没有比第一遍更原始的微积分呢？也许依靠看图识字（或要看不要想） ，把微积分的最初原因缩小到平面三角上：有三部曲，初中高中大学，图 0-20 微积分三部曲它们来自光明日报 （1997 年 6 月 27 日）与人民日报 （1997 年 8 月 6 日）5上的漫画图 0-21人民日报：从求树高（平面三角）到求山高（微积分）偶然的火花以及普及
11、读物 画中漫游微积分7（广西师大出版社，1999 年 1 月）给出图 0-20 中基本公式的两步证明（回答为什么各段误差相加不会放大但会变小，即本文 1.2 节） 这张画颇受欢迎，先后被用于几所大学及中学的教学8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33：图 0-22 初中课本 15通过斜坡求高渗透微积分的基本思想图 0-23 高中课本23封面上曲线求高图此文为重写，分离出第一遍（中学）第二遍和第三遍微积分前书微积分快餐 、 微积分减肥快跑以及现在上网的材料，跟张景中直来直去的微积分异曲同工，都可作为姊妹篇可惜呀 微积分还不能变成讲故事（或许永远是梦想） ，怎能引人入胜
12、？相反它有公式和概念，使人走神或催眠图 0-24 听故事聚精会神 听数学看报打瞌睡所以，为拉回或唤醒听众，本文时时插入画片，甚至不惜采用极端的言辞（微积分不取极限哪来简明的结论） 第篇 微积分两张表微积分压倒一切的两件事，求导数和求积分当今盛行的课本要改变：求导数退出极限过程改用高中代数式；求积分退出函数的面积改求导数的面积就像左图，变个角度，复杂度猛降！理想的世界里，万物终于简单，动态过程终于静态结局（也称极限状态） 例如，割线（OS）变动的终结（极限状态）是切线(OT)，切线是割线的简化，代表了这个过程图 1-1 割线与切线又如图 0-20：无穷次相加的终结（极限状态）是积分值，积分值是无
13、穷次相加的简化，代表了这个过程，详见 1.1-1.2 节但先睹为快，所以先做一番粗描函数从来都不是一成不变的，要度量它在一点处的变化，必须考虑与之相邻的点，于是想到利用差商 （1-()(fxhf1）但注意到，上式随着 的变化会产生多个数，太复杂了我们需要找到一个数h来“代表”它们既然问题出在 上，就要想方设法将其消去自然的想法令，但是遇到了小除数的问题， ，陷入了死胡同那么到底什么是我们要0h0找的那个“代表数”呢？这个小除数问题，能否解决或避开？当今盛行的课本是通过一个所谓“取极限”的过程找到一个所谓的“导数”来解决的但要深究极限概念的哲学意义，其纷繁冗杂人所共知，我们要做的只是给中学生一个
14、直接法，或者说一个更初等的标准来避开小除数，选出那个“代表” 记那个代表为 ，希望有近似式()Ax（1-()()fxhfAx2）能把小除数变走（像变魔术） ，但留有一个尾巴，误差= （1-()()fxfxh3）我们为中学生树立的标准就是要求这误差跟 成比例： （1-|)()(| hCxAfxf 4）于是当 ，误差 略去不计，真有式（1-2）成立 但这个 和那个0h )(xA“导数”之间有什么联系？事实上，我们发现对于初等函数它们结果是一致的（详见 1.1 节） ，但是更快更直接因此我们仍记成 ，即)(xf （1-()()fxhfCh5）经上面分析，我们有了度量函数在一点处变化的办法，那么函数在
15、一个线段 上又怎样呢？,ab自然想法就是取一批点 ，然后将函数 在这些点上的变化，(1.)kxnf，求平均的 但是取哪些点，取多少点呢？我们面临着和刚()kfxknkhf1)才同样的问题：当今课本仍用极限（无穷次求和） ，而我们就是要避开极限，选出那个代表元 ： I，1()nkkfxhI把无穷次求和的困难变走了但仍按上面树立的标准，要求误差跟 成比例：h， ChxfInkk|)(|1 kma另一方面，函数 在区间 上总变化已知为 ，但二者之间有什)(f,ab)(fb么联系？ ？事实上，我们发现确有bI， 若 满足式(1-5)， （1-|()()|fbafxhCf6） 所以 确实可以做代表元，符
16、合我们的标准此即基本公式)(f简言之，我们避开极限，为中学生树立标准，跟大学课本叫板，说不！详见下面两节分解1.1 导数：微积分之首微积分是近代数学之首，求导数又是微积分之首，擒贼先擒首图 1-2 打虎先打首那么什么是导数呢？过去一直将函数 在定点 的导数 （即切线的斜率）()fx()fx定义为差商（即割线的斜率） ，式(1-1)， 当 ()fxhf0h的“极限” 但有小除数 ，怎么算？这是长期以来高中学生学习的难点或0困惑, 图 1-3 0?过去只能不明不白地算，如下例例 1 022001lim(1)1limlihhhxxx = 222000lili()lihhhx2例 2 000lim11
17、limli()hhhxxx00001lilili()lihhhhxx2前面 看作常数,后面又令 略去不计，中间各种极限运算，不明不白、0h0h百思难解！更突出的，此法遇到例 3 三角函数如 00sinsin(sin)|lmlxhh00lmsiin(l)?hh算不下去，成了死棋当今高中教师只让学生死背三角函数的导数公式，知其然不知其所以然但他们应该争取知情权吧？那他们应该学好微分学 回头是岸图 1-4 放下屠刀（ ）退出极限过程，回到差商：由于做题或考试，碰到的 都是显式函数，那就()fx把式（1-1）写出来，看看是什么样？例 4 多项式如 ，则式（1-1）在定点 经约简2)(xf0 （1-00
18、hxh7）左式有小除数 ，但右式不再有小除数了：将 代入已有意义，并有h0，200()xhx这里误差为 符合我们的标准（1-4） h图 1-5 常数0上例虽过简单，但凸显求导数的要领：式（1-7）从左到右，把小除数变走了，像不像 2+9=9+2 把困难变走了？也像不像变魔术（见图 0-13）？ 下面几例想法还是一样，只是技术稍复杂例 5 根式如 ，则式（1-1）在定点 经约简()0)fx0x0001hxh从左到右，把小除数变走了：将 代入已有意义，你可以大胆设想式（ 1-2） ，或希望有? 当 ， （1-00012xhxh8）但有2000001=2()hxhxx误 差是否符合我们的标准（1-4
19、）？好在分子露出了 以后还会看到,分母中的 没h有影响，误差只跟 成比例于是当 ，误差 略去不计，真有式（1-8）或00012xhx成立，右边就定义为导数，代表了 在 的变化例 6 有理多项式如 ，则式（1-1）在定点 经约简1()0)fx0x0001()hxh从左到右，把小除数变走了：将 代入已有意义，你可以大胆设想式（ 1-2） ，或希望有？ 当 ， （1-2001()xhx0h9）但有误差= =2001()xhx0()h是否符合我们的标准（1-4）？好在分子露出 以后还会看到,分母中的 没有h影响, 误差只跟 成比例于是当 ，误差 略去不计，真有式（1-9）或h0021xhx成立，右边就
20、定义为导数，代表了 在 的变化0总之，误差的共同点：分子露出 ，虽然分母也含 ，但它可以干掉，终hh被分子的 夹住： |h， （1-|C误 差10） 符合我们的标准（1-） 重要的是，其中常数 与 无关，不难找!于是当x，误差 略去不计，差商便简化为常数主项，称导数所以，导数是差0h商的简化！上面所说分母的 怎么干掉？ 怎么找？初读略去，有空再看下面hC设例 5 中 定义在 （ ） 既然差商中出现 ，自然要x(,)a00xh求根号内（只要 ） ，00xha|ha于是分母中这一项可拿掉，所以误差终被 夹住|320012()hxa即 与 及 无关，放心吧！321Ca0xh设例 6 中 定义在 （
21、） ，误差分母中(,)(,)a0a（只要 ）02xh|2h可换掉，所以误差终被 夹住|230()hxa即 与 及 无关，放心吧！ 32Ca0xh注 在前一例中因为分母中出现的是加法，所以和 有关的项可以直接放缩到h0；而本例中分母中是乘法，必须放缩到正常数。三角函数与上面各例又有所不同，并用到面积不等式初读略去例 7 三角函数如 ，则式（1-1）在 就是xfsin)(0x0sinhh有小除数 ，不能再约简，但留意到分子 （见图 1-6） ， 0h图 1-6 面积不等式 （当 ）sinsintacohh0还是把小除数变走了：？ （1-i111）但有误差= sin 1h是否符合我们的标准（1-4）
22、？由图 1-7 的不等式sicoh有，2sin 1csinh所以误差终被 夹住：|h|误差| |于是当 ，误差 略去不计，真有式（1-11）成立，右边就定义为导数00(sin)|1x当 ，计算几乎一样，只是长些：x00000sin()i ico sin sixhhhx= 00s1coin()x= ，0 cs si()xhh其中常数 怎么得来？因为 剩下就是误差0csi1 表面复杂，最终仍被 夹住：00sin coo()si()hxx |02 cs sin cos 1cin()sin1oh.hxh 于是当 ，误差 略去不计，所以000(sin)|cosx到了 1.2 节，定义了积分之后，我们还能
23、定义对数函数（和指数函数） ，它们的误差也符合标准（1-10） ，其中常数 C 与 无关，也不难找（见第篇）!对比：有了这些裸例，4-7，再跟开始的 1-3 比较，后者都说些什么，你还看得进去吗？裸例 4-7 才是微分学的精髓或金子，图 1-7 吹尽狂沙始见金由此足够捕获灵感，有了一般概念：初等函数 在点 求导数，有差商近似()fx式（1-2）：()()fxhfA右边 为常数项，把小除数变走了，但有式(1-3):()Ax误差 ()()fxfxh被 夹住，符合标准（1-10） （ ， 与 无关，不难找） 于是当|h |C误 差，误差 略去不计，真有式（1-2）成立，差商便简化为常数主项0（两个变
24、数简化为一个变数） ，它是唯一 的结局，称为在点 的导数()Ax x)(xAf所以导出显式的导数式(1-5):()()fxhfxCh根据就是以上裸例 4-7，几步高中数学，把小除数变走了！更重要的是，有了这几个裸例，不用再试其它函数了它们的导数由以下套法生成 反证：若在一点有两条切线分别有两个斜率 与 ,令 , 又令 误差，则存在1A212d:0A:r使 ，结果导致 ，矛盾！h12,drr为什么？别小看几个裸例，它们是最基本的初等函数，代表了 99%以上的初等函数（除了个别点外，在有定义的闭区间上） ，因为后者只是前者的各种复合已知前者符合显式导数式或标准（1-5） ，可证后者也会符合同样的标
25、准（前书附录 2） 然后只要利用极少数几个最基本初等函数的导数，根据套法-微分法（前书附录 2） ，即可生成任何初等函数的导数，不需要一个一个地找导数了这不是星星之火可以燎原吗？图 1-8 星火燎原这样，把微分学缩小到几个裸例（几颗金子）上，然后由微分法按套路去操作，高中学生也能求出 99%以上初等函数的导数了放心吧！这就圆了导数高中化之梦那么，对任何初等函数，它的导数总能计算出来，而且也是初等函数是没有新东西！可是对比开头的例 1-3，原来要说上百页（还说不清） ，如今才说几页（才说明白） ，凸显教学的进步！以前怎么没有看出？认识到 2+9=9+2，也只是换个说法，人类却经历了漫长的过程像不
26、像哥伦布立鸡蛋？图 1-9 哥伦布立鸡蛋所以需要用心琢磨为什么会是这样？直至渗入血液和骨子!如此去沙留金，把一般缩小到裸例（或几步高中数学）上，最快最省、最短最浅，被我们推荐为主流方法或直接法，或称第一遍的微分学这里我们埋头致力于求（初等函数的）导数，回避了极限、微分等纠纷！这个主流方法或直接法的确不深不难！它曾由高三学生张可天在 2010 年“高教学会教育数学专委会年会”上代讲，会议主席张景中发来邮件：在年会上听了您的学生宣读您的报告，简洁清楚，确实是最简微积分您的这位高足讲得很清楚，他对您的思想理解得很到位微积分的首道关口（前半壁江山） ，导数的计算，几步攻破了，这里把小除数的困难变走，像
27、变魔术首战打赢，制服了首领（导数） ，欢呼胜利！首关是决定性的战役，下一道关口（另一半江山）积分学（或无穷次相加） ，封顶的战役，则是借助这导数的力量来制服但从简处理去沙留金，或主流方法或直接法，或第一遍微分学，毕竟存在1%的缺口或死角接下来，这些边边角角还需要修修补补，留到 2.1 节分解!1.2 积分：微积分的顶峰积分公式（1-13）唾手可得：在区间各段上列出导数式（或斜率差） （1-5） ，再借此做一下平均（式（1-12）或图 1-10）即是图 1-10 各段斜率差微分学（或求导数）只占微积分的半壁江山（费马就知道了） ，已由 1.1 节解决了另一半是积分学（是牛顿-莱布尼茨的杰作，微积
28、分的封顶之作） 费马（1602-1665） 牛顿（1642 1727） 莱布尼兹（1646 1716）过去盛行的一直是：求函数 的积分，无法直接算如今偶然的火花（见f57或图 0-20）改道去求导数 的积分，马上找出结果要知情，且看下段分解既然在 一段上已有导数式（1-10）： ，或式（1-5）：,xh C误 差 底()()fxfxh(注意: 与 也无关)，那么，在 全段上分成 段后（图 1-11） ，对各段Cx,ab1n的误差作平均（即乘以权 再相加）1iiih图 1-11 求导数只需在你站的地方，求积分则需一排人站在各分点还能得到： ，或标准 C误 差 平 均 最 大 底， （1-0()(
29、|)|nkkkkfxhfxfhCmaxkh12）(因为式 ） ，但左边转换为(1-5)(-2)式0 0| ()|()()|n nkkk kk kfxhfxfhfbafxh (因为 也分成 份： )，结果)(fba1n0nkk式(1-12) 转换为标准(1-6): 式（1-12）左边是缩写： 000()()(). )nnnfxhfxfxhfxfhfh 取绝对值，由定义式（1-5） ，放大为式（ 1-12）的右边： abCCn)()(0（若 为初等函数） 0|()()|nkkfbafxhCf这是什么？不就是 可积，把无穷次相加的困难变走了：微分和，或 的面积 ，对随便的分割f0()nkkf（当 ）
30、都会趋于共同的常数 0h()fba以及我们一门心思想要得到、出尽了风头的基本公式 ，或缩写为 （1-()()baffxd13）图 1-12 出尽风头（其中积分号对应于式（1-6）的和号，微分号 对应于 ）吗？还要什么别的dxh证明？ 再短没有了：由式（1-5）到式（1-12）只是平均一下，由式（1-12）到式（1-13）只是换个说法，或同义语，唾手可致事情的巨变猛然登上微积分的顶峰！怎么就这么容易？因为借助了导数式（1-5）做平台(不必从零开始)!江苏大学张正娣问：积分公式 (1-13)为什么对 不对 呢？ff我们这样叫板，对 说不，因为求 的面积比求 的面积容易：前者为ff，后者不明！()f
31、ba 式（1-13）只是上面长句的缩写，但它的确给出了 面积的严格定义（即无论怎么分割，结局都是()fx一个数） 这就是为什么托马斯的微积分直到最后都不用积分号！图 1-13 不同积分难易不同像不像 9+2 比 2+9 容易，像不像变魔术这就是求积分的要领，也称主流方法或直接法，偶然的火花但以前怎么没有这么做？认识到 2+9=9+2，也只是换个说法，人类却经历了漫长的过程像不像哥伦布立鸡蛋？正如林逢悦所说：数学普遍太难，你觉得显然是因为偶然的火花，不等于别人立刻跟得上！别悲伤，爱因斯坦爱因斯坦（1879 1955）敢于直言：“别为数学难学而烦恼，我向你保证，我的困难比你大” 所以需要用心琢磨为
32、什么会是这样？直至渗入血液和骨子!有位学者说“假传万卷书，真传一句话” 去沙留金，图 1-14 去沙留金初等函数微积分，剩两条相属的公式初等函数微分学:= ， （1-()()fxhfxCh14） 初等函数积分学:= （1-0()(|)|,nkkkkfxhfxfhC15）即把小除数以及无穷次相加的困难变走了，留有误差跟 成比例；或几何意义， C每 段 斜 率 差 底 各 段 斜 率 差 的 平 均 最 大 底前式（站在一点）又缩小到几个裸例上，后式（站在各分点）借助于前式（自动推论）：只是平均一下，青出于蓝而胜于蓝一门学问被两条相属的公式点破了，不再百思难解回顾 1.1 节求导数退出了极限过程，
33、本节证明导数的可积性，也退出了，这就圆了微积分高中化之梦它曾由高三学生在夏令营表演过，半小时讲完对比现有微积分要讲一年，难道这不是教学的巨变？微积分战役的首战目标（两张表）几步拿下了，这里把小除数及无穷相加的困难变走，像变魔术！人生打赢一战足矣，高中学生和公众到此收兵止步以上针对初等函数，似乎太窄但做题碰到的 99%都是初等函数（除了个别点外，在有定义的闭区间上） 第一遍微积分，或主流方法或直接法，在于抓大（面上 99%，像西瓜）放小（个别 1%，像芝麻）大踏步朝前走图 1-15 不做小脚女人：妹妹你大胆往前走但毕竟遗漏了边边角角（芝麻） ，接下来如何修修补补，乃数学家之事，且看下篇分解注 直
34、接法（见图 0-10 右）对高中生或初学者不难（见微积分减肥封底张可天、庄梓铨、施轶萌、水一方、董钰塬等的发言） ，因为只有心空了，才听进别的调子图 1-16 把心空掉反之，对学过传统微积分的人，先入为主，更习惯于系统法（见图 0-14 左）但也有研究生（王珅等）说，要是先学这个版本再学传统的微积分课本，估计就不会像当初那么吃力了有的数学家（张立群等）也赞同，说微分积分作为一种运算，应该像加减乘除一样，教给中学生，本书不用极限来教他们，对于涉及到的初等函数的微分和积分都可以求出来，从而极大地丰富了过去的运算附 基本初等函数的导数表以及积分表：1. （常数的导数为 0）0C2. 1 x3. ，
35、，sincosxsinxx2sec)(ta4. 1lg, lla 特 别 地5. , ex x 特 别 地以及1. adxC2. 1 ()3. cosin xd4. isC5. 2secta x6. 2cscot xdC7. 1ln(0)x8. 特别， ,1lxxada exxdC第 2 篇微积分普遍化本篇，对一切可能的函数做微积分，将保持第篇对初等函数的框架，只改语言，将式（1-14） （1-15）右端由显式 ，改为隐式 ： Ch1可微 ， （2-:=()()fxhfx=1）可积 （2-:()(|)|1fxfxhh2）这是自然推广没有难度图 2-1 摊大饼 铺地砖这里的符号， ，其实就是 的
36、代替词，所以该为 正名平反，只是初1学先回避由可微，式（2-1） ，不能推出可积，式（2-2） 前者只是导数 存在，后f者还要求导数 几乎处处连续，需要用“几乎”的概念，所以头几遍的微积分f还不够！有关可积条件的探讨将放到第四遍微积分 反过来说，本来明白的事（ ）变得神秘（ ）了，这就是数学家的Ch1贡献爱因斯坦说：“自从数学家侵入相对论以来，我本人就再也不懂相对论了 ”第 3 篇基本公式的顶级形式揭秘：泰勒公式是微积分的最高宝塔，实由基本公式一层一层叠起来的，只是量变！微积分大戏的头两个角色是两张表或两个代数式现在第三角色泰勒公式登场泰勒（1685 1731）这是微积分的最高宝塔，数学中用得最多的公式，因此占有主要地位可惜，泰勒公式过去的证明太巧，尽管一遍又一遍地念，合下书还是忘现在改道，直接但反复地使用基本公式便得，21()0()(0).fxfxf一劳永逸，再也不忘，侥幸！ 结果,由各阶导数的初始值决定函数本身在以后的值(知道当前，预测今后)，实令人震惊! 这是最简单的动力系统事实上
