1、习题精选精讲1圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于122a，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等2F21F122 12于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值 ”与 |F F |不可忽视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为a a12 12端点的两条射线，若 |F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点2，在满足下列条件的平面上动点 P
2、的轨迹中是椭圆的是 A B C)0,3(,21F 421P621PD （答：C） ；（2）方程 表示的曲线是P1221F(6)()8xyxy_（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二e定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线 上一动点 P（x ,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答：2）)0,(Q42xy2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点
3、在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数） ，焦点在 轴上时x12bya0acosinxayby1（ ） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB ） 。如（ 1）已知方2bxay0a2AxBC程 表示椭圆，则 的取值范围为_（答： ） ；（2）若 ，且 ，则3kk1(3,)(,)2Ryx, 623yx的最大值是_， 的最小值是_（答： ）yx2yx5,（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（ ） 。方程 表示双曲线的2bay2bxa0,ab2AxByC充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆
4、有公共焦点，则该双曲线的方程51492yx_（答： ） ；（ 2）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点 ，则 C214xyO1F2e)10,4(P的方程为_（答： ）6（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时2(0)ypx2(0)ypx2(0)xpy。2(0)xpy3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则x2 12myxm 的取值范围是_（答： ）)23,1(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正
5、的坐标轴上；x2y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。习题精选精讲2特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、12双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，,ab首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。22cc22ab4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：两个焦点 ；对称性：12byax0a,axy(,0)c两条对称轴 ，一个对称中心（0,0）
6、，四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线0, (,0)bab； 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆 的离心率2xccea01ee 152myx，则 的值是_（答：3 或 ） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为510em35_（答： ）2（2）双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或 ；焦点：两个焦点 ；对称性：21xyab0,abxa,yR(,0)c两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等0,(,0)ab时，
7、称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线 ，等轴2,xykxccea1e双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；两条渐近线： 。如（1）双曲线的渐近线方程是 ，2eebya023yx则该双曲线的离心率等于_（答： 或 ） ；（2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4 或132ax5:ab） ；（3）设双曲线 （a0,b0）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是_（答： ） ； 142byax ,32（3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准(0)p0,xyR(,0)2p线的距离；对称性：一条对称轴 ，没
8、有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物y xcea线 。如 设 ，则抛物线 的焦点坐标为 _（答： ） ；1eRa, 24ax)16,(a5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点0(,)Pxy2byx00,Pxy201xyb在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内0(,)20a0(,)Pxy201ab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐0近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与
9、抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛0物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（答：(- ,-1)） ； （2）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：1，5）（5，+） ） ；（3）过35215xym习题精选精讲3双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有_条（答：3） ；12yx（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；000（3）相离： 直线与
10、椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 1 外一点2byax的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和0(,)xy分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点
11、，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_（答：2） ；（2）过点(0,2) 与双曲线 有且仅有一个公共点)4,2(xy82 1692yx的直线的斜率的取值范围为_（答： ） ；（3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若45,12yxl4，则满足条件的直线 有 _条（答：3） ；（4）对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内ABl 42 024xy),(0yM部，若点 在抛物
12、线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是_（答：相离） ；（5）过抛物线),(0yxMl)(200xy的焦点 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 、 ，则 _（答：1） ；（6）设双曲线y42F pq1的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为1962xlmRQP,FQR_(填大于、小于或等于 ) （答：等于） ；（7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ） ；2842yx 01623yx813（8）直线 与双曲线 交于 、 两点。当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？当 为何值时，以1axy132
13、yxABaABaAB 为直径的圆过坐标原点？（答： ； ） ；,17、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，red其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为d 625yx_（答： ） ；（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于_； （3）若35y82该抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为_（答： ） ；（4）点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离MM7,()192yx是
14、它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为_（答： ） ；（5）抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB21xy2的中点到 轴的距离为_（答：2） ；（6）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 y 34yx)1,(P FP2之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；)1,2(8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的习题精选精讲4一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， 0(,)Pxy12,F12,r12FPS12byax ，且当 即 为短轴端点时， 最
15、大为 ； ，当)arcos(21b12rmax2rcos20tan|Scy即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线 的焦点三角形有： ；0|yPmaxS21yb21rosrb。如（1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于 A、B 两点，则2cotsin21brS 53e1F21的周长为_（答：6） ；（2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F 1、F 2 是左右焦点，若 ，ABF )0(22ayx 021FP|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ） ；（3）椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P 为椭圆上的动点，当 24294xyPF2 得()()()xy
16、y21212即 yx212设 P1P2 的中点为 ，则Mxy()0，k121又 ，而 P1、A、M、P 2 共线yxA0，即kP12 xy00中点 M 的轨迹方程是 402y解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本
17、知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于 AT，BA使 垂直且等于 BT， 交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系 .B BA(1)写出直线 的方程； （2 ）计算出点 P、Q 的坐标；（3 ）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q.讲解: 通过读图, 看出 点的坐标.,(1 ) 显然 , 于是 直线tA1 ，tBBA的方程为 ；xy（2）由方程组 解出 、 ； ,12ty),(10P),(221ttQ（3 ） , .tkPT01 tt
18、ttkQT1202)(由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR 为对角线的矩形)0(12bayx习题精选精讲10ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,ll由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 ).0(kmxy代入椭圆方程 得 ，22bayxb2(22bakax化简后，得关于 的一元二次方程
19、.)(2 于是其判别式 )(44)( 22222 kbmkmk由已知，得=0即 .在直线方程 中，分别令 y=0，x=0，求得xy ).,0(SR令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 .,.,ymxkyx解 得代入式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12ybxa方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?2例 3 已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是12byax32e),0(,bBaA.23（1 ）求双曲线的方程；（2 ）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.)0(5kxy讲解：（1） 原点到直线 AB：
20、的距离 .,32ac 1byax.3,122abcbd故所求双曲线方程为 .12yx（2）把 中消去 y，整理得 .35ky代 入 078)31(2kx设 的中点是 ，则CDyxC),(),(21 ),(0xE00 0215, .313BEykx kxk即,0ky 7,15 222 kk又故所求 k= . 为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.7 k例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F 1PF2 的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点，ABF 2 的面积最大值为 12（1 ）求椭圆
21、 C 的离心率； （2 ）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设 , 对 由余弦定理, 得112|,|,|PFrc21，1)(44)(24cos 2121211 rcararc 02e解出 .e（2 ）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 )(cxky椭圆方程为 由 得 .,1212BAbax.e22,cba习题精选精讲11于是椭圆方程可转化为 220xyc将代入，消去 得 ,)(k整理为 的一元二次方程，得 .x 0)1(2412kcx则 x1、x 2 是上述方程的两根且 ， ，2|x 212)(| kcxABAB 边上的高 ,|sin| 2121 kc
22、FBhkcS|)(22224222 41| 1.1kccckii) 当 k 不存在时，把直线 代入椭圆方程得 x 21,|,2yABSc由知 S 的最大值为 由题意得 =12 所以 2c2c26ba故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： .1yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为： cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为： ),(,122BAba由 得： 于是椭圆方程可化为： .e,2c022cyx把代入并整理得： 0)(2my于是 是上述方程的两根.21,y,22121|()|ABxyy2)(42mc2)1(mcAB
23、边上的高 ,2ch从而 222)(1)(|1 cmS .212cc当且仅当 m=0 取等号，即 .axS由题意知 , 于是 .12c21,62acb故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： y例 5 已知直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 上.（）1xy )0(12ba 02:yxl求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程.l 42yx讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得1).,(),( 221 byaxBA，则 由, 02)( 22 baxba也可这样求解： |212yFS|x习题精选精讲12根据韦达定理，得 ,
24、2)(,221211 baxybax 线段 AB 的中点坐标为（ ）. 22,由已知得 ，故椭圆的离心率为 . 22222 )(,0cacbaba 2e（2 ）由（ 1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为,c,0F)0,(bF0:yxl解得 ,2120),( 00 yxbxy且则 ybx54300且由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .4,)54(3,4202 by 1482x例 6 已知 M： 轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，xQyx是,122（1）如果 ，求直线 MQ 的方程；（2 ）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹34|AB 方程.讲解:（1）由 ，可得
25、由射影定理，得 ,31)(1)2|(| 22P ,3|,|2 MQPMB得在 RtMOQ 中，故 ，53| 2MOQO 5a或所以直线 AB 方程是 ;005yxyx或（2）连接 MB，MQ，设 由点 M，P，Q 在一直线上，得),(,aP (*),2xya由射影定理得 即 |,|2MB (*),14)2(22ayx把（*）及（*）消去 a，并注意到 ，可得y .67y适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图，在 RtABC 中， CBA=90 ，AB=2 ，AC= 。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在
26、E 上2运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设 ，试确定实数 的取值范围讲解: （1 ）建立平面直角坐标系 , 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y= 2)(2动点 P 的轨迹是椭圆 曲线 E 的方程是 .2,1abc12yx（2 ）设直线 L 的方程为 , 代入曲线 E 的方程 ，得kxy 068)12(2kxk设 M1（ , 则)(),2Nyx A O B C习题精选精讲13.126,8,0)12(4)(12kxk
27、i) L 与 y 轴重合时， 31|DNMii) L 与 y 轴不重合时， 由得 又 ,.2k 21xDNMN 或 0 1 ,012x,12x 2)(121 )12(3)(64)(221 kkx而 , ,32k.8)(62k,3)(42k64, 的取值范围是 . 3102.13,10,21,3值得读者注意的是，直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例 8 直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 A 两点.l )(2px ),(),(21yxB和（1 ）求证： ;（2 ）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.14x讲解: （1）易求得抛
28、物线的焦点 . 若 lx 轴，则 l 的方程为 .若 l 不垂直于 x 轴，可设 ,代入抛物)0,(PF4,221Px显 然 )2(Pxky线方程整理得 . 综上可知 .44)(2122xkx则 14px（2）设 ，则 CD 的垂直平分线 的方程为dcpDcC且,), l )(2pdcxdcy假设 过 F，则 整理得 l )2(02p 0)2)(2， . 这时 的方程为 y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的交点，22dcp0cllxy因此 与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.
29、 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP| |AP|=50,M 在双曲线 的右支上.750|AB1625y故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工.
