1、第18卷第2期 2O15年3月 高等数学研究 STUDIES IN C0LLEGE MATHEMATICS V0118，No2 Mar，2015 二重积分在直角坐标系下计算公式的推导 王亚男 ，刘卫江 ，丁 慧 (1空军工程大学理学院，陕西西安710051；2绥化学院信息工程学院，黑龙江绥化152061) 摘要 从二重积分的几何意义和物理意义出发，推导出二重积分的计算公式，增加学生对二重积分计算方 法的理解 关键词 二重积分；几何意义；物理意义 中图分类号 O1722 文献标识码 A 文章编号 10081399(2015)02003602 The Derivations 0f Double I
2、ntegral Calculation 1r、 1 一 tI。0rmulas ln L：artesian L 00rdlnate System WANG Yanan LIU Weijiang，DING Hui (1College of Science，Airforce Engineering University，Xi an 710051，PRC； 2College of Information Engineering，Suihua 152061，PRC) Abstract：This paper derives calculation formulas of double integrals
3、by using their physical and geometric meaningsThis alternative method can enhance studentsunderstanding of the Double Integral calculation method Keywords：double integral；geometric significance；physical significance 一般地，关于二重积分在直角坐标系下的计算， 教材中只给出了从几何意义出发计算公式的推 导_l ，本文分别从二重积分的几何意义和物理意 义出发，推导出二重积分的计算公式，
4、增加学生对二 重积分计算方法的理解 1 从几何意义出发推导二重积分的计算 公式 由二重积分的几何意义，当被积函数f(x， ) o时，f1_厂(z， )曲表示以 为底，z=厂( ， )为 顶，及 的边界为准线，母线平行于z轴的柱面所围 成曲顶柱体的体积 ，即 Vf1-厂(z， )dzd J 收稿日期：20140429 基金项目：绥化学院教育教学改革项(JC2o130101) 作者简介：王亚男(1982-)，女，黑龙江佳木斯人，硕士，讲师，从事高 等数学、线性代数、偏微分方程研究Email： yananwang2008163corn 刘卫江(1962-)，男，江苏张家港人，硕士。副教授，从事高 等
5、数学教育研究Email：weijiangliuyahoocorncn 我们可以采用平行截面面积已知的立体体积公 式，即 V一 ( z 其中A( )是平行Y轴的截面面积 若积分区域 可表示为 一(z， )l -(z)Y 2(z)，a b 其中 (z)， z(-z)cLa，6，过口，6内任一点72 作平行于yOz面的平面，截曲顶柱体所得截面是一 个曲边梯形，其面积 A( )一f -厂( ， ) J 91( ) 所以曲顶柱体的体积 J。 A cz dzJ f ：f(x,y)dy dz 即 I d d =：b dx f(x,y 于是，二重积分化为先对y后对X积分，在对3，积分 时，将z视为常量 若区域
6、 是Y一型区域，假设 可表示为 =(z， )l -( )z z( )，CYd 第18卷第2期 王亚男等：二重积分在直角坐标系下计算公式的推导 37 其中 ( )， z( )cc， ，则类似可得 ( d = dz 非x一型非Y一型区域，我们总可以用平行于 轴或 轴的直线将区域划为若干个X一型区域或Y 一型区域 该公式不限于f(x， )0，对任意的f(x， ) 都成立事实上，由于函数f(x， )C( )，则总可 以找到充分大的正数M使得 f(x，3，)+M0 于是应用上面的计算公式，即 ll f( ， )dxdy II I-厂(z， )+MMdxdy SEsx,y)+Mdzd 一皿Mdzd 根据积
7、分的性质 原式一n6d M M d z 厂(z， )+Md 一 一b如 92(x) d + 三一 92(x)dy M dx d 一 一 1 d 一 ( ) J d f(x， )dy 2 从物理意义出发推导二重积分的计算公式 设有物质平面薄片，它在xOy平面上占有区域 ，有确定的面积，其上点p(x， )处的面密度函数 ，(p)一f(x， )0为连续函数，则其质量M可由 二重积分表示，即 t rr Mll f(x， )dxdy JJ 如图1所示，若积分区域 可表示为 一(z， )I (z)Y (z)，azb) 其中 1(z)， 2(z)Ca， 我们可以根据细棒质量计算公式 r 6 MI p(x)d
8、x 其中p(z)为线状物体的线密度 对于平面薄板，假设总可以将其沿着平行于 轴的方向卷起，使其成为一根细棒，将其放置在z轴 上，根据细棒质量计算公式，平面薄片的质量为 MI 10(z)dx 根据微元法 dM：=p(x)dx 其中dM表示长度为 细棒的质量另一方面，dM 又是长度 细棒对应的条状薄片的质量，再次应用 微元法，在Y轴上取Y， +d 对应矩形薄片的质量为 ， f(x， )dxdy 于是 dM：dx 厂(z， )d J吼( ) 因此 p(x)= d 将其带入细棒质量计算公式得 皿m d d =口6 ， )dydz 图1 平面薄片求质量 当f(x， )0的条件不满足时，处理方法与第一部 分中从几何意义出发推导类似 参考文献 1 候云畅，冯有前，刘卫江高等数学：下册M2版 北京：高等教育出版社，2009：7378 2 同济大学应用数学系高等数学：下册M5版北 京：高等教育出版社，2002：74102
