1、1北京市西城区 2013 年初三二模试卷数 学 2013. 6一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）1 的倒数是3A B3 C D3132下列运算中正确的是A B C D2a2a 2()ab532)(a3若一个多边形的内角和是 720，则这个多边形的边数是A5 B6 C7 D8 4若 ，则 的值为20xyxyA8 B6 C5 D9 5下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是A中位数是 6 B众数是 3 C平均数是 4 D方差是 1.67如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30 后
2、得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，则四边形 DHFC 的面积为A B C 9 D 368如图，点 A，B，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着 A，B，C 三点所在的平面将该正方体的一 个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是A B C D二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9函数 中，自变量 的取值范围是 32yxx10若把代数式 化为 的形式，其中 ， 为常数，则 = 178kh2)( hkhk11如图，在ABC 中， ACB=52，点 D，E 分别是 AB， AC 的中点若点 F 在线段 DE 上，且 AFC=90，则FAE 的度数为 212如图，在平面直角坐标系
3、xOy 中，点 A 在第一象限，点 B 在 x 轴的正半轴上，OAB=90P 1 是OAB 的内切圆，且 P1 的坐标为(3,1)(1) OA 的长为 ，OB 的长为 ；(2) 点 C 在 OA 的延长线上，CDAB 交 x 轴于点 D将P 1 沿水平方向向右平移 2 个单位得到P2，将 P2 沿水平方向向右平移 2 个单位得到P 3，按照同样的方法继续操作，依次得到P4， Pn若 P1，P 2，P n 均在OCD 的内部，且 Pn 恰好与 CD 相切，则此时 OD 的长 为 （用含 n 的式子表示）三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13计算： 10()27()6tan4 14如图
4、，点 C 是线段 AB 的中点，点 D，E 在直线 AB 的同侧，EC A=DCB， D=E求证：AD= BE15已知 ，求代数式 的值2310x(2)3(1)24xxx16已知关于 的一元二次方程 有实数根 x 0172mx(1) 求 的取值范围；m(2) 当 为负整数时，求方程的两个根17列方程（组）解应用题：水上公园的游船有两种类型，一种有 4 个座位，另一种有 6 个座位这两种游船的收费标准是：一 条 4 座游船每小时的租金为 60 元，一条 6 座游船每小时的租金为 100 元某公司组织 38 名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且 1 小时共花费租金 600 元，求该公司
5、分别租用 4 座游船和 6 座游船的数量318为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1) 参加问卷调查的学生共有 人；(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度；(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数 女生人数=16如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）1 9如图，在平面直
6、角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象与 轴交于点 A( ,0)， 与 轴交于点ykxbx3yB，且与正比例函数 的图象的交点为 C( ,4) 43yxm(1) 求一次函数 的解析式；kb(2) 若点 D 在第二象限， DAB 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点 D 的坐标20如图，四边形 ABCD 中，BAD=135，BCD= 90，AB=BC= 2，tanBDC= 63(1) 求 BD 的长；(2) 求 AD 的长421如图，以ABC 的一边 AB 为直径作O ， O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作O 的切线交 AC 边于点 E(1) 求证：DE
7、 AC；(2) 连结 OC 交 DE 于点 F，若 ，求 的值3sin4ABCF22在平面直角坐标系 xOy 中，点 经过变换 得到点 ，该变换记作 ，其(,)Pxy(,)Pxy ),(),yx中 为常数 例如，当 ，且 时， byax,()1ab)5,1(3,2(1) 当 ，且 时， = ；12(0,1(2) 若 ，则 = ， = ； (,)0,)a(3) 设点 是直线 上的任意一点，点 经过变换 得到点 若点 与点 重合，PxyxP(,)PxyP求 和 的值ab五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，
8、 A，B 两点在函数 的图象上，1:(0)kCyx其中 AC 轴于点 C，BD 轴于点 D，且 AC=110kyx(1) 若 =2，则 AO 的长为 ，BOD 的面积为 ；(2) 如图 1，若点 B 的横坐标为 ，且 ，当 AO=AB 时，求 的值；1k1k(3) 如图 2，OC=4，BE 轴于点 E，函数 的图象分别与线段 BE，y2:(0)kyxBD 交于点 M，N，其中 将OMN 的面积记为 ，BMN 的面积记为 ，若2101S2S，求 与 的函数关系式以及 的最大值12SSkS图 2524在ABC 中，AB =AC，AD，CE 分别平分BAC 和ACB，且 AD 与 CE 交于点 M点
9、 N 在射线 AD上，且 NA=NC过点 N 作 NFCE 于点 G，且与 AC 交于点 F，再过点 F 作 FHCE，且与 AB 交于点 H(1) 如图 1，当BAC=60时，点 M，N，G 重合请根据题目要求在图 1 中补全图形；连结 EF，HM，则 EF 与 HM 的数量关系是_ ；(2) 如图 2，当BAC=120时，求证：AF=EH；(3) 当BAC=36时，我们称ABC 为“黄金三角形” ，此时 若 EH=4，512BCA直接写出 GM 的长 图 1图 1 图 2 备用图6图 125如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 和抛物线 W 交于 A，B 两点，其中l点 A 是抛物
10、线 W 的顶点当点 A 在直线 上运动时，抛物线 W 随点 A 作平移运动在抛物线平移的过程中，线段 AB 的长度保持不变 应用上面的结论，解决下列问题：如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 点 A 是直线1:2lyx上的一个动点，且点 A 的横坐标为 以 A 为顶点的抛物线1l t与直线 的另一个交点为点 B:Cyxbc1l(1) 当 时，求抛物线 的解析式和 AB 的长；0tC(2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时，直接写出此时点 A 的坐标；(3) 过点 A 作垂直于 轴的直线交直线 于点 C以 C 为顶点的抛物线y21:lyx与直线 的另一个交点为点 D2:Cyx
11、mn2l当 ACBD 时，求 的值；t若以 A，B，C ，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 的取值范围t图 2 备用图7北京市西城区 2013 年初三二模数学试卷参考答案及评分标准 2013.6一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 C C B A B A B D二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9 10 11 122x5645 2n+3阅卷说明：第 12 题第一、第二个空各 1 分，第三个空 2 分.三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13解：原式= 4 分433= 5 分514证明：点 C 是线段
12、AB 的中点，AC=BC. 1 分ECA=DCB，ECA+ECD=DCB+ECD，即ACD=BCE . 2 分在ACD 和BCE 中，,DEACBACD BCE. 4 分AD=BE . 5 分15解： (2)3(1)24xxx 2 分564. 3 分2397x ， 即 ， 4 分10231x原式 . 5 分23()7416解：(1) 关于 的一元二次方程 有实数根，20xm . .1 分24(1)0m . .2 分5EDCBA8(2) 为负整数，m . . 3 分1此时方程为 . .4 分2710x解得 x1= 3，x 2= 4. .5 分17解：设租用 4 座游船 条，租用 6 座游船 条.
13、 . 1 分y依题意得 .3 分68,00.yx解得 4 分5,3.y答：该公司租用 4 座游船 5 条，6 座游船 3 条. .5 分18解：(1) 80； 1 分(2) 54； 3 分(3) 5 分320四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19解：(1)点 C( ,4)在直线 上，m43yx ，解得 . 1 分43点 A( ,0)与 C(3,4)在直线 上， (0)ykxb 2 分0,43.kb解得2,.b一次函数的解析式为 . 3 分23yx(2) 点 D 的坐标为 ( , )或( , ). 5 分5阅卷说明：两个点的坐标各 1 分.20解：(1)在 RtBCD 中，BCD=9
14、0 ，BC=2，tanBDC= ，63 .263CDCD= . 1 分6由勾股定理得 BD= = . 2 分BC2+CD2 10(2)如图，过点 D 作 DEAB 交 BA 延长线于点 E .BAD=135 ，EAD=ADE=45.AE=ED . 3 分D21y=43xABCk+bOxy-34EABCD_ _9设 AE=ED= x ，则 AD= x .2DE 2+BE2=BD2，x 2+(x+2)2=( )2. 4 分10解得 x1= 3(舍)，x 2=1 .AD= x = . 5 分2 221 (1)证明：连接 OD . DE 是 O 的切线，DEOD，即 ODE=90 . 1 分AB 是O
15、 的直径，O 是 AB 的中点.又D 是 BC 的中点， .ODAC . DEC= ODE= 90 .DEAC . 2 分(2)连接 AD .ODAC， . 3 分ECODFAB 为O 的直径，ADB= ADC =90 .又D 为 BC 的中点，AB=AC.sinABC= = ，ADAB 34故设 AD=3x , 则 AB=AC=4x , OD=2x . 4 分DEAC，ADC= AED= 90.DAC= EAD，ADCAED. .ADCE .2 .94x .7EC . 5 分8OFD22解：(1) = ； 1 分(0,1)2,(2) = ， = ； 3 分abFEDCBOA_10(3) 点
16、经过变换 得到的对应点 与点 重合，(,)Pxy(,)Pxy .点 在直线 上，(,)2x .2x 4 分,.ab即 (12)0,.xab 为任意的实数，x 解得 120,.ab3,21.4ab ， . 5 分32a14b五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23解：(1) AO 的长为 ， BOD 的面积为 1； 2 分5(2) A， B 两点在函数 的图象上，1:(0)kCyx点 A，B 的坐标分别为 ， . 3 分,1,AO=AB，由勾股定理得 ， ，21Ok2221()()ABk .21()()k解得 或 . 4 分3123k
17、，1k . 5 分23(3) OC=4，点 A 的坐标为 .(1,4) . 1k设点 B 的坐标为 ，(,)mBE 轴于点 E，BD 轴于点 D，yxy=k2x1ACEMNBDxO11四边形 ODBE 为矩形，且 ，=4ODBES四 边 形点 M 的纵坐标为 ，点 N 的横坐标为 .4mm点 M，N 在函数 的图象上，2:(0)kCyx点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 . 4(,)2(,)k .2=OENDkS .222114()(mkB2()8 .12=S22(4)kS2=S ， 6 分22184k其中 .20k ，而 ，211()44Sk104当 时， 的最大值为 1. 7 分2kS2
18、4解：(1)补全图形见图 1， 1 分EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM ； 2 分(2)连接 MF（如图 2）.AD，CE 分别平分 BAC 和ACB ，且BAC =120，1=2=60，3= 4.AB=AC，ADBC.NGEC，MDC =NGM =90.4+6=90，5+ 6=90.4=5.3=5.NA=NC，2=60， ANC 是等边三角形.AN=AC.在AFN 和AMC 中，53,2,ANC ABCDEMFH图 17654321NGAB CDEHFM图 212 AFNAMC. 3 分AF=AM. AMF 是等边三角形.AF=FM，7=60.7=1.FMAE.FHCE，四边形 FH
19、EM 是平行四边形. 4 分EH=FM.AF=EH. 5 分(3) GM 的长为 . 7 分5125解：(1) 点 A 在直线 上，且点 A 的横坐标为 0，:2lyx点 A 的坐标为 .(0,)抛物线 的解析式为 . 1 分1C2yx点 B 在直线 上，:l设点 B 的坐标为 .(,2)x点 B 在抛物线 : 上，1Cy .2x解得 或 .0x点 A 与点 B 不重合，点 B 的坐标为 . 2 分(1,3)由勾股定理得 AB= . 3 分220(3)(2) 点 A 的坐标为 . 4 分(1,)(3) 方法一：设 AC，BD 交于点 E，直线 分别与 轴、 轴交于点 P 和 Q（如图1:2ly
20、xxy1）.则点 P 和点 Q 的坐标分别为 ， .(2,0),)OP= OQ=2.OPQ =45.AC 轴，yAC 轴.xEAB =OPQ =45.DEA =AEB=90，AB = ，2EA=EB =1.点 A 在直线 上，且 点 A 的横坐标为 ，1:lyxt点 A 的坐标为 .(,)t点 B 的坐标为 . 3QPl12DCAy=x2+bcByxOy=x2+mnE图 113AC 轴，x点 C 的纵坐标为 . 2t点 C 在直线 上，1:lyx点 C 的坐标为 . (4,)t抛物线 的解析式为 . 2 2(4)()ttBDAC，点 D 的横坐标为 .1t点 D 在直线 上，2:lyx点 D
21、的坐标为 . 5 分(,)t点 D 在抛物线 ： 上，2C2(4)()yxtt .1()4)2ttt解得 或 . 5t3t当 时，点 C 与点 D 重合， . 6 分2t方法二：设直线 与 轴交于点 P，过点 A 作 轴的平行线，过点 B 作 轴的平行1:2lyxyx线，交于点 N.（如图 2）则ANB =90，ABN=OPB.在ABN 中，BN=ABcos ABN，AN =ABsinABN.在抛物线 随顶点 A 平移的过程中，1CAB 的长度不变， ABN 的大小不变，BN 和 AN 的长度也不变，即点 A 与点 B 的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变.同理，点 C 与点 D 的横坐标的差
22、以及纵坐标的差也保持不变.由(1)知当点 A 的坐标为 时，点 B 的坐标为 ，(0,2)(1,3)当点 A 的坐标为 时，点 B 的坐标为 . ,t tAC 轴，x点 C 的纵坐标为 . t点 C 在直线 上，21:lyx点 C 的坐标为 . (4,)t令 ，则点 C 的坐标为 . t(0,抛物线 的解析式为 . 22yx点 D 在直线 上，1:l设点 D 的坐标为 . (,)2x y=x2+bcNOyBAl1P图 214点 D 在抛物线 ： 上，2C2yx .2x解得 或 .10x点 C 与点 D 不重合，点 D 的坐标为 .(,)24当点 C 的坐标为 时，点 D 的坐标为 .0, 1(,)24当点 C 的坐标为 时，点 D 的坐标为 . 5 分(,)t7,)4tBDAC， .712tt . 6 分5t 的取值范围是 或 . 8 分t154tt说明：设直线 与 交于点 M.随着点 A 从左向右运动，从点 D 与点 M 重合，到点 B 与点 M1l2重合的过程中，以 A，B，C ，D 为顶点构成的图形不是凸四边形.l1DCABy xOMl2 l1DCABy xOMl2
