1、Banach 压缩映象原理及其相关应用摘要:详细论述 Banach 压缩映象原理和推广的 Banach 压缩映象原理，以及它在关于一些问题的解存在唯一性定理中的广泛应用并列举探索各类方程解的存在的应用。关键词：抽象函数，不动点，压缩映射，抽象微分方程，隐函数存在性定理引 言:压缩映射原理的研究是算子方程的求解问题，它不仅具有实义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基础上，进一步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指出了算子方程 Fx=x 的解的存在性和唯一性，而且给出了近似求解的方法及误差分析，因而是很有用的。微分方程初值问
2、题的解的存在唯一性定理及毕卡（Picard）逐次逼近法就是它的特例。在 Banach 空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。一、几个定义及压缩映射原理定义 1：设 X，Y 为巴拿赫空间，算子 F： （一般的，F是非线性的） 。如果存在有界线性算子 A（X,Y ）使得关系式00()(limtFxthxh对于满足 的 是一致成立的，则称算子 F 在点 处是费力许1X0xX（Frechet）可微的，并记 ，称为 F 在点 处的费力许导数。0()FxA为了给出关于算子的有限增量公式（相当于中值定理） ，我们引入关于抽象函数的积分的概念。设 是由实数域到巴拿赫空
3、间 X 的算子，这种算子通常称为()xt“抽象函数” 。现设 的定义域是区间 ，将 分为 n 个小区()xt,ab,间，分、点为 记此分划为 ， 及12na1iit在每个小区间 上任取一点 ，作和式 ()mxidt1,iti1()niix定义 2：如果对任意的分划 及 的任意取法，当 时和i ()0d式 都收敛（在 X 中范数意义下）于同一个元素 ，则抽象函数() rX在 上黎蔓可积的， 称为 在 上黎蔓可积，记为xt,abr()xt,ab()axtdr性质 1：设抽象函数 黎蔓可积，则抽象函数 在()xt ()tauxsd上弗力许可微，且 ， ,abutatb*定义 3：设 X 为巴拿赫空间
4、，F 为由 X 到 X 的算子，且非空，如果 满足 ()DFRx()则称 x 为算子 F 的不动点。换句话说，不动点 x 是算子方程（1）的解。()F定义 4：设 Q ,如果存在常数 ，使得对任意的()D0,1q均有不等式,x（2）()Fxqx则称 F 为集合 Q 上的压缩算子， 称为压缩系数。q定理 1（压缩映象原理）设算子 F 在巴拿赫空间 X 中的闭集 Q为自己，且 F 为 Q 上的压缩算子，压缩系数为 ，则算子 F 在 Q 内存在唯一的不动点 ，若 为 Q 中任意一点，作序列*x0，n=0,1,2， （3）1()nn则序列 ，且 ，并有误差估计nx（4）0()1nqxF证明：由于 FQ
5、 Q，故 n设 ，利用算子 F 的压缩性，可依次得到：100()211100()Fqxx23221（5）1nnqx现在估计 ，利用（5）式可得到pn1121npnnpnpnxxx 2qq()1npn即（6）0()1nnpqFxx由此可知 是柯西点列，由 X 的完备性知存在 使得nx *x*nx又因 Q 是闭集，故 *Q现在证明 是算子 F 的不动点，由算子 F 在 Q 上的压缩性知其*x在 Q 上连续。事实上，如果 ， ，则由式（2）知x,x。()()Fx于是在式（3）中令 ，既得 。n*()xF再证 的唯一性，设若另有一不动点 ，则*x*()Fxqx由于 ，故上式只能在 时成立 于是(0,1
6、)q0*x至于估计式（4）的证明只需在式（6）中令 证毕。p压缩映象原理最常用的两种情形是 Q=X 及 Q= X 中的闭()ras球。对于后者，如下列推论所述：推论 1：设 F 为闭球 上的压缩算子，压缩系数为 ，()raXsq，且()RFX（7）()(1)aqr则 F 在 中有唯一不动点 且序列(3)收敛于 ，收敛速度为rs*x*x式（4） ，初始近似 可在 中任取。0x()ras证明：只要证明 F 映 为自己，如果 即 ，则r ()rxasxr()()(1)1Faxqxqrq二、推广的压缩映象原理设算子 F 映集合 为自己，对任一自然数 n，算子 F 的 n 次QX幂定义为：当 时令 ，如
7、果 已经定义，则令x2()()xF1()x1()nFx定理 2：设算子 F 映闭集 为自己且对某一自然数 算子QXk为 Q 上的压缩算子则 F 在 Q 中存在唯一不动点 逼近序列（3）收k *x敛于 初始近似 为任意。*x0证明：当 时即为定理 1，1k现设 ，考察算子 ，根据定理 1， 在 Q 上有唯一的不kGFG动点 ，因为算子 F 与 G 在 Q 上可交换，故有：*x*()()()Gx此即表明 也是 G 的不动点，但 G 的不动点是唯一的，故即 也是 F 的不动点。下证 唯一。如果另有 ，满足*()Fx* *xxQ，则 。但 G 的不动点是唯一的，故 = 证()kxx *毕三、压缩映象原
8、理的应用在微分方程，积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在唯一性以及近似解的收敛性等都是很重要的问题。为了证明一个微分方程，积分方程或其它类型的方程存在解。我们可以将它变成求某一映射的不动点。现在以大家熟悉的一阶常微分方程（8）(,)dyfx为例来说明这一点。求微分方程（8）满足初始条件 的解0|xy与求解积分方程0()(,)xyftdt等价。为了求积分方程（9） ，我们可以根据 所满足解析(,)fxy条件适当地取一个度量空间，并在这个度量空间中作映射，0()(,)xtTftyd（ ） =于是方程（9）的解就转化为求 使它满足 。也就是求出T这样的 ，它经映射 T 作用后仍变成 ，这种 称
9、为映射 T 的不动点。因此求解方程（8）就变成求映射 T 的不动点。考察微分方程(10) 0(,)|xdyf其中 f（x,y）在整个平面内连续，此外还设 f（x,y）关于 y 满足李普希茨条件; (,)(,)fxyfky则通过点 微分方程（10）有一条且只有一条积分曲线。0,证明：问题（10）等价于求解下面的积分方程0()(,)xyftydt我们取 使 用 表示在区间 01k0,Cx0,x上的连续函数组成的空间，在 中定义算子（映射）F：0()(,)xFyftydt01212()max(,)(,)Fyftftt01()xkytdt02x12ky因 ，由压缩映象原理，存在唯一的连续函数 ，使1k
10、 ()yx0()(.)xyftyd由此可以看出， 还是连续可微的，于是 使是微分方程t ()yt（10）通过 积分曲线。但只定义在 上，重复利用压缩映0(,)xy0,x象原理，可以将它延拓到整个数轴上。四、巴拿赫空间中的微分方程对于微分方程初值问题的解的各种存在唯一定理，利用压缩映象原理，可以给出一种很简单的证明。下面我们在巴拿赫空间中讨论这一问题，这样做具有普遍性，却并不增加证明的复杂性。设 为从实数域到某一巴拿赫空间 的抽象函数，我们要讨论()xt X的是非线性微分方程（11）(,)dxft其中 F（t，x）是关于两个变元的非线性算子，实变量 ，而0tx 是 X 的元素。F 的值域也在 X
11、 中， 的意义与通常理解的相同：dxt()(limxdttA现假设 F 为已知，所谓微分方程（11）的初值问题是指求 ，()xt它满足（11）及初始条件（12）0()x其中 0X定理 3：设当 x 为固定且 时 在 上连续，而0xr(,)Ftx0,tb当 及 时有0,tb0r（13）(,)Ftxc（14）1212(,)tlx则在 （ ）上初值问题（11） 、 （12）存在唯一0,amin(,)rclb解 x(t),且 （当 时） 。x0,ta证明：所讨论的问题等价于积分方程（15）0()(,)txtFsxd事实上，设 是初值问题（11） 、 （12）的解，则可将 x(t)代()t入方程（15）
12、 ，再从 0 到 t 积分，考虑到条件（12） ，即得式（15） ，反之设 x(t)满足方程（15） ，注意到当 时抽象函数0,saF（s，x(s)）连续，这是因为 (,)()Fxx, ,(,()ssFssx()(,)lxx又根据 x（t）的连续及 F（t，x）对 t 的连续性，当且 时上式右端的两项均趋于 0，根据式（*）即知,0sas(),()xtFt表明 x(t)是问题（11） 、 （12）的解。因此，初值问题（11） 、（12）等价于求方程（15）的解。记在 上连续，在 X 中取值的抽象函数 x(t)的全体所构成0,a的巴拿赫空间为 ，其范数定义为0,xCa0()()mtatx考察 中
13、的闭球,x0 0(),;()rxSCatxr则非线性算子 0,()sxFds映 为自己，这是因为0()rSx00()(,)maxsxFds0(,)asFdscr其中用到了不等式（13）及 a 的定义。同时， 是 上的()x0()rS压缩算子，这是因为由条件（14）知：12120()(,)(,)msaxFxsxsd1212lq其中 q=al1（由 a 定义） 。于是利用压缩映象原理，方程（15）在球 中存在唯一解 X（t） 。从而定理得证。0()rSx这个定理的不足之处是初值问题（11） 、 （12）的解仅确定在上而不是在 上，对于算子 F（t，x）附加以较强条件时可0,a,b以弥补这个缺陷。定
14、理 4：设算子 F（t，x）对每一固定的 x,关于 连续且0,tb满足李普希茨条件： 1212(,)(,)Ftxtlx则初值问题（11） 、 （12）在 上存在唯一解。0,b我们给出两种证明 它们都很简单而富有启发性。第一种证明：如上所述，可等价地讨论积分方程（15） 。在巴拿赫空间 中考察积分算子,xCab0()(,)txFsd我们有下列估计式12120()tlxsds12ltx由此又有 121202012!n tntxlxssdlsdx一般地，我们有1212!nnnltxx在 上取最大值，得到0,b1212!nnnlbxx由于当 故对于充分大的 n, 中的压缩算0!nlb时 ,nxCob是
15、子。于是定理得证。第二种证明 在巴拿赫空间 中引入另一种泛数0,xCb0matlltbxte。我们证明积分算子 是这种范数下lt lextxt显 然 的压缩算子。事实上 12120()slstxlxed12atslold12()ltex乘以因子 ，再在 上取 max，得到lte0,b1212()()ltsl lxex故压缩系数为 定理得证ltse五、一个特例隐函数存在定理定理 5：设函数在带状域,axby中处处连续，且处处有关于 y 的偏导数 (,)yfx如果还存在常数 m 和 M，满足 0mM则方程 f(x,y)=0 在区间 上必有唯一的连续函数 作为,ab()yx解： (,)0,fxx证明
16、：在完备空间 中作算子（映射）F，使对任意的函数C有 按照定理条件，f(x,y)是连续的，故1()(,)FxfxM也连续，即 所以 F 是 到自身的映射。,ab,Cab现证 F 是压缩算子，任取 ，根据微分中值定理，存12,在 满足01212212()()()(,)(,)xxfxfxMM2112121()()()()(yxfxxxMA21()m由于 ，所以令 ，则有 ，且01mMq01q2121()()()Fxx因此，F 是压缩映射，由定理 1，存在唯一的 满足,Cab，即 ，这就是说()(,)xfxM，(,)0fxaxb定理证毕参考文献：1夏道行.实变函数与泛函分析M.北京：人民教育出版社,1980.2李延保，楼宇同.应用泛函分析基础M.南京：南京工学院出版社，1986.3李大华.应用泛函简明教程M.武汉：华中理工大学出版社，1989.4叶怀安.实变于泛函M.合肥：中国科学技术大学出版社，1991.5 叶怀安.泛函分析M.安徽：安徽教育出版社，1984.6刘树琪.泛函分析入门及解题M.天津：天津科学技术出版社，1988.7郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要M（第二册）.北京：高等教育出版社，1980.8程其囊等. 实变函数与泛函分析基础M. 北京：高等教育出版社，1984.9张鸣歧.应用泛函分析理论M. 北京：北京理工大学出版社，1989.
