1、第六章 假设检验 Hypothesis Testing,参数估计与假设检验的关系,参数估计（Parameter estimate）和假设检验（Hypothesis testing）是统计推断的两个重要内容 参数估计是用样本统计量估计总体参数，总体参数在估计前是未知的 在假设检验中，是先对总体参数提出一个假设，再利用样本信息去检验这个假设是否成立 假设检验分为两类： 一类是关于总体参数的检验问题，称为参数检验 另一类是关于总体模型描述及随机变量概率分布的检验，称为非参数检验,本章主要内容,第一节 假设检验的一般问题 第二节 一个正态总体的参数检验 第三节 两个正态总体的参数检验,第一节 假设检验
2、的一般问题,假设检验的概念 假设检验的步骤 假设检验中的小概率原理 假设检验中的两类错误 双侧检验和单侧检验,假设（hypothesis） 是对总体参数（assumption）的一个假定. 参数是总体的均值或比例 参数必须在分析前已经确定 特点 采用逻辑上的反证法 依据统计上的小概率原理,我假设班级中大家的平均成绩为B !,What is a Hypothesis? 一、什么是假设？,假设检验的基本思想：通过提出假设，利用“小概率原理”和“概率反证法”，论证假设的真伪的一种统计分析方法。 小概率原理：也就是实际推断原理，它认为在一次实验中，概率很小的事件，实际上是不可能发生的。 概率反证法：如
3、果在其他因素给定的前提下，要证明某一事实（对总体参数假定）是否成立，只要假设该事实（参数假定）成立，在该事实成立的前提下，来证明由该事实（参数假定）和样本建构的统计量的取值概率较小以证明假定是否成立。,假设检验的过程 （提出假设抽取样本作出决策）,二、假设检验的步骤 提出原假设和备择假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平 计算检验统计量的值 作出统计决策,提出原假设和备择假设, 什么是原假设？(Null Hypothesis) 1. 待检验的假设，又称“0假设” 2. 如果错误地作出决策会导致一系列后果 3. 总是有等号 , 或 4. 表示为 H0 H0： 某一数值 指定为 = 号，即 或
4、 例如, H0： 3190（克）, 什么是备择假设？(Alternative Hypothesis) 1. 与原假设对立的假设 2. 总是有不等号: , 或 3. 表示为 H1 H1： 某一数值，或 某一数值或 某一数 例如, H1： 3910(克)，或 3910(克),提出原假设和备择假设, 什么检验统计量？ 1. 用于假设检验问题的统计量 2. 选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑 是大样本还是小样本 总体方差已知还是未知 检验统计量的基本形式为,确定适当的检验统计量,规定显著性水平, 什么显著性水平？ 1. 是一个概率值 2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率 3. 表示为 (alpha
5、) 常用的 值有0.01, 0.05, 0.10 4. 由研究者事先确定,作出统计决策,计算检验的统计量 根据给定的显著性水平，查表得出相应的临界值Z或Z/2 将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较 得出接受或拒绝原假设的结论,三、假设检验中的小概率原理,假设检验中的小概率原理, 什么小概率？ 1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率 2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设 3. 小概率由研究者事先确定,什么是小概率,四、假设检验中的两类错误 （决策风险）,假设检验中的两类错误,1. 第一类错误（弃真错误） 原假设为真时拒绝原假设 会产生一系列后果 第一类
6、错误的概率为 被称为显著性水平 2. 第二类错误（取伪错误） 原假设为假时接受原假设 第二类错误的概率为(Beta),H0: 无罪,假设检验中的两类错误 （决策结果）,假设检验就好像一场审判过程,统计检验过程, 错误和 错误的关系,五、双侧检验与单侧检验注：研究者感兴趣的是备择假设，单侧假设的方向是按备侧假设的方向来说的。,双侧检验 （原假设与备择假设的确定）,双侧检验属于决策中的假设检验。也就是说，不论是拒绝H0还是接受H0，我们都必需采取相应的行动措施 例如，某种零件的尺寸，要求其平均长度为10厘米，大于或小于10厘米均属于不合格 建立的原假设与备择假设应为H0: = 10 H1: 10,
7、双侧检验 （确定假设的步骤）,1. 例如问题为: 检验该企业生产的零件平均长度为4厘米 2. 步骤 从统计角度陈述问题 ( = 4) 从统计角度提出相反的问题 ( 4) 必需互斥和穷尽 提出原假设 ( = 4) 提出备择假设 ( 4) 有 符号,单侧检验 （原假设与备择假设的确定）, 检验研究中的假设 将所研究的假设作为备择假设H1 将认为研究结果是无效的说法或理论作为原假设H0。或者说，把希望(想要)证明的假设作为备择假设 先确立备择假设H1,单侧检验 （原假设与备择假设的确定）,例如，采用新技术生产后，将会使产品的使用寿命明显延长到1500小时以上 属于研究中的假设 建立的原假设与备择假设
8、应为H0: 1500 H1: 1500 例如，改进生产工艺后，会使产品的废品率降低到2%以下 属于研究中的假设 建立的原假设与备择假设应为H0: 2% H1: 2%,单侧检验 （原假设与备择假设的确定）,检验某项声明的有效性 将所作出的说明(声明)作为原假设 对该说明的质疑作为备择假设 先确立原假设H0 除非我们有证据表明“声明”无效，否则就应认为该“声明”是有效的,假设检验步骤的总结,陈述原假设和备择假设 从所研究的总体中抽出一个随机样本 确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值 确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界值，指定拒绝域 将统计量的值与临界值进行比较，作出决策 统
9、计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝H0 也可以直接利用P值作出决策,第二节 一个正态总体的参数检验,一. 总体方差已知时的均值检验 二. 总体方差未知时的均值检验 三. 总体比例的假设检验,一个总体的检验,检验的步骤, 陈述原假设 H0 陈述备择假设 H1 选择显著性水平 选择检验统计量 选择n, 给出临界值 搜集数据 计算检验统计量 进行统计决策 表述决策结果,总体方差已知时的均值检验 (双尾 Z 检验),均值的双尾 Z 检验 (2 已知),1. 假定条件 总体服从正态分布 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n30) 2. 原假设为:H0: =0；备择假设为:H1: 0 使用z-
10、统计量,例 洗衣粉包装量服从正态分布，已知，随机抽取10袋，测得平均包装量为498克，能否认为洗衣粉包装量的均值为500克？（显著水平0.05） 解：设立原假设和备择假设 计算统计量 根据显著水平，查临界值得 故拒绝原假设，即不能认为洗衣粉的重量为500克。,总体方差已知时的均值检验 (单尾 Z 检验),均值的单尾 Z 检验 (2 已知),假定条件 总体服从正态分布 若不服从正态分布，可以用正态分布来近似 (n30) 2. 备择假设有符号 3. 使用z-统计量,均值的单尾 Z 检验 （提出假设）,例 根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布N(1030，1002)。现从最近生产的
11、一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？(0.05) 解：根据题意，设立原假设和备择假设：得到临界值 计算统计量则拒绝原假设，接受备择假设，认为这批产品的使用寿命有显著提高。,例 设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，现从一大批产品中抽出12件试验结果如下：5059，3897，3631，5050，7474，5077，4545，6279，3532，2773，7419，5116假设该产品的寿命 ， 试问此批产品是否合格？ 解：检验假设 故可接受原假设，即认为该批产品合格,总体方差未知时的均值检验 (双尾 t 检
12、验),均值的双尾 t 检验 (2 未知),1. 假定条件 总体为正态分布 如果不是正态分布, 只有轻微偏斜和大样本 (n 30)条件下 2. 使用t 统计量,例 健康成年男子脉搏平均为72次/分，高考体检时，某校参加体检的26名男生的脉搏平均为73.2次/分，标准差为6.2次/分，问此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子有无显著差异？(置信水平0.05) 解：提出假设 计算统计量：临界值为故接受原假设，认为该校参加体检的男生每分钟脉搏次数与一般成年男子没有区别。,总体方差未知时的均值检验 (单尾 t 检验),例 已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这
13、批元件中随机抽取 只，测得平均寿命 980小时，标准差65小时，试在显著水平0.05下，确定这批元件是否合格? 解：提出检验假设 未落入拒绝域，应接受原假设，即认为这批元件合格。,总体方差未知时的均值检验 (大样本),用样本方差代替总体方差 仍用Z统计量,例 某一燃料的等级服从正态分布，平均等级为98.0，抽取35桶新燃料进行测试，样本平均值为97.7，标准差0.8，能否认为新燃料的等级比原来的等级偏低？（显著水平0.05） 解：根据题意设立假设 属于大样本，而且是左侧检验，计算统计量 临界值为则拒绝原假设，接受备择假设，认为新燃料的等级确实偏低,总体均值检验,总体均值的检验,注：s 已知的拒
14、绝域同大样本,二、总体方差的检验 (2 检验),方差的卡方 (2) 检验,1. 检验一个总体的方差或标准差 2. 假设总体近似服从正态分布 3. 原假设为 H0: 2 = 02 4. 检验统计量,如果是右侧检验，则设拒绝域为如果是左侧检验，则设拒绝域为,右侧检验 左侧检验,总体方差的检验(检验方法的总结),三、总体比例的假设检验 （Z 检验）,一个总体比例的 Z 检验,假定条件 有两类结果 总体服从二项分布 可用正态分布来近似 比例检验的 z 统计量,P0为假设的总体比例,例 某公司产品不合格率为0.02，今从五批产品中抽取500件作为样本给定货者检验，检查出不合格率只有0.01，在显著性水平
15、a=0.05下，能否认为该产品得合格率小于0.02？ 解：这是大样本的假设检验，设检验假设为：,因此接受原假设，即该产品不合格率为0.02,例 某工厂生产一批产品，质量要求当次品率P0.05时，产品才能出厂，今从生产出的产品中随机抽查100件，发现8个次品，试问这批产品是否可以出厂？（a=0.05） 解：这是大样本的检验，设假设检验为：,因此接受原假设，即认为这批产品次品率小于5%，可以出厂,总体比例的检验(检验方法的总结),第三节 两个正态总体的参数检验,一. 两个总体均值之差的检验 两个总体方差是否相等的检验 两个总体比例之差的检验,两个正态总体的参数检验,一、两个正态总体均值差的检验,两
16、个独立样本之差的抽样分布,两个总体均值之差的Z检验 (12、 22 已知),1. 假定条件 两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和 n230) 原假设：H0: 1- 2 =0；备择假设：H1: 1- 2 0 检验统计量为,双侧检验当原假设成立时，统计量,拒绝原假设，否则接受原假设,如果是右侧检验，假设检验为：,拒绝原假设,，接受备择假设,如果是左侧检验，假设为,拒绝原假设,，接受备择假设,两个总体均值之差的Z检验 (假设的形式),两个总体均值之差的 t 检验 (12、 22未知 相等),检验具有等方差的两个总体的均值 假定条件 两个样
17、本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 两个总体方差未知但相等12 = 22 检验统计量,其中：,双侧检验拒绝域,例 某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率（%）如下： 处理前x：0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17 处理后y：0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12 设含脂率分别服从正态分布，且方差相等，对显著性水平0.05，试问：处理前后的平均含脂率有无显著性差异？ 解： 根据题意设立假设,拒绝原假设,接受备择假设,，即处理后含脂率有显著差异,两个总体均值之差的 z检验 (12、 22未知 大样本),检验方差未知大样本的
18、两个总体的均值 假定条件 两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 两个总体方差未知大样本 检验统计量,双侧检验右侧检验和左侧检验,拒绝原假设,例 对7岁儿童作身高调查，结果如表所示，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响？（显著性水平0.05）,解：建立假设根据题意属于大样本，用样本方差代替总体方差，采用Z统计量,则拒绝原假设,二、两个总体方差是否相等的检验 （F 检验）,双侧检验选取统计量拒绝域为,如果是右侧检验其拒绝域为如果是左侧检验拒绝域为,例 某一橡胶配方中，原用氧化锌5g，现减为1g ，若分别用两种配方做一批实验，5g配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是；1g配方测3个值，橡
19、胶伸长率的样本差是。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异？(显著性水平0.05),解：两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异，是通过样本值去判断两个总体方差是否相等的检验，检验假设：其临界值为,拒绝原假设,例 有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得甲的均值15.01，乙的均值14.99，甲的样本方差0.0955，乙的样本方差0.0261，对显著性水平0.05，试问：乙车床产品的方差是否比甲车床的小？,解：假设为,故拒
20、绝原假设,三、两个总体比例之差的检验 （Z 检验）,1. 假定条件 两个总体是独立的 两个总体都服从二项分布 可以用正态分布来近似 检验统计量,两个总体比例之差的Z检验,双则检验拒绝域,如果是右侧检验 其拒绝域为 如果是左侧检验 其拒绝域为：,两个总体比例之差的检验 （假设的形式）,例 随机调查了359名50岁以上的男性，其中205名吸烟者中有43人患慢性气管炎，在154名不吸烟者中，有15人患慢性气管炎，试在时检验吸烟者患此病的比率是否明显高于不吸烟者？ 解：根据题意建立假设,落在拒绝域，所以拒绝原假设,本章小节,1. 假设检验的概念和类型 2. 假设检验的过程 基于一个正态总体的假设检验问题 4. 基于两个正态总体的假设检验问题,问题？ Any Question?,
