1、1直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS” ， “ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL” ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1） “HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法
2、共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABCD：（2）ADBC【思路点拨】先由“HL”证 RtABDRtCDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB90在 RtABD 和 RtCDB 中，ADBCRtABDRtCDB（HL）
3、ABCD（全等三角形对应边相等）（2）由ADBCBDADBC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC【答案】证明：AEAB，BCAB，DAECBA90在 RtDAE 与 RtCBA 中，EDACB ，RtDAERtCBA （HL）ECABCABEAF90，EEAF90，即AFE902即 EDAC2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“” ，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）
4、两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）【答案】 （1）全等， “AAS”；（2）全等， “AAS”；（3）全等， “SAS”；（4）全等， “HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“” ；错误的画“” ，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）【答案】 （1）；（2）；在ABC 和DBC 中，ABDB，AE 和 DF 是其中一边上的高，AEDF（3）. 在
5、ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD求证：ADBC；【答案与解析】证明：连接 DCADAC，BCBDDACCBD90在 RtADC 与 RtBCD 中，DCABRtADCRtBCD（HL）ADBC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90 .求证：OCOD.3【答案】CD90ABD、ACB 为直角三角形在 RtABD 和 RtBAC 中ABDCRtABDRtBAC(HL)ADBC在AOD 和BOC 中AOBCAODBOC(AAS)ODOC4、如图，将等腰直角三角形 ABC 的
6、直角顶点置于直线 上，且过 A，B 两点分别作直线 的垂线，l l垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：ACDCBE.证明：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD 与CBE 中， 90ADCEBACDCBE（AAS）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择
7、题1下列说法正确的是 （ ）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等2如图，ABAC，AD BC 于 D，E、F 为 AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形A3 B4 C5 D643. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等4. 在 RtABC 与 Rt 中, C 90, A , AB , 那么下列结ABC BA论中正确的是( )A. AC B.BC C. AC D. A C5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个
8、三角形的关系是（ ）A形状相同 B周长相等 C面积相等 D全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空题7如图，BE，CD 是ABC 的高，且 BDEC，判定BCDCBE 的依据是“_” 8. 已知，如图，AD90，BECF，ACDE，则ABC_.9. 如图，BADC，A90，ABCE，BCED，则 AC_.10. 如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ECAC，ACEC，若 DE2，AB4，则 DB_.11有两个长度相同的滑梯，即 BCEF，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯
9、的水平方向的长度 DF 相等，则ABCDFE_512. 如图，已知 AD 是ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且 BFAC，FDCD.则BAD_.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开，墙壁厚是35 ，B 点与 O 点的铅直距离 AB 长是 20 ，工人师傅在旁边墙上与 AO 水平的线上截取 OC35cmcm，画 CDOC，使 CD20 ，连接 OD，然后沿着 DO 的方向打孔，结果钻头正好从 B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由13.【解析】解：在 RtAOB 与 RtCOD 中，RtAOBRtCOD（A
10、SA） ABCD20(3590AOBCD对 顶 角 相 等 ） cm14. 如图，已知 ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF. 求证：ACEF. 证明：由 EFAC 于 G，DFBC 于 D，AC 和 DF 相交，可得：FFEDCFED90即 CF（同角或等角的余角相等） ，在 RtABC 与 RtEDF 中BEDFCABCEDF（ASA） ，ACEF（全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知 ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分别是点 E、F.求证：12.6证明：AEEC，AFBF，AEC、AFB 为直角三角形在 RtAEC 与 RtAFB 中ABCE
11、FRtAECRtAFB（HL）EACFABEACBACFABBAC，即12.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是 45，可由 AAS 定理证明全等.2. 【答案】D；【解析】ABDACD；ABFACF；ABEACE；EBFECF；EBDECD；FBDFCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A 对应 ，B 对应 .A5. 【答案】C；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL；8. 【答案】DFE9. 【答案】CD；【解析】通过 HL 证 RtABCRtCDE.10.【答案】6；【解析】DBDCCBABED426；11.【答案】90；【解析】通过 HL 证 RtABCRtDEF，BCADFE.12.【答案】45；【解析】证ADC 与BDF 全等，ADBD，ABD 为等腰直角三角形.
