1、1课时达标检测（三十四）空间点、直线、平面之间的位置关系小题对点练点点落实对点练(一) 平面的基本性质1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个解析：选 A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2若直线上有两个点在平面外，则( )A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：选 D 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内3.如图， l，
2、A， B ， C ，且 Cl，直线 AB l M，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必经过( )A点 A B点 BC点 C 但不过点 M D点 C 和点 M解析：选 D 因为 AB ， M AB，所以 M .又 l， M l，所以 M .根据公理 3 可知， M 在 与 的交线上同理可知，点 C 也在 与 的交线上4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有_条解析：依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD， C1D1.故符合条件
3、的棱有5 条答案：5对点练(二) 空间两直线的位置关系1已知异面直线 a， b 分别在平面 、 内，且 c，那么直线 c 一定( )2A与 a、 b 都相交B只能与 a、 b 中的一条相交C至少与 a、 b 中的一条相交D与 a、 b 都平行解析：选 C 如果 c 与 a、 b 都平行，那么由平行线的传递性知 a、 b 平行，与异面矛盾故选 C.2已知 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A l1 l2， l2 l3l1 l3B l1 l2， l2 l3l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面解析
4、：选 B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D 错3(2018兰州市高考实战模拟)已知长方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB ， AD1，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为( )3A. B. 64 63C. D.26 36解析：选 A 如图，连接 A1D， A1C1，由题易知 B1C A1D， C1DA1是异面直线 B1C 与 C1D 所成的角，又AA1 AB
5、 ， AD1， A1D 2， DC1 ， A1C12，由余弦定理，得3 6cos C1DA1 ，故选 A.C1D2 A1D2 A1C212C1DA1D 644如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH， AB 与GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对答案：35已知 a， b， c 为三条不同的直线，且 a平面 ， b平面
6、， c.若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；3若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 a b，则必有 a c；若 a b， a c，则必有 .其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)解析：中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交，故正确；中平面 平面 时，若 b c，则 b平面 ，此时不论 a， c 是否垂直，均有 a b，故错误；中当 a b 时，则 a平面 ，由线面平行的性质定理可得 a c，故正确；中若 b c，则 a b， a c 时， a 与平面 不一定垂直，此时平面 与平面 也不一定垂直，故错误答案：6.
7、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E， H 分别是边 AB， AD 的中点，点 F， G 分别是边 BC， CD 上的点，且 ，则下列说法正CFCB CGCD 23确的是_(填写所有正确说法的序号) EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上解析：连接 EH， FG(图略)，依题意，可得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以E， F， G， H 共面因为 EH BD， FG BD，故 EH FG，12 23所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH
8、 必相交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线 AC 上答案：7(2018武汉调研)在正四面体 ABCD 中， M， N 分别是 BC 和 DA 的中点，则异面直线MN 和 CD 所成角的余弦值为_解析：取 AC 的中点 E，连接 NE， ME，由 E， N 分别为 AC， AD 的中点，知 NE CD，故MN 与 CD 所成的角即 MN 与 NE 的夹角，即 MNE.设正四面体的棱长为 2，可得NE1， ME1， MN ，故 c
9、os MNE .2NE2 MN2 ME22NEMN 224答案：228如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AC BD CD3， AD BC2，点 M， N 分别为AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接MK， CK. M 为 AD 的中点， MK AN， KMC(或其补角)为异面直线 AN， CM 所成的角 AB AC BD CD3， AD BC2， N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 AN DN CM2 ， MK .在 Rt CKN 中， CK 2 2 .在 CKM 中，由余弦定理，得 cos KMC
10、 2 2 12 3 ，所以异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 . 2 2 22 2 3 22222 78 78答案：78大题综合练迁移贯通1.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是BC， AD 的中点(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)
11、取 CD 的中点 G，连接 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 Rt EGF 中，由 EG FG AC，求得 FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为1245.2.如图，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 35(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1) S ABC 22 2 ，三棱锥 PABC 的体积为 V S12 3 3 13
12、ABCPA 2 2 .13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE 中，DE2， AE ， AD2，cos ADE .222 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .343.如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱A1A底面 ABC，点 E， F 分别是棱 CC1， BB1上的点，点 M 是线段 AC 上的动点， EC2 FB2.(1)当点 M 在何位置时， BM平面 AEF?(2)若 BM平面 AEF，判断 BM 与 E
13、F 的位置关系，说明理由；并求 BM 与 EF 所成的角的余弦值解：(1)法一：如图所示，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作OM AC 于点 M.因为侧棱 A1A底面 ABC，所以侧面 A1ACC1底面 ABC.又因为 EC2 FB2，所以 OM FB EC 且 OM EC FB，12所以四边形 OMBF 为矩形， BM OF.因为 OF平面 AEF， BM平面 AEF，故 BM平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点法二：如图所示，取 EC 的中点 P， AC 的中点 Q，连接PQ， PB， BQ.因为 EC2 FB2，所以 PE 綊 BF，所以 PQ AE， PB EF，6所以 PQ平面 AFE， PB平面 AEF，因为 PB PQ P， PB， PQ 平面 PBQ，所以平面 PBQ平面 AEF.又因为 BQ平面 PBQ，所以 BQ平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点(2)由(1)知， BM 与 EF 异面， OFE(或 MBP)就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角易求 AF EF ， MB OF ， OF AE，5 3所以 cos OFE ，OFEF 35 155所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 .155
