1、1多边形与平行四边形一、单选题（共 12 题；共 24 分）1、下列说法正确的是（ ） A、同位角相等B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形、六边形都可以镶嵌2、下列正多边形中，绕其中心旋转 72后，能和自身重合的是（ ） A、正方形B、正五边形C、正六边形D、正八边形3、下列图形中,不能镶嵌成平面图案的是 ( ) A、正三角形B、正四边形C、正五边形D、正六边形4、梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=AD=2，B=60，则下底 BC 的长是( ) A、B、C、D、5、如图， 在梯形 ABCD 中， AD/
2、BC， B=70C=40 ， DE/AB 交 BC 于点 E若AD=3， BC=10，则 CD 的长是( )A、7B、10C、13D、146、如图，ABCDEF，BCAD，AC 为BAD 的平分线，图中与AOE 相等（不含AOE）的角有（ ）A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个7、正六边形的边心距为 ，这个正六边形的面积为（ ） A、2 B、4 C、6 D、128、把边长相等的正五边形 ABGHI 和正六边形 ABCDEF 的 AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接 EB，交 HI 于点 K，则BKI 的大小为（ ） A、90B、84C、72D、889、（2015河南）如图，在ABC
3、D 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若BF=6，AB=5，则 AE 的长为（ ）2A、4B、6C、8D、1010、（2015德阳）如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AC=AD=AE，且 ABED，EAB=120，则DCB=（ ）A、150 B、160C、130 D、6011、（2016义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A、，B、，C、，D、，12、如图，在平面直角坐标系中，以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为
4、平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）A、（3，-1）B、（-1，-1）C、（1，1）D、（-2，-1）二、填空题（共 5 题；共 5 分）13、（2015烟台）正多边形的一个外角是 72，则这个多边形的内角和的度数是_ 14、现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为 20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于_ cm 15、如图，已知四边形 ABCD 中，C=72，D=81沿 EF 折叠四边形，使点 A、B 分别落在四边形内部的点 A、B处，则1+2=_16、 如图，平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，得到平行四边形 ABCD（点 B与点B 是
5、对应点，点 C与点 C 是对应点，点 D与点 D 是对应点），点 B恰好落在 BC 边上，则C=_17、如图，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，在图（2）中，A2、B 2、C 2分别是A 1B1C1的边 B1C1、C 1A1、A 1B1的中点，按此规律，则第 n 个图形中平行四边形的个数共有_个三、综合题（共 5 题；共 63 分）18、如图，分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边ACD 及等边ABE已知3BAC=30，EFAB，垂足为 F，连接 DF(1)试说明 AC=EF； (2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形.
6、19、（2016滨州）如图，已知抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C (1)求点 A，B，C 的坐标； (2)点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积； (3)此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 20、（2016安徽）如图 1，A，B 分别在射线 OA，ON 上，且MON 为钝角，现以线段 OA，OB 为斜边向MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP，OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点(1)求证
7、：PCEEDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R如图 1，若MON=150，求证：ABR 为等边三角形；如图 3，若ARBPEQ，求MON 大小和 的值 21、（2016丽水）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且BFC=90(1)当 E 为 BC 中点时，求证：BCFDEC； (2)当 BE=2EC 时，求 的值； (3)设 CE=1，BE=n，作点 C 关于 DE 的对称点 C，连结 FC，AF，若点 C到 AF 的距离是 ，求 n 的值 22、（2016江西）如图，将正 n 边形绕点 A 顺时针旋转 60后，发现旋转前后两图形有另一交点 O，连接
8、 AO，我们称 AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点 A 逆时针旋转 60后，交旋转前的图形于点 P，连接 PO，我们称OAB 为“叠弦角”，AOP 为“叠弦三角形”【探究证明】 (1)请在图 1 和图 2 中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（AOP）是等边三角形； (2)如图 2，求证：OAB=OAE (3)图 1、图 2 中的“叠弦角”的度数分别为_，_； (4)图 n 中，“叠弦三角形”_等边三角形（填“是”或“不是”） 4(5)图 n 中，“叠弦角”的度数为_（用含 n 的式子表示） 5答案解析部分一、单选题【答案】C 【考点】垂线，同位角、内错角、同旁内角，平面镶嵌（密
9、铺） 【解析】【分析】A、只有一条直线截 2 条平行线得到的同位角才相等，故错误，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不符合题意；C、过直线上或直线外一点均有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意；D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形都可以镶嵌，六边形不一定能组成镶嵌，故错误，不符合题意；故选 C【答案】B 【考点】正多边形的定义 【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为 90，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为 =72，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为 =60，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为 =45，故本选项错误；
10、故选 B【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断 【答案】C 【考点】平面镶嵌（密铺） 【解析】【解答】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形故选 C【 分析 】 平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角若能构成 360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能考查了平面镶嵌（密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案 【答案】B 【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的
11、判定 【解析】【分析】画出草图分析，作 AECD 于 E 点，则 AECD 是平行四边形，ABE 是等边三角形，据此易求 BC 的长【解答】如图所示：作 AECD 于 E 点，ADBC，AECD，四边形 AECD 是平行四边形，AE=CD=2，EC=AD=2又 AB=CD，B=60，ABE 是等边三角形，BE=2，BC=4故选 B【点评】此题考查了梯形中常作的辅助线：平移腰，把梯形转化为平行四边形和三角形求解，体现了数学的化归思想 【答案】A 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形 【解析】【解答】DE/AB，B=70，DEC=B=70又C=40，CDE
12、=70CD=CEAD/BC，DE/AB，四边形 ABED 是平行四边形BE=AD=3CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7故选 A【 分析 】 根据平行线的性质，得DEC=B=70，根据三角形的内角和定理，得CDE=70，再根据等角对等边，得 CD=CE根据两组对边分别平行，知四边形 ABED 是平行四边形，则BE=AD=3，从而求解 【答案】D 【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角，平行线的性质，平行四边形的性质，平行四边形的判定 【解析】【解答】由 ABCDEF，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，可得：6AOE=OAB=ACD，又由 AC 平分BAD 与 BCAD，可得：
13、DAC=ACB，又由对顶角相等，可得与AOE（AOE 除外)相等的角有 5 个。ABCDEF，AOE=OAB=ACD，AC 平分BAD，DAC=BAC，BCAD，DAC=ACB，AOE=FOC，AOE=OAB=ACD=DAC=ACB=FOC与AOE（AOE 除外)相等的角有 5 个故选 D【 分析 】 解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，对顶角相等以及角平分线的性质，注意数形结合思想的应用，小心别漏解。 【答案】C 【考点】正多边形的定义，正多边形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接 OA、OB；过点 O 作 OGAB 于点 G在 RtAOG 中，OG= ，AOG=30，OG=OAcos
14、30，OA= = =2，这个正六边形的面积=6S OAB =6 2 =6 故选 C【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决 【答案】B 【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】由正五边形内角，得IBAI(52)1805=108，由正六边形内角，得ABC(62)1806120，根据正多边形的性质，可得 BE 平分ABC，则ABK=60，由四边形的内角和，得BKI=360-I-BAI-ABK=360-108-108-60=84【分析】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式 【答案】C 【考点】等腰三角
15、形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，作图基本作图 【解析】【解答】连结 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图，AB=AF，AO 平分BAD，AOBF，BO=FO= BF=3，四边形 ABCD 为平行四边形，AFBE，1=3，2=3，AB=EB，而 BOAE，AO=OE，在 RtAOB 中，AO= =4，AE=2AO=8故选 C【分析】由基本作图得到 AB=AF，加上 AO 平分BAD，则根据等腰三角形的性质得到AOBF，BO=FO= BF=3，再根据平行四边形的性质得 AFBE，所以1=3，于是得到2=3，根据等腰三角形的判定得 AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到 AO=OE
16、，最后利用勾股定理计算出 AO，从而得到 AE 的长 【答案】A 【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质，多边形内角与外角 【解析】【解答】解：ABED，E=180EAB=180120=60，AD=AE，ADE 是等边三角形，EAD=60，BAD=EABDAE=12060=60，AB=AC=AD，7B=ACB，ACD=ADC，在四边形 ABCD 中，BCD= （360BAD）= （36060）=150故选 A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出E，然后判断出ADE 是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是 60可得EAD=60，再求出BAD=60，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角
17、和等于 360计算即可得解 【答案】D 【考点】平行四边形的判定 【解析】【解答】解：只有两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小故选 D【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题 【答案】D 【考点】坐标与图形性质，平行四边形的判定 【解析】【解答】A，以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，B
18、O=AC 1=2，A，C 1 ， 两点纵坐标相等，BOAC 1 ， 四边形 OAC1B 是平行四边形；故此选项正确；B，以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，BO=AC 2=2，A，C 2 ， 两点纵坐标相等，BOAC 2 ， 四边形 OC2AB 是平行四边形；故此选项正确；C，以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，BO=AC 1=2，A，C 1 ， 两点纵坐标相等，C 3O=BC3= .同理可得出 AO=AB= .进而得出 C3O=BC3=AO=AB，OAB=90，四边形
19、OABC3是正方形；故此选项正确；D，以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，四边形 OC2AB 是平行四边形；当第四个点为（-2，-1）时，四边形 OC2AB 不可能是平行四边形；故此选项错误故选：D【分析】根据以 O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，根据平行四边形的判定分别对答案 A，B，C，D 进行分析即可得出符合要求的答案 二、填空题【答案】540 【考点】多边形内角与外角 8【解析】【解答】解：多边形的边数：36072=5，正多边形的内角和的度数是：（52）180=540故答案为：540【分析】
20、根据任何多边形的外角和都是 360，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数n 边形的内角和是（n2）180，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和 【答案】40 【考点】正多边形和圆，正多边形的定义，正多边形的性质 【解析】【解答】解：如图所示，正六边形的边长为 20cm，OGBC，六边形 ABCDEF 是正六边形，BOC= =60，OB=OC，OGBC，BOG=COG= =30，OGBC，OB=OC，BC=20cm，BG= BC= 20=10cm，OB= = =20cm，圆形纸片的直径不能小于 40cm；故答案为：40【分析】根据题意画出图形，再根据正
21、多边形圆心角的求法求出AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可 【答案】54 【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】由题意得：1+2+FEA+EFB+D+C=360，又C=72，D=81，FEA+EFB+1+2=207；又AEF+BFE+FEA+EFB+1+2=360，四边形 ABFE 是四边形 ABEF 翻转得到的，FEA+EFB=AEF+BFE，FEA+EFB=360-207=153，1+2=54【分析】本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识，有一定难度，找准各个角的关系是关键 【答案】105 度 【考点】平行四边形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】平行四边形
22、ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，得到平行四边形 ABCD（点B与点 B 是对应点，点 C与点 C 是对应点，点 D与点 D 是对应点），AB=AB，BAB=30，B=ABB=（180-30）2=75，C=180-75=105故答案为：105【分析】根据旋转的性质得出 AB=AB，BAB=30，进而得出B 的度数，再利用平行四边形的性质得出C 的度数 【答案】3n 【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定 【解析】【解答】在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，A 1C1AB 1A1B1BC 1A1C1B 1CA1C1=AB1A1B1=BC1A1
23、C1=B1C，四边形 A1B1AC1、A 1B1C1B、A 1C1B1C 是平行四边形，共有 3 个在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是A 1B1C1的边 B1C1、C 1A1、A 1B1的中点，同理可证：四边形 A1B1AC1、A 1B1C1B、A 1C1B1C、A 2B2C2B1、A 2B2A1C2、A 2C2B2C1是平行四边形，共有 6个按此规律，则第 n 个图形中平行四边形的个数共有 3n 个【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形在图（1）中，有 3 个平行四边形；在图（2）中，有 6 个平行四边形；按此规律，则第 n 个图形中平行四边形的个数
24、共有 3n 个 三、综合题【答案】（1）【解答】证明：RtABC 中，BAC=30，AB=2BC，又ABE 是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在 RtAFE 和 RtBCA 中9AFEBCA（HL），AC=EF；（2）【解答】ACD 是等边三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形 ADFE 是平行四边形 【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定 【解析】【分析】（1）首先 RtABC 中，由BAC=30可以得到 AB=2BC，又因为ABE 是等边三角形，EFAB，由此得
25、到 AE=2AF，并且 AB=2AF，然后即可证明AFEBCA，再根据全等三角形的性质即可证明 AC=EF；（2）根据（1）知道 EF=AC，而ACD 是等边三角形，所以 EF=AC=AD，并且 ADAB，而 EFAB，由此得到 EFAD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形 ADFE 是平行四边形 【答案】（1）解：令 y=0 得 x2 x+2=0，x 2+2x8=0，x=4 或 2，点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（4，0），令 x=0，得 y=2，点 C 坐标（0，2）（2）解：由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，AB=EF=6，对称轴 x=1，点 E 的横坐标为7 或 5，
26、点 E 坐标（7， ）或（ 5， ），此时点 F（1， ），以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积=6 = （3）如图所示，当 C 为顶点时，CM 1=CA，CM 2=CA，作 M1NOC 于 N，在 RTCM 1N 中，CN= = ，点 M1坐标（1，2+ ），点 M2坐标（1，2 ）当 M3为顶点时，直线 AC 解析式为 y=x+1，线段 AC 的垂直平分线为 y=x，点 M3坐标为（1，1）当点 A 为顶点的等腰三角形不存在综上所述点 M 坐标为（1，1）或（1，2+ ）或（1.2 ） 【考点】二次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）分别令 y=0，
27、x=0，即可解决问题（2）由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，易知点 E 坐标（7， ）或（5， ），由此不难解决问题（ 3）分 A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题 【答案】（1）证明：点 C、D、E 分别是 OA，OB，AB 的中点，DE=OC，OC，CE=OD，CEOD，四边形 ODEC 是平行四边形，OCE=ODE，OAP，OBQ 是等腰直角三角形，PCO=QDO=90，PCE=PCO+OCE=QDO=ODQ=EDQ，PC=
28、AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，在PCE 与EDQ 中， ，PCEEDQ；（2）解：如图 2，10连接 RO，PR 与 QR 分别是 OA，OB 的垂直平分线，AP=OR=RB，ARC=ORC，ORQ=BRO，RCO=RDO=90，COD=150，CRD=30，ARB=60，ARB 是等边三角形；由（1）得，EQ=EP，DEQ=CPE，PEQ=CEDCEPDEQ=ACECEPCPE=ACERCE=ACR=90，PEQ 是等腰直角三角形，ARBPEQ，ARB=PEQ=90，OCR=ODR=90，CRD= ARB=45，MON=135，此时 P，O，B 在一条直线上，PAB 为直角三角
29、形，且APB=90，AB=2PE=2 PQ= PQ， = 【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到 DE=OC，OC，CE=OD，CEOD，推出四边形 ODEC 是平行四边形，于是得到OCE=ODE，根据等腰直角三角形的定义得到PCO=QDO=90，根据等腰直角三角形的性质得到得到 PC=ED，CE=DQ，即可得到结论（2）连接 RO，由于 PR 与 QR 分别是 OA，OB 的垂直平分线，得到 AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到ARC=ORC，ORQ=BRO，根据四边形的内角和
30、得到CRD=30，即可得到结论；由（1）得，EQ=EP，DEQ=CPE，推出PEQ=ACR=90，证得PEQ 是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到 ARB=PEQ=90，根据四边形的内角和得到MON=135，求得APB=90，根据等腰直角三角形的性质得到结论本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键 【答案】（1）证明；在矩形 ABCD 中，DCE=90，F 是斜边 DE 的中点，CF= DE=EF，FEC=FCE，BFC=90，E 为 BC 中点，EF=EC，CF=CE，在BCF 和DEC 中， ，BCFDEC（ASA）（2）解：设 CE=a，由 BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，CF 是 RtDCE 斜边上的中线，CF= DE，FEC=FCE，BFC=DCE=90，BCFDEC， ，即： = ，解得：ED 2=6a2 ， 由勾股定理得：DC= = = a， = = （3）解：过 C作 CHAF 于点 H，连接 CC交 EF 于 M，如图所示：CF 是 RtDCE 斜边上的中线，FC=FE=FD，
