1、1、自然常数 e1、求导 xad令 已知导数差商公式定义式：yxffxf)()(lim0由导数差商定义式得： xaxaxffxf xx 1)()( limlili 000（因子 与 无关，因此我们可以将它提到极限号前面）a注意到上式中的极限是函数 的导数在 处的值，即)(fxaf1)0(li0因此，我们已经说明了如果指数函数 在 处是可f)(0微的，则该函数是处处可微的，并且xafxf)0(上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令 ，因为 已知，要求 必xafaM1)0(lim0 xa)(xf须求得 ，从 的定义式可以猜测)(0x)(li可能是一个无线不循环的数值，只能无
2、限取小 值求得a x的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到 的准确)(0aM)(0aM数值. hh12h130.1 0.7177 1.16120.01 0.6956 1.10470.001 0.6934 1.09920.0001 0.6932 1.0987在上表中，给出了 和 时的情况，通过数值举例，说2a3明了 的存在.极限明显存在并且)0(f当 ， 69.012)0(lim xf当 ，3a.3)(li0fx实际上，我们将在微积分5.6 节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(xd 098612.)3(xd因此，由等式，我们有xxd2)69.0(2xxd3)1
3、0.(3在等式 对于底数 的所有可能的选择中，当 时，微af分公式最为简单，即 ， ，并且有xey，则有当 时， ，1)(lim00xeM0xxe1，因此 ，再次说明了存在ex1使得 ，同样 可能是一个无限不循环小xx10)(li1)(0eMe数.再来看看上表中估计 和 时， 的数值，结合定义2a3)0(f式 可以看出 大小决定于 的取值，可以xa1)(lim00 a证明 在实数域单调递增，由 ，可知M)3()()2(00Me.32e数 的定义： ehh10)(li即 是使 成立的数.e1lim0h这里要注意一点，一个确定的 确定一个具体的数 ，)(0aM0a即当 值确定时，原函数 也确定了一
4、个具有确切数值的)(0aMxy底数 ， 与 和 与 都具有对xy269.)(031.)(0应关系，所以 存在且使 的意义在于我们可以求得e1e的导函数 ，当然 是一个确定的x xxeMd)( 0常数，即我们只能求唯一的指数函数 的导函数 .yxey自然指数求导公式： xed指数函数 曲线有一个重要特点，当 时， 恒成立，xay01y也就是说所有的指数函数均通过 点；再来看看 在)1,0()(M图像中的几何意义.xey，也就是说 表示指数函数在000)()(xyeM)(0e处的切线斜率 ，也只有 在 处导函数1mx，注意体会底数 与 的唯一对应关系.)(eya在指数函数 中， 值的大小直接影响图
5、像的形状.xay值越大， 曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值 越a y大； 值越小， 曲线越平顺，即变化率越小，导函数 越小.x 当 取值相等时，x 3232exaded2. 的含义e2.1 由定义式 来理解 的含义，简单地说 就是单位hh10)(limee时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了 1 元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的 100%！ 银行一般 1 年才付一次利息，满 1 年后银行付给你 1 元利息，存款余额=2 元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计 ，你可以把利息提)2%0(前存入，利息生利息，1 年本息共计 元.假设银行
6、超级实1在，每 4 个月就付利息，4 个月后本息共计 ，8 个月后本)30(息共计 ，年底本息共计 元 .假设银行人品爆2)3%10(%1发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计 元，第二)0(n期本息共计 元第 期本息共计 元，2)10(nn1这样年底本息余额 元 7813.1 元存 1 年，在年利率 100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是 ，有nne)%10(lim兴趣可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1 一个有关复利的例子 很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个
7、慷慨的年利率 12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初始存款 1 元存入账户.每一年你的财富增加 12%.这意味着 年后，n你的财富将增加到原来的 倍.特别地，一年后，你的财富n%)12(就是 元.)12(现在，假设你发现另一家银行.它也提供 12%的年利率，但现在它是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到 12%的利息；你必须用它除以 2，这意味着半年你会得到 6%的利息.一年后，它会以 6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到 ，2%)61(其结果是 1.1236 元.第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为
8、 12%的每年3 次的复利.我们取 12%，并将它除以 3 会得到 4%,然后复利 3 次，我们的财富将会增加到原来的 倍，其结果近似为 1.1255 元.%)41(同样一年时时刻刻都复利时即 ，复利利率为 ，复利nn12次后，我们的财富会增长的倍数为nnn)12(lim我们用 代替 0.12，并关心更一般的极限rnnrL)1(li首先，我们设 ，这样 .那么，当 时，我们rh/看到 （由于 是常数）故0hhrhL/0)1(lim现在我们可以使用指数法则来写出rhhL)1(/0lim我们来变个魔术，设hhe/10)(li代入极限中有rhheL)1(/0lim所以rnne)1(li2.2.2 关
9、于 的更多内容e让我们来更好地看一下这个极限，记得rnne)1(lim这一次，设 ，则 ，当 时，有 ，得到h/1h/ 0hreL/10)(li这是一个右极限.事实上，你可以用 代替 ，对于双侧极限仍成立.我们需要证明左侧极限也是 ，然后左极限等于右极限，re则双极限也等于 .因此，我们考虑re?)1(/0limhhrL用 替换 ；那么，当 时， （当 是一个很小的负数tht时， 就是一个很小的正数）故httthhrrL/10/10)()(limli由于对于任意的 ，有 ，我们可以将极限重新写成AA/1ttr/0)(li分母就是带有利率 而不是 的经典极限 .这意味着，当 时，)(r 0t在极
10、限中，分母趋于 ，因此综合起来有erttthh errtrL 1)(1)1()1( /0/0/0 limlilim该极限在 处可微且连续，所以有xrhhe/0)(li2、自然对数求导1.导数差商定义法由 ，令 ，求xffxf)()(lim0 xylny由定义式写出 xxxd1000)ln()1ln( )ln(l)l(lii i令 ，则有 ，当 时， ，上式可写成xh/hx0hxedxx 1ln)1ln()1ln(l 00imi （通过换元巧妙地将 从对数中提到极限号外面）2.隐函数微分法对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数
11、的方法.原理如下：令 左右同时取指数xylne左右同时微分y所以有 dxyedxy1联立等式得： xeyey1代入 是因为 最终要表达成关于 的因式.xey3.隐函数微分法求导指数函数 原理如下：令 左右同时取对数xeyxlnln则有 左右同时微分所以 ydxydxlnl1联立等式得： y所以 xey代入 是因为 最终要变达成关于 的因式. x3、换底公式1.指数换底公式 aeln对等式左右同时取对数得： ll2.对数换底公式证： )(log)(labca令 x则有 左右同时取以 为底的对数bcaacxclog)(l)(log则有 其中底数 任意取值且 且l 0c1又 )(bxa所以 )(lo
12、g)(labca如何对 进行换底求导呢？xaln)(l所以 axxdaxdx ln1l)(nl1)(og 4、求导任意指数函数1. 底法e令 ，求导xayxd办法就是用 做底数，也就是把底数 转化为 ，把 变成 的eaexae某次幂，应用指数函数的求导办法.Medxxad xxa ln)()( 0lnlln 又因为 el联立两式得： axlnal)(02. 对数微分法求 xad有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易因为 （应用了链式法则及对数udxux1lnl 求导公式）因此，令 直接求导较麻烦a求导较容易axlinul所以 又由 可知：)( udlnaauxlnll 所以有
13、x1.求导:examplx2.求证 为实数1rd1. 底法e因为 xrxrelnl所以 1l rrxd指数函数的定义域为什么是 （实数）.R解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系 轴表示的数.x看看指数函数的图像 （ ）在 轴可以无限延伸，xay1,0x也就是 取值任何实数值，指数函数都成立.2. 对数微分法令 则有rxuxrulnln对 求导有ulnxrulnl所以 1 rx5、求导任意对数函数1.自然对数化简法令 求xyalogxdalog将 化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有 .l xaxylnl则有 axxd ln1lnl1llog 所以 adxlog2.指数微分法令 求xyalogxdalog对 左右同时取指数则有 左右同时求导xyalog则有 n y所以有 axayln1l3.现在来看看：如果原函数 ，那么我们知道 ，现yyxalog在对 关于 求导，使用上述结论公式，我们得到yxalogdyln1aydxaydxxlnlln1也可以用结论公式 （对换 换成 ， 换成 ），l,yx则有 ，变换写成aydxln1aydxxlnl
