2010届高三数学复习资料专题1.doc.doc

1、2010 届高三数学复习资料专题专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【 命题趋向 】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为 12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如 08 年安徽理科第 5 题(5 分) ，考查三角函数的对称性与向量平移、08 年山东文第 8 题理第 15 题(5 分)考查两角和与差与向量垂直、08 福建文理第 17 题 (12 分)考查三角函数的求值与向量积、07 的天津文理

2、第 15 题(4 分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据 2009 年考纲预计在 09 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行) 与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1) 考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【 考试要求 】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、

3、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A， 的物理意义5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及其几何

4、意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【 考点透视 】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质” 进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角” 为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角” 之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2考查三角函数的性质与图像，

5、特别是 y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换 .3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5考查平面向量的数量积及运算律( 包括坐标形式及非坐标形式 )，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【 典例分析 】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定

6、：(1)平移的方向；(2) 平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例 1】 把函数 ysin2x 的图象按向量 ( ，3)平移后，得到函数a6yAsin(x )(A0，0 ，| | )的图象，则和 B 的值依次为 （ 2）A ，3 B ，3 C ，3 D ，312 3 3 12【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 ，再代入已知解析式可得 .还可以由向)量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 ，即 ，代入 ysin2x 得) )y3 sin2(x )，即到 y sin(2x )3，由此知 ，

7、B3，故选 C.6 3 3【解析 2】 由向量 ( ，3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向a6左平移 个单位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为 ysin2(x )3，即6 6ysin(2x ) 3，由此知 ，B3 ，故选 C.3 3【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线) 的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线) 条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知

8、识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 ABC. 若向量 (22sinA，cosAsinA)与p向量 (cosAsinA，1sinA) 是共线向量.q（）求角 A；（）求函数 y2sin 2Bcos 的最大值.C 3B2【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第( ) 小题；而第() 小题根据第( )小题的结果及 A、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表

9、达式，再根据 B 的范围求最值.【解】 （） 、 共线， (22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则p qsin2A ，34又 A 为锐角，所以 sinA ，则 A .3（）y2sin 2Bcos 2sin2BcosC 3B22sin 2Bcos( 2B)1cos2B cos2B sin2B3 12 sin2B cos2B1 sin(2B )1.12 6B(0， )，2B ( ， )，2B ，解得 B ，y max2.2 6 6 56 6 2 3【点评】 本题主要考查向量共线(平行) 的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性. 本题解答有两个关键：（1）利

10、用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2 ）根据条件确定 B 角的范围 .一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例 3】 已知向量 (3sin,cos)， (2sin，5sin 4cos)， ( ，2) ，且a b32 a b（）求 tan的值；（）求 cos( )的值2 3【分析】 第()小题从向

11、量垂直条件入手，建立关于 的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得 tan的值；第()小题根据所求得的 tan的结果，利用二倍角公式求得 tan 的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果2【解】 （） ， 0 而 （3sin，cos） ， (2sin, 5sin4cos)，a b ab a b故 6sin 25sincos 4cos 20 ab由于 cos0，6tan 25tan40解之，得 tan ，或 tan 43 12（ ，2） ，tan 0，故 tan （舍去） tan 32 12 43（）（ ，2） ， （ ，） 32 2 34由 tan ，求得 tan ，tan 2（舍

12、去） sin ，cos ，43 2 12 2 2 2cos( )cos cos sin sin 2 3 2 3 2 3 12【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“弦化切” 的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“ 切函数与弦函数” 关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质| |2 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种a a方法：（1 ）先进行向量运

13、算，再代入向量的坐标进行求解；（2 ）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例 3】 已知向量 (cos,sin) ， (cos,sin)，| | .() 求 cos() 的a b a b255值；( )若 0 ，且 sin ，求 sin的值 .2 2 513【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第() 小题；而第()小题则可变角 ( )，然后就须求 sin( )与 cos即可.【解】 () | | ， 22 2 ，a b255 a ab b 45将向量 (cos,sin)， (cos,sin)代入上式得a b12 2(coscossinsin)1 2 ，

14、cos() .45 35() 0 ，0 ，2 2由 cos() ，得 sin() ，35 45又 sin ， cos ，513 1213sin sin()sin()coscos( )sin .3365点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1) 化| |为向量运算| |2( )2；(2)注意解 a b a b a b的范围. 整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也

15、主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例 5】 设函数 f(x) .其中向量 (m ，cosx)， (1sinx，1) ，x R，且 f( )ab a b22.（）求实数 m 的值；（）求函数 f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“ 数量关系” ，从而，建立函数 f(x)关系式，第（）小题直接利用条件 f( )2 可以求得，2而第( )小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（）f(x) m(1 sinx)cosx，ab由 f( )2 ，得 m(1sin )cos 2，解得 m1.2 2 2()由（）得 f(x)

16、sinxcosx1 sin(x )1，24当 sin(x )1 时，f(x)的最小值为 1 .4 2点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系 ”，再利用三角函数的相关知识进行求解六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例 6】 已

17、知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若20090318 (cos ，sin )， (cos ，sin )，a2 ，且 mA2 A2 n A2 A2 3 mn 12（）若ABC 的面积 S ，求 bc 的值3（）求 bc 的取值范围【分析】 第()小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得 A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 bc 的值；第()小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式，进而求得 bc 的范围.【解】 （） (cos ，sin )， (cos ，sin )，且 ，mA2

18、 A2 n A2 A2 mn 12 cos2 sin 2 ，即cosA ，A2 A2 12 12又 A(0，)，A .23又由 SABC bcsinA ，所以 bc4，12 3由余弦定理得：a 2b 2c 22bccos b 2c 2bc，16(bc) 2，故 bc4.23（）由正弦定理得： 4，又 BCA ，bsinB csinC asinA 3bc 4sinB4sinC 4sinB 4sin( B) 4sin(B )，3 30B ，则 B ，则 sin(B )1，即 bc 的取值范围是 2 ，4.3 3 3 23 3 3点评 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定

19、理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第() 小题中求bc 没有利用分别求出 b、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第()小题的求解中特别要注意确定角 B 的范围.【 专题训练 】一、选择题1已知 (cos40 ，sin40) ， (cos20 ，sin20)，则 （ ） a b a bA1 B C D122将函数 y2sin2x 的图象按向量( ， )平移后得到图象对应的解析式是 （ ）2 2 2A2cos2x B2cos2x C2sin2x D2sin2x3已知ABC 中， ， ，若 0，则 ABC 是 （ ）AB a AC b

20、a b A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D任意三角形4设 ( ,sin)， (cos, )，且 ，则锐角 为 （ ）a32 b 13 abA30 B45 C60 D755已知 (sin， )， (1， )，其中 (， )，则一定有 （ ） a 1 cos b 1 cos32A B C 与 夹角为 45D| | |ab a b a b a b6已知向量 (6，4)， (0 ，2), ，若 C 点在函数 ysin x 的图象上, 实数a b c a b12 （ ）A B C D52 32 52 327由向量把函数 ysin(x )的图象按向量 (m，0)(m 0)平移所得的图象关于 y

21、轴对称，56 a则 m 的最小值为 （ ）A B C D6 3 23 568设 02 时，已知两个向量 (cos ，sin) ， (2 sin ，2cos )，则向量OP1 OP2 长度的最大值是 （ ）P1P2 A B C3 D22 3 2 39若向量 (cos,sin )， (cos,sin)，则 与 一定满足 （ ） a b a bA 与 的夹角等于 B a b a bC D( )( )ab a b a b10已知向量 (cos25 ,sin25)， (sin20,cos20) ，若 t 是实数，且 t ，则| |a b u a b u的最小值为 （ ）A B1 C D21211 O 是

22、平面上一定点，A、 B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足： (OP OA )， (0,) ，则直线 AP 一定通过 ABC 的 （ ）AB ACA外心 B内心 C重心 D垂心12对于非零向量 我们可以用它与直角坐标轴的夹角,(0 ,0)来表示它的方向，称a,为非零向量 的方向角，称 cos,cos为向量 的方向余弦，则 cos2cos 2（ a a）20090318A1 B C D012二、填空题13已知向量 (sin ，2cos) ， ( , ).若 ，则 sin2的值为_m n 312 mn14已知在OAB(O 为原点) 中， (2cos ，2sin)， (5cos ，5

23、sin )，若 5，OA OB OAOB则 SAOB 的值为_.15 将函数 f(x)tan(2x )1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x)，要使|a| 最小，则 a3_.16已知向量 (1，1) 向量 与向量 夹角为 ，且 1. 则向量 _ m n m 34 m n n三、解答题17在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 k(kR).ABAC BABC（）判断 ABC 的形状；（）若 c ，求 k 的值218已知向量 (sinA,cosA)， ( ,1) ， 1 ，且 为锐角.()求角 A 的大小；()m n 3 mn A求函数 f(x)cos2x4cosAs

24、inx(x R)的值域19在 ABC 中，A 、B、C 所对边的长分别为 a、b、c ，已知向量 (1，2sinA) ，m (sinA，1 cosA) ，满足 ，bc a.()求 A 的大小；() 求 sin(B )的值n mn 3620已知 A、B、C 的坐标分别为 A（4 ，0） ，B（0，4 ） ，C（3cos，3sin）.（）若 (，0) ，且| | |，求角 的大小；AC BC（）若 ，求 的值AC BC2sin2 sin21 tan21 ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ， (2bc，a) ， (cosA ，cosC)，且m n mn()求角 A 的大小；()当

25、y2sin 2Bsin(2B )取最大值时，求角 的大小.6 B22已知 (cosxsinx，sinx) ， (cosxsinx ，2cosx) ，a b（）求证：向量 与向量 不可能平行；a b（）若 f(x) ，且 x , 时，求函数 f(x)的最大值及最小值ab44【 专题训练 】 参考答案一、选择题1B 解析：由数量积的坐标表示知 cos40sin20sin40cos20 sin60 . a b322 D 【解析】y2sin2x y2sin2 （x ） ，即 y2sin2x.2 2 2 23 A 【解析】因为 cosBAC 0， BAC 为钝角.4 B 【解析】 由平行的充要条件得 s

26、in cos0， sin21 ，290，45 .32135B 【解析】 sin |sin|，( ， )， |sin|sin ， 0， a b32 a b a b6 A 【解析】 (6，42 )，代入 ysin x 得，42 sin 1，解得c a b12 2 .527 B 【解析 】考虑把函数 ysin(x )的图象变换为 ycosx 的图象，而 ysin(x )56 56cos(x )，即把 ycos(x )的图象变换为 ycosx 的图象，只须向右平行 个单位，所3 3 3以 m ，故选 B.38 C 【 解析】 | | 3 .P1P2 (2 sin cos)2 (2 cos sin)2

27、10 8cos 29 D 【解析 】 (cos cos,sinsin) ， (coscos,sinsin )， ( a b a b a)( )cos 2cos 2sin 2sin 20 ，( )( )b a b a b a b10 C 【解析】| |2| |2t 2| |22t 1t 22t(sin20 cos25cos20 sin25)u a b abt 2 t1 (t )2 ，| | ，| |min .212 u 2min 12 u11 C 【解析】设 BC 的中点为 D，则 2 ，又由 ( )，AB AC AD OP OA AB AC2 ，所以 与 共线，即有直线 AP 与直线 AD 重

28、合，即直线 AP 一定通过ABCAP AD AP AD的重心12 A 【解析 】设 (x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为 (1,0) ， (0,1)，a i j由向量知识得 cos ，cos ，则 cos2cos 21.二、填空题13 【解析】由 ，得 sin2 cos,tan4 ，sin2 mn12 3 3 2sincossin2 cos2 2tantan2 114 【解析】 510coscos 10sinsin510cos()OAOB5cos( ) ，sinAOB ，又| |2 ， | |5，S 12 OA OBAOB 25 1215 （ ，1） 【解析】要经过平移得到奇

29、函数 g(x)，应将函数 f(x)tan(2x )1 的图象6 3向下平移 1 个单位，再向右平移 (kZ)个单位即应按照向量 ( ，1) k2 6 a k2 6(kZ)进行平移要使|a| 最小，16(1，0) 或(0 ，1) 【解析】设 (x ，y)，由 1，有 xy1 ，由 n m n与 夹角为 ，有 | | |cos ，| |1，则 x2y 21 ，由解得 m n 34 m n m n 34 n )或 即 (1，0) 或 (0，1) ) n n三、解答题17 【 解 】 （） bccosA， cacosB，ABAC BABC又 ，bccosA cacosB，ABAC BABC由正弦定理，

30、得 sinBcosAsinAcosB，即 sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0 AB ，A B0，即 AB， ABC 为等腰三角形.（）由（）知 ， bccosAbc ，baABACb2 c2 a22bc c22c ， k1.218 【 解 】( )由题意得 sinAcosA1，2sin(A )1，sin(A ) ，mn 36 6 12由 A 为锐角得 A ，A .6 6 3()由（）知 cosA ，所以 f(x)cos2x2sinx1 2sin 2x2sinx2(sinx )2 ，12 12 32因为 xR，所以 sinx1,1 ，因此，当 sinx 时，f(x )有最大值

31、12 32当 sinx1 时，f(x)有最小值 3，所以所求函数 f(x)的值域是3， 3219 【 解 】( )由 ，得 2sin2A1 cosA 0 ，即 2cos2AcosA10 ， cosA 或mn12cosA1.A 是ABC 内角， cosA1 舍去，A .3() bc a，由正弦定理， sinBsinC sinA ，3 332BC ，sinBsin( B) ，23 23 32 cosB sinB ，即 sin(B ) 32 32 620 【 解 】 （）由已知得： ，则 sincos，(3cos 4)2 9sin2 9cos2 (3sin 4) 2因为 (，0) ， .34（）由(

32、3cos4)3cos 3sin(3sin4) 0 ，得sincos ，平方，得 sin2 .34 716而 2sincossin2 2sin2 sin21 tan 2sin2cos 2sincos2sin cos 71621 【 解 】( )由 ，得 0 ，从而(2bc)cosAacosC0，mn mn由正弦定理得 2sinBcosAsinCcosA sinAcosC02sinBcosAsin(A C)0，2sinBcosA sinB 0，A、B(0，)，sinB0，cosA ，故 A .12 3()y 2sin2B2sin(2B )(1cos2B) sin2Bcos cos2Bsin6 6

33、61 sin2B cos2B1sin(2B ).12 6由()得，0B ， 2B ，23 6 6 76当 2B ，即 B 时，y 取最大值 2.6 2 322 【 解 】 （）假设 ，则 2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，ab2cos2xsinxcosxsin 2x0， 2 sin2x 0 ，1 cos2x2 12 1 cos2x2即 sin2xcos2x 3， (sin2x )3，与| (sin2x )| 矛盾，24 2 4 2故向量 与向量 不可能平行a b（）f(x) (cosx sinx)(cosxsinx) sinx2cosxabcos 2xsin 2x2sinxcosxcos2xsin2x ( cos2x sin2x) (sin2x )，2 24 x ， 2x ，当 2x ，即 x 时，f(x)有最大值 ；4 4 4 434 4 2 8 2当 2x ，即 x 时，f(x) 有最小值1 4 4 4