1、1.1.2 余弦定理,第一章 解三角形,一、复习回顾,1.正弦定理及其推论：,=2R,(R为ABC外接圆半径）,B,C,A,a,b,c,思考： 在ABC中,已知AB=2,BC=5,ABC的面积为4，ABC=，则sin= .,练习：在ABC中， ，求此三角形的面积,2.利用正弦定理解三角形,题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求另外两边.题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角,一、复习回顾,若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：（1）先利用 求出sinB，从而求出角B；（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；（3
2、）再利用 求出边c.,注意：求角B时应注意检验！,依条件可知，,同理可得,二、新课讲解,问题：在ABC中，a=8，b=3，C=60o，求c.,如图，在ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.,题型三:已知三角形的两条边及其夹角,求出另一边。,三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即,余弦定理：,注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边,二、新课讲解,例3 在ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，解该三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）.,解：a=b+c-2bccosA =60+34
3、-26034cos41o1676.82 a41(cm),故由正弦定理可得,ca， CA,故C是锐角利用计算器可求得 C33B=180o-(A+C) 180o-(41o+33o)=106,故由余弦定理可得,三、例题讲解,一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.,利用计算器可求得 C33B=180o-(A+C) 180o-(41o+33o)=106,余弦定理的推论：,注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角,二、新课讲解,例4 在ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1）。,解：,A5620,B3
4、253,三、例题讲解,利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角.,练习：在ABC中（1）已知a= ，c=2，B=150o，求b；（2）已知a=2，b= ，c= ，求A.,7,45o,二、新课讲解,余弦定理及其推论：,解三角形的四种基本类型：,例5.已知ABC的三条边长的比为1：2： ，求该三角形的最大内角.,解：依题意可设该三角形三条边分别为,则角C为最大内角,C=120o,三、例题讲解,又0oC180o,变式.在ABC中，若sinA:sinB:sinC=1:2: ，求该三角形的最大内角.,120o,例6.已知在A
5、BC中，a=8，b=7，B=60o，求c.,解：由余弦定理得,三、例题讲解,余弦定理：,练习.已知在ABC中，a=1，b= ，B=60o，求c。,3,（1）若A为直角，则a = b+c（2）若A为锐角，则a b+c,由a2=b2+c22bccosA可得,利用余弦定理可判断三角形的形状.,二、新课讲解,钝角三角形,2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求x的取值范围.,变式：若该三角形是钝角三角形呢？,A,C,练习,4.在ABC, B=30o,AB= ,面积S= ,则AC=_.,3.在ABC中，若A=120，c=5，b=3，则sinBsinC =( ),2.ABC的两边长为2，3，其夹
6、角的余弦为 ，则其外接圆的半径为( ),1.在ABC中，已知 ，则ABC中的最小内角的度数是（ ） A60 B45 C30 D15,C,2,练习,在 ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是 a、b、c已知 c2，C （1）若ABC的面积等于 ，求 a、b；（2）若 ，求 ABC的面积,练习,在 ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是 a、b、c已知 c2，C （1）若ABC的面积等于 ，求 a、b；（2）若 ，求 ABC的面积,练习,在 ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是 a、b、c已知 c2，C （1）若ABC的面积等于 ，求 a、b；（2）若 ，求 ABC的面积,四、小结,余弦定理及其推论：,利用余弦定理判断三角形的形状：（1）若A为直角，则a = b+c（2）若A为锐角，则a b+c,
