1、房山区 2019-2020 学年度第一期末期末检测高三数学本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ）已知集合 ， ，则 12Ax 0,123BAB（A） 0, （B） 1,0（C ） 2（D） 2（2 ）已知复数 ，则 的虚部为izz（A） 13 （B） 23（C ） （D） （3 ）等差数列 中，若 ， 为 的前 项和，则na1476anSa7S（A）
2、 28 （B） 21（C ） 14 （D）（4 ）从 年起，北京考生的 高考成绩由语文、数学、外语 门统一高考成绩和考生选考的 3 门0 3普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成等级性考试成绩位次由高到低分为 、A、 、 、 ，各等级人数所占比例依次为： 等级 ， 等级 ， 等级 ，BDEA15%B40C0%等级 ， 等级 现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取14%1人作为样本，则该样本中获得 或 等级的学生人数为20B（A） 5 （B） 80（C ） 9 （D） 1（5 ）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为主主主主主11 1 22（A） 23 （B） 43（C
3、 ） （D）（6 ）若点 在角 的终边上，则5(cos,in)6Mtan2（A） 3 （B） 3（C ） （D）（7 ）已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 的214yxPQPQ斜率的取值范围是（A） (2,)（B） 1(,)2（C ） (,)（D） (,)（8 ）设 ， 均为单位向量，则 “ 与 夹角为 ”是 “ ”的abab3|3ab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9 ）如图，在正方体 中， 为棱 的中点，动点 在平面 及其边1BCDAMAP1BC界上运动，总有 ，则动点 的轨迹为PPMD1 C1
4、B1A1D CBA（A）两个点 （B）线段（C ）圆的一部分 （D）抛物线的一部分（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名具体积分规则如表 1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2表 1 田径综合赛项目及积分规则项目 积分规则米跑10以 秒得 分为标准，每少 秒加 分，每多 秒扣 分3600.150.15跳高 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分.222掷实心球 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分15表 2 某队模拟成绩明细姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米）甲 3.1.241.8乙 12634丙 .9.6.7丁
5、 31216根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（A）甲 （B）乙（C ）丙 （D）丁第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11 ）已知点 ， ，以线段 为直径的圆的方程为_(2,0)M(,)NMN（12 ）若函数 是偶函数，则 _1fxa(2)f（13 ）已知数列 满足 ，且其前 项和 满足 ，请写出一个符合上述条件的nannnS1nS数列的通项公式 _（14 ）已知 ，若 的最小正周期为_，若()cos2)(0)2+fx()fx对任意的实数 都成立，则 _.1 （15 ）已知函数,1,()2. xfa当 时，函数 的值域是_；1
6、a()f若函数 的图象与直线 只有一个公共点，则实数 的取值范围是_ ()fx1ya（16 ）已知矩形 中 ， ，当每个 取遍 时，ABCD2A(1,2345,6)i1的最小值是_，最大值是123456| |CBD_三、解答题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17 ） （本小题 13 分）如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，ABCDB3ACD3sin14BC.3C（）求 的值；sin（）求 ， 的值.B（18 ） （本小题 13 分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业该县农科所为了对比 A，B 两种不同品种茶叶的产量，
7、在试验田上分别种植了 A，B 两种茶叶各 亩，20所得亩产数据（单位：千克）如下：A： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，41.37.48.19.25.1.352.7.354.2.356.47.， ， ， ， ， ， ， ； 58956066B： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，2.3.400.712.， ， ， ， ， ， ， ；98（）从 A，B 两种茶叶亩产数据中各任取 1 个，求这两个数据都不低于 的概率；5（）从 B 品种茶叶的亩产数据中任取 个，记这两个数据中不低于 的个数为 ，求 的分布2X列及数学期望；（）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶 A 还
8、是茶叶 B？说明理由（19 ） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，PABCDPD为等边三角形， ，PAD /， ， 分别为棱 ， 的中点2CEFBDCBAPFED CBA（）求证： 平面 ；AEPCD（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；F（）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？G /AEF若存在，求 的值，若不存在，说明理由P（20 ） （本小题 14 分）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 E21(0)xyab(2,0)(0,2)（）求椭圆 的方程以及离心率；（）若直线 与椭圆 相切于点 ，与直线 相交于点 在 轴是否存在ykxmEP4xQx定点 ，使 ？若存在，求出
9、点 的坐标；若不存在，说明理由MPQM（21 ） （本小题 13 分）已知函数 .()21)lnfxx（）求曲线 在点 处的切线方程；y(,f（）求证： .()fx（22 ） （本小题 13 分）设 为给定的不小于 的正整数，考察 个不同的正整数 ， ， ， 构成的集合n5n1a2 na，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合12,nPa P为“差异集合” （）分别判断集合 ，集合 是否是“差异集合” ；（只需写出1,38,2A1,2486B结论）（）设集合 是“差异集合” ，记 ，求证：数列12,nPa 1(,2)iiban的前 项和 ；ibk0kD (1,2)（）
10、设集合 是“差异集合” ，求 的最大值12,nPa 12naa房山区 2019-2020 学年度第一学期期末检测 答案高三数学一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）二、填空题（每小题 5 分，共 30 分，有两空的第一空 3 分，第二空 2 分）（11 ） 22(1)()xy（12 ） 3（13 ） 或 （答案不唯一）1()n（14 ） ；6（15 ） ；(,1(,（16 ） ； 027三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（17 ） （本小题 13 分）解：（） ，3sin14DBC22sincos1,02DBCDBC co在 中， ,3= sinsi()BDCCsincossinDB
11、CDBC143427（）在 中，由正弦定理得 ，即BsinsiDBC3142题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C D A D A C B B解得 7BD ， ，2AC3sin14DB cosB314在 中， ，根据余弦定理，AD22cosABD23(3)7491解得 AD（18）（本小题 13 分）解：（）从 A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从 B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 4 个，设“所取两个数据都不低于 55”为事件 ，则A1()=20P（） 的所有可能取值为X0,1，21640()=95CP，164203()X，1
12、6420()=95CP的分布列为XX0 1 2P29359期望 123()095E（）如果选择 A，可以从 A 的亩产数据的中位数或平均值比 B 高等方面叙述理由如果选择 B，可以从 B 的亩产数据比 A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由（1 9） （ 本小题 14 分）解：（）因为 平面 ， 平面 ， 平面CDPAPADEPA所以 ， E又因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 所以 平面 E（）取 的中点 ，连结 ，则易知 ， ， AO,PB /OCBADOP因为 为等边三角形，所以 PDAD以 为原点，以 所在直线分别为 轴如图建系，、 、 xyz、 、13(,0)(,),(01),(2
13、,0)2AEFB，(,)(,)设平面 的法向量 ，则：AEF,nxyz，即 ，0n3021xy令 ，得平面 的一个法向量xAEF(2,13)n易知平面 的一个法向量为PD0OB7cos, 124nOB所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 AEFP7（）假设棱 上存在点 ，使得 平面 ，且CG /DAEF设 ，则 ，,0,1PC， ，则(,3)(,2)(,0)(1,23)P(,23)G3D要使得 平面 ，则 ，得 ， /GAEF60DGn45所以线段 上存在点 ，使得 平面 ， PC /AEFPCzyxOA BCDE FP（20）（本小题 14 分）（）由已知得， ， ，2cb228ac椭圆
14、 E的方程为 184xy离心率为 2cea（）在 轴存在定点 ， 为 使xM(0)，PMQ证明：设直线方程为 ykxm代入 得 ，化简得2184x22()822(1)480kxkm由 ，得 ， ，222()0k2202421mx设 ，则 ， ，则0(,)Py08kx20884kmkyx 84(,)kPm设 ，则 ，则14,Q14m(4,)Q01(2,)(,Mxy0012xy8)kk6(4)0km所以在 轴存在定点 使 x， MPQ解法二：由椭圆的对称性不妨设 与 0(,)xy(,)x得 得 2184xy280k切线方程为 ，令 得0()2xy4x， 200010 04(4)2xyy02()4,
15、yxQ所以， 00102()(2,)(,2() xMPQxyxy所以在 轴存在定点 使 x， MPQ（21）（本小题 13 分）（）由 ，得()21)lnfx1()2ln3fxx(0f，则切线方程为 .yx（）证法 1： ，1()2ln3,(0,)f令 ，,hxx，故 在 上单调递增. 2()()hx,)又 ，又 在 上连续，10,()ln40e(0,)使得 ，即 ，0(2x0hx()fx.（* ）01ln3随 的变化情况如下：(),fxx0(,)x00(,)x)f( 极小值 . min000()()21lnfxfxx由（*）式得 ，代入上式得03l. min0 000 13()()21)()
16、22fxfxxx令 ，3,t，故 在 上单调递减.221()()xx()tx1,2，又 ，.t1t即 . 0()fx()fx证法 2： ，()1)ln2ln1,(0,)fxxxx令 ，l,(0)ht，令 得 . ()n)x()hx1e随 x 的变化情况如下：,1(0,)e(,)e()hx 极小值 ，即 ，当且仅当 时取到等号.min12e2lnxe1xe，令 得 . ()tx()0t1随 x 的变化情况如下：,(,)(,)()t0x 极小值 ，即 ，当且仅当 时取到等号.min1tt1lnx1x.22l(l)e即 . )fx（22 ） （本小题 13 分）（）集合 不是，因为 ，即子集 与子集 元素之和相等；A12381,23,813集合 是，因为集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.B（）由集合 是“差异集合”知：P的 个非空子集元素和为互不相等的 个正整数，123,ka k于是 ，21ka所以 0 112()()(2) 0kk kDa（） ）不妨设 ，考虑13na 123()()()()42 naa31 na3211214 nDDaaa12 122113()()()2 n nnDa0而 ，所以1124 nn12 na当 时， ；,P 112n综上， 的最大值为 .12naa 1
