1、电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 1 页 2020-2-224 电介质中的电场1电位移矢量由高斯定理，得 PEP01整理得 ( 0E + P)= 定义电位移矢量： D =0E + P = 0(1+e)E = E其中， = 0(1+e)= r0， r = /0 =(1+e)2介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量 D、E 或位函数 的定解问题。例 1：同轴电缆其长度 L 远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为 a 和 b。其间充满介电常数为 的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源 U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度 E；(2)介质中 Em
2、ax 位于哪里？其值多大？解：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+ 和- 。由应用高斯定理，得 L2DdS即 e所以 (a 0 和-m n2 0 时 X(x)=A1nchmnx + A2nshmnx； Y(y)=B1ncosmny + B2nsinmny当 = -mn2 1 时的电场分布图。值得注意的是，此时 E1E0，这表明若电介质内部有细长的空气泡是，则气泡内的电场强度增强，可能导致击穿绝缘损坏。5唯一性定理本段将证明满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这也称作静电场的唯一性定理。如图所示为充满均匀介质和置有 n 个导体的场域。场域空间 V 的边界为S1，S 2
3、，S n 及外边界面 S0。设 V 中存在两个电位函数 1 和 2 ，对于给定第一类或第二类边界条件，均满足泊松方程，即， 12 2令 d = 1- 2，因此2 d = 0利用格林公式 SV dnV2令 = = d，代入上式得 SVdn2d如图所示，上式场域 V 的边界面 SS 0 + S1 + S2 + + Sn 。如果所设的这两个不同的电图 包围含有导体的场域电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 12 页 2020-2-2位函数的解答 1 和 2，在全部边界面上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条件，则它们在相应边界面 Si 上的差值 或 。代入上式，有0diS0diSn2V这说明，场域 V
4、 内 d 的梯度处处为零，即 V 内所有场点上的 d 值与其在各导体表面S1、S 2、S n 上的值是相同的。对于第一类边值问题，由于在导体表面上已知 d =0,所以整个场域内必有 d =0，由此得证 1 = 2，即解唯一。对于第二类边值问题而言，即已知各导体表面上的面电荷分布，此时 d = C，即电位 1 和 2 之间可能相差一个常数，但采用相同的电位参考点将导致 C=0，所以解仍是唯一的。静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。26 镜象法镜象法的实质是以一个或多个位于场
5、域边界外虚设的镜象(等效)电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程得以简化。根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变。通常这些等效电荷位于镜象位置，故称镜象电荷，由此构成的分析方法即称为镜象法。1对无限大接地导电平面的镜像点电荷情况：设有一点电荷 q 位于距无限大接地导电平面上方 h 处，其周围介质的介电常数为 ，如图所示。显然，电位函数在场域内满足如下边值问题2 = 0 (除去点电荷所在点)边界条件为 |y=0 = 0电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 13 页 202
6、0-2-2可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷 q 呈镜象对称的点电荷 q= -q，并将原来的导体场域由介电常数为 的介质所替换。这样，原场域边界面( z = 0)上的边界条件 = 0 保持不变，而对应的边值问题被简化为同一均匀介质 空间内两个点电荷的电场计算问题。根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域。应用镜像法，得待求电位为 22221 hz1hz14qr4qz ,无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为 20zzn hqED式中负号表示感应电荷与点电荷 q 的极性相反。对感应电荷作面积分，得hd2dS023上式表明镜象电荷 q确实等效了无限大接地导电平面上的全
7、部感应电荷。此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为的整数分之一的情况。如图所示夹角为/3 的导电劈可以引入 5 个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件。线电荷情况：图示线电荷 及其镜像电荷如图示。由高斯定理得 P 点的电场强度为21PP eeE002Dq- q- q- qqq=/3图 导电劈的镜象法(a) 无限大接地导电平面上的点电荷 (b) 点电荷的镜象图 点电荷对无限大接地导电平面的镜象电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 14 页 2020-2-2现任取 Q 点为电位参考点，则 P 点电位为 12022011000P C2dd2211 lnlnllnl
8、 QQ2Q设在无限大接地导电平面上，即 1 = 2 时， = 0，即电位参考点 Q 应选在接地导电平面上，所以 C = 0。由上式，场中任意点电位为 210120P ybxlnln由上式，可以进一步获得其等位线分布。按等位线定义有 2/1=K，平方得2221ybx整理，得 22211KyKx显然，上式为直角坐标系中圆的方程。所以在 xoy 平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆。对应于某一给定的 K 值，圆心坐标是，圆半径是 。对于每个等位圆0b1Kh2 , 12ba轨迹而言，圆半径 a、圆心到原点的距离 h 和线电荷至原点的距离 b 三者间关系为h2 = a2 + b2亦即， a2 = h
9、2 - b2 =(h + b)(h - b) 图 一对线电荷 ()的电场图 线电荷的镜象(a)线电荷对无限大接地平面 (b) 线电荷的镜象-+ oyP(x,y)介质 0导体xb1D D(-b,0)yP(x,y)0x+10(b,0)2e2 e1o电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 15 页 2020-2-2这表明，两线电荷( )位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关系。此外，当 P 点位于 y 轴右侧时，因 2/1=K1， P 皆为正值；当 P 点位于 y 轴左侧时，则 P 皆为负值。2对无限大介质平面的镜像点电荷情况：对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜象法。上下半无限空
10、间中的电场是由点电荷 q 及其分界面上的束缚电荷共同产生的。对于介质为 1 的上半空间的电场计算，其分界面上的束缚电荷可归结为在均匀介质 1 中镜像点电荷 q；对于介质为 2 的下半空间的电场计算，其分界面上的束缚电荷可归结为在均匀介质 2 中点电荷 q-q。镜象电荷 q和 q的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下。对于分界面上任意点 P，由其上的边界条件 E1t= E2t 和 D1n= D2n，得cos4cos4cos422121 rqrqrqiniin22 解得 qq2121 ,对于线电荷 与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。3电轴法两半径相同的圆柱导体电场：基于线电荷对无限大接地
11、导电平面的镜像分析，我(a) 无限大介质平面上的点电荷q2 en1D1hD2q(b) 上半空间电场计算的镜象E1E1tPrE1D1h(c)下半空间电场计算的镜象E222E2tPrqE2nD2h图 无限大介质平面镜像电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 16 页 2020-2-2们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题。此时，尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布(线密度 )是相同的，圆柱导体表面为等位面。若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如图所示。为表述方便
12、，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法。设圆柱导体半径为 a，间距为 2h，电轴间距为 2b。三者之间的关系为2ab例 1：半径为 a 的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为 h，对地电位为U0，如图所示。试求：(1)大地上方传输线的电场； (2)场域最大电场场强的位置及其数值。解：(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得 2ahb大地上方任意场点 P 处的电位为 210120 ybxlnln由传输线表面点 A 的电位 U0，得= )(lnahb2U0A )(lnahbU20大地上方任意场点 P 处的电位为AaU0ohx0D图 传输线的电场(a) 同半径两线输电线系统 (b)
13、电轴法图示yxa aho-+Dhb b图 电轴法xa ah hoy- +Dd电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 17 页 2020-2-2210ybxahbUln)(l(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点 A 处，有 bhabhU2xnE00ya0yahx lnmaxe两半径不同的圆柱导体电场：如图所示，设两平行长直圆柱导体半径分别为 a1 和 a2，对于图（a）其轴心距 d = h1 +h2，对于图（b）其轴心距为 d = h2 -h1(设 a2 a1)。可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。其关键问题仍然是确定等效电轴的位置。显然h12 = b2 + a12 ， h22 =
14、b2 + a22 , d= h2 h1已知 a1、a 2 和 d，联立求解上式三个方程得， ，d211da21221ab)(4对导体球的镜像导体球接地情况：如图所示，设导体球半径为 a，点电荷 q 至球心距为 d。设等效0P(x, y)y12Aox0D图 同半径圆柱体电轴法haahbb-+xdya2 a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2b b+ xya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示h2b b+图 半径不同圆柱导体的电轴法图 对接地导体球的镜像(a) 点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b) 镜象法图示r-qrbP电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 18 页 2020-
15、2-2导体球表面感应电荷的镜象电荷为-q 且 位于球内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为 b。在导体球表面上任取一点 P，得= 040Prq cos ab2drq2整理，得 q2(a2+b2)-q2(a2+d2)+2a(q2d- q2b)cos = 0上式对于任意的 值恒成立，故有 02222 ,解得 qdaba2 ,可以看出，点电荷 q 和其镜象电荷-q 的位置，满足球反演的几何关系。根据 q 及-q 即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布。可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于-q 。导体球不接地情况：此时如导体球原不带净电荷，即呈中性，为使导体球表面上等电位，除引入镜象电
16、荷-q 外 ，还应在原导体球的球心处再引入一个镜象电荷 q= q。同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。例 2：图示为半径为 a 的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的一端距球心为 d。求导体球壳上总的感应电荷。解：应用点电荷对接地导体球的镜像，有元电荷为 dt，元电荷的位置为 d+t；镜像元电荷为 dx=-a dt/(d+t)，镜像元电荷的位置为 x+ a2/d=a2/(d+t)。所以，导体球壳上总的感应电荷为 )ln(ln dL1dLatdxQL0daL02 Comment cx3: 第五次课结束作业：2-26，27，28
17、电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 19 页 2020-2-2图 线段电荷的镜像27 电容与部分电容电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，在是电网络中电容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现。一般而言，需要借助于电场分析来计算。1两导体的电容一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷q 计算其电场分布和其间电位差 U或给定两导体间电位差 U，通过计算其电场分布和其携带的电荷q，最后按定义计算电容 C = q/U。例 1：两半径为 a、轴心距为 d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容。解：应用电轴法，令 h=d/2。首先确定电轴位置 ，基于电轴法的分2ahb析
18、结果，两导体表面最近距离对应的点 A1(h-a, 0)和点 A2(-h+a, 0)的电位差为Uln021从而，均匀传输线的单位长度电容 ahbCl n0通常有 h a，此时 bh，故 d20ll此外，对于 h a的情况，也可以采用高斯定理计算。设均匀传输线单位长线电荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体 x处的电场强度为 )(d2E0x两导体间的电位差为 ada2dU000ax lnl)ln(l 显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同。电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 20 页 2020-2-2从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位
19、置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数。2部分电容对于多导体需要引入部分电容概念。静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体。现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统。令各导体按 0 - n 顺序编号，其相应的带电量分别为 q0，q 1，q k，q n。由定义，知q0 + q1 + + qk + + qn = 0选 0 号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为 nknnn kkkk nkqqqq 21
20、11211 写成矩阵形式，为=q式中，系数 ij 称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解 为 零， 其 余 导 体 ijqqiij0式中， ii 称为自有电位系数， ij(ij)称为互有电位函数。显然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常数有关。当给出各个导体的电位时，有前式，得q=-1=或 nknnn kkkk nkq 21 11211 电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 21 页 2020-2-2式中，系数 ij 称为感应系数，与电位系数之间的关系为 jiijA式中，是 行列式，A ji 是相应的代数余子式。 ii 称为自有感应系数， ij j(ij)称为互有感应系数，即
21、为 零， 其 余 导 体 接 地 ， 电 位0jiijq显然，感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数有关。为用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系 0nknk2n0n1n k0kkk n1k1k21011 CCqq 称上式中的系数 Cij 为导体系统的部分电容。对比两种表达形式，可知Cii =i1+i2+ii+inCij = - ij (ij)式中，C i0 称为导体 i 的自有部分电容，即各导体与参考导体(电位参考点导体)之间的部分电容；C ij 称为导体 i 和导体 j 互有部分电容，即相应的两个导体间的部分电容，显然，C
22、ij= Cji 。如图给出了三导体系统的部分电容。我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数 ij 或感应系数 ij 并按上述定义计算部分电容 Cij，也可以通过实验方法通过测量感应系数 ij 或直接测量部分电容的线性组合来计算部分电容。3静电屏蔽静电屏蔽在工程中有重要的用途，仅举一例来阐述其原理。设带电的电气设备以导体 1 表示，带电荷为 q1，且被置于接地导体薄壳 2 中，它们与邻近的导体 3 一起组成o1C20C10图 三导体系统的部分电容C122(0= 0)122=0= 0q1,112q3,3图 静电屏蔽示意图3电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 22 页 2020-2-2三导体系统，如图所
23、示。显然， 2 = 0 =0，有 30321313021CCq上式在任何情况下均应成立。设 q1= 0，即导体 1 不带电，此时导体 2 内部为等电位区，得 1 = 0。这样，第一式即为0 = - C13 3因 3 可以不等于零，由此可推得 C13 = 0。这表明因接地导体 2 包围导体 1 后，导体 1与导体 3 被互相隔离，而不存在两导体之间静电耦合作用。如果导体 1、3 均带电，则应有q1= (C10 + C12) 1q3= (C32 + C30) 3此式表明，因接地导体 2 的静电屏蔽，其内外形成两个相互独立的静电系统。28 电场能量1带电体系统中的电场能量设在建立带电系统电场的某一瞬
24、时，场中某一点的电位是 (r)，引入增量电荷 q需作功W =(r)q将转化为电场能量存贮在电场之中。由于静电场的能量仅取决于电荷的最终分布状态，与电荷怎样达到该状态的过程无关。因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长。充电开始时各处电荷密度都为零(相当于 m = 0)，充电结束时各处电荷密度都等于其最终值(相当于 m=1)。由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷密度的增量 = m(r)= (r)m， = m (r)= (r)m对 m 积分，得总电场能量为 S10V10e dS,rd,rW由于所有电荷按同一比例 m 增长，故电位 (m， r)= m(r)。上式
25、得电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 23 页 2020-2-2SVd21W e如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为 Sd21 e式中的积分面积 S 应为全部导体表面。由于每一导体表面都是等位面，而对于第 k 个导体，可有(k = 1，n)kSkS q21d21k 从而，得 nkqW1e22电场能量密度不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例。设两导体携带的电量分别为 q1 和 q2，其表面积对应为 s1 和 s2，如图所示。该系统的总电场能量为 21deSSW由于导体表面的电荷面密度为 = D en = - D en式中 en 为导体表面的外法线方向的单位矢
26、量；e n 为导体表面的内法线方向上的单位矢量。代入前式，得 21 d2eSSW在无限远处如图示作一个无限大的球面 S，则由于电荷分布在有限区域，无限远处的场强按 R-2及电位按 R-1趋于零。因此，该系统总的电场能量为 SSSSe dD21d21Dd212 应用高斯定理，上式改写为S1S2S图 电场能量enen q2enenq1V电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 24 页 2020-2-2VV V11WdDdDe 考虑到场域中没有自由电荷分布，故D = 0，又由 E = -，代入上式，最终得Vd21e由此可见，电场能量密度为we= (D E)/2对于各向同性的线性介质，D = E，代入上式，得
27、we= E2/2例 1：试计算半径为 a，带电量为 q 的孤立导体球所具有的电场能量。解：采用如下三种方法进行计算。（1）孤立导体球的电位为 = q/4a，于是得 aqW84212e（2）应用电场能量密度公式，积分得 a8qrdr4q21dVD21 2a2a2V Ee（3）由电容计算公式，电场能量 CqUqqWk 212121e 而该系统电容为 C=4 a，代入上式得 aC822e可见上述三种方法所得结果相同。29 电场力1库仑力电场力的计算原则上可应用电场强度的定义，即点电荷 q 受到的电场力为EFq电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 25 页 2020-2-2式中 E 是除电荷 q 外其余电荷
28、在该电荷所在处所产生的电场强度。综上所述，已知带电体的电荷分布，原则上可以上式计算带电体电荷之间电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据上式计算电场力是非常困难的。2虚位移法假设带电体发生一定的位移，利用位移过程中电场能量的变化与外力及电场力作功之间的关系来计算电场力。广义坐标：确定系统中各带电体形状、尺寸和位置的一组独立几何变量广义力：企图改变某一广义坐标的力。广义力乘上由它引起的广义坐标的增量应等于功。因此，分别与广义坐标如距离、面积、体积和角度等对应的广义力是机械力、表面张力、压强和转矩等。设一个由(n+1)个导体组成的系统，对导体依次编号并以 0 号导体为参考导体。假定除 p 号
29、导体外其余导体都不动，且 p 号导体也只在一个广义坐标 g 上发生所设想的位移(虚位移)dg，这时，该系统发生的功能转换过程如下：dW=dgWe+Fdg式中dW kq表示与导体系统连接的外电源提供的能量，等号右边两项分别表示电场能量的增量和电场力所作的功。有以下两类电场力计算方法。常电位系统：设各带电导体的电位保持不变，则 kegdq21d上式表明，与导体系统连接的外电源提供的能量，有一半作为电场储能的增量，另一半用于克服电场力作的功。因而 egeWddFq由此得广义力 常 量常 量 kkggeed常电荷系统：设各带电导体的电荷保持不变，也就是说所有带电导体都不与外电源连接。因而 dW= 0，
30、得0 = dgWe + Fdg电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 26 页 2020-2-2从而得 常 量常 量 kkqqggWFeed上式表明，电场力作功所需的能量来自于系统内电场能量的减少值。尽管上述两种电场力计算公式的形式不同，但所得结果是相同的。即 常 量常 量 kkqggFee例 1：设平行板电容器的极板面积为 S，板间距离为 h，忽略极板的边缘效应。试应用虚位移法计算平行板电容器两极板之间的作用力。解：分别对常电位系统和常电荷系统情况进行计算。对负极板作虚位移。（1）常电位系统：对于给定的极板间电压 U，两导体系统的电场能量为 22ehS1CW负极板受到的电场力为 2Ce hSUgFk
31、k 式中负号表示电场力的实际方向与假定正方向(即广义坐标 h 增加的方向)相反，所以xe2hSU（2）常电荷系统：对于给定的极板电荷 q，两导体极板电场能量为 S2CWeA BhdhUxF(假定正方向)(a) 常电位系统S+qA BhdhxF(假定正方向)(b) 常电荷系统-q图 平行电容器极板受力计算的虚位移法图示Comment cx4: 第六次课结束作业：2-30，34，35，36，37 ，38电磁场讲稿（2）-B崔 翔 第 27 页 2020-2-2负极板受到的电场力为 S2qgWFCke即 x2x2xx hSUUee)(不难看出，上述两种计算方法得到的计算结果相同。同理，正极板受力为。x2x2hSqeF
