1、2.2 离散型随机变量2.2.1 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量 如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量,第2章 随机变量及其分布,定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，xn，则称X取xi的概率PX = xi = pi，i = 1，2，为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数,X的分布律也可用如下的表格形式来表示：,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,显然分布律应具有如下性质： (1) 非负性：pi 0，i = 1，2， (2) 归一性： 上
2、述两条性质是分布律必须具有的性质，也是判别某个数列能否成为某个离散型随机变量的分布律的充要条件 根据分布函数的定义，易知离散型随机变量X的分布函数为： （ x ）,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,【补充例】设离散型随机变量X的分布律为 X -123 pi 1/41/21/4试求 ， ，并写出X的分布函数. 解：,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,X的分布函数为 的图形呈阶梯形右连续，如图所示，在X的可能取值-1，2，3处有跳跃点，其跃度分别为1/4，1/2，1/4,2.2.1 离散型随机变量及其分布律,2.2.2 几种常见的离散型随机变量的分布 1. 0-1分布 如果随机变量X只可能
3、取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布0-1分布的分布律也可写成,(其中 0p1),对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个样本点1、2，我们总能在上定义一个服从0-1分布的随机变量来描述这个随机试验的结果,2.2.2 常用离散型分布,实例1 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,2.2.2 常用离散型分布,实例2 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,2.2.2 常用离散型分布,0-1分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比
4、如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2. 二项分布 在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知道，若事件A在每次试验中发生的概率为P(A) = p，(0 p 0为参数， ，则称X服从泊松分布，记为X P(),2.2.2 常用离散型分布,【例】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率 解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知XP(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为至少有2个砂眼的概率为PX 2 = 1 PX 1 = 0.09,2.2.2 常用离散型分布,在二项分布B(
5、n，p)的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量定理2.1（泊松定理）设 0是一个常数，n是任意正整数，设np = （p与n有关），则对于任一非负整数k，有,2.2.2 常用离散型分布,定理的条件np = （常数）意味着当n很大时p必定很小因此，当n很大p很小，有下面近似计算公式 该公式说明，在对二项分布B(n，p)计算概率时，如果n很大p很小，可以由参数为 = np的泊松分布的概率值来近似,2.2.2 常用离散型分布,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux
6、(near Paris), France,Simon Poisson,泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！,下面给出一个利用泊松分布作近似计算的例子,2.2.2 常用离散型分布,【例】已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？ 解：设该单位患有这种疾病的人数为X，则有XB(5000，0.001)，则所求概率为取 = np = 5，用泊松分布近似计算并查附表1得,2.2.2 常用离散型分布,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等. 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的
7、次数近似地服从泊松分布.一定时期内出现的稀有事件个数，都以泊松分布为其概率模型另外，服务系统中对服务的呼叫数，大量产品的缺陷数，等等都以泊松分布为其概率模型因为上述例子本来就是n大p小的二项分布,2.2.2 常用离散型分布,为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01，在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,2.2.2 常用离散型分布,课堂练习,由泊松定理得,故有,2.2.2 常用离散型分布,解:,4. 超几何分布,一批产品中有N件，其中有M件次品，其余都是正品。现从中随机抽取n件产品，恰好取到k件次品的概率,
