1、二、关于数学史与数学教育,问题提出的背景：1、1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)，标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现（HPM的历史渊源、研究的目标和内容）；2、数学课程标准中，无论义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的论述。尤其是高中课标，要求在选修课中设立“数学史选讲”这一专题（义务教育课标，高中课标）； 3、首届全国数学史与数学教育大
2、会2005年5月在陕西西安西北大学成功举行，第二届会议于2007年5月在河北石家庄河北师范大学举行第三届会议于2009年5月在北京师范大学举行。（ 李文林 ，宋乃庆）,现象表征数学教育忽视了数学史和数学史家,数学课程（教材）编制缺少数学史家的参与指导数学课程的实施没有充分发挥数学史的教育功能数学教师队伍的培养没有把数学史课程落到实处数学教育研究没有良好的善待数学史的学术风气,原因探究观念弱化和功利强势挤压,偏见与误解一些从事纯粹数学研究的人认为数学史不是数学内容；一些从事数学教育研究的人认为数学史不是教育内容；不少数学教师认为，数学史不过是常识介绍，与提高分数毫无关系，讲它是浪费时间；学生也有
3、自己的理解，更多地认为数学史学也无用，但缺无妨。,数学教育研究也对数学史不感兴趣。 对数学史家的定位也必然产生误解。一些人认为数学史家是史家，是象牙塔里的数学考古，而不是数学家，也不懂数学教育。,成见与妥协教育评价标准在素质面前无能为力，却在分数面前得心应手。社会和家长看重的是升学率教师和学生瞄准的是考试分数赢得高分就是赢得教育的一切数学史课程在实施过程中也就形同虚设。高校考研蔚然成风，数学史不是考研科目，当教师能解题才是硬道理，站稳讲台不需要数学史。,策略设计让数学史和数学史家走到数学教育的前台,让数学史家参与新课程修订和教材编写数学课程的制定者必须明确数学课程所需的知识，科学地构建课程模型
4、或图谱。新课程理念下学生学习方式的改变对教材的质量提出更高的要求。 请数学史家到教学第一线调研并指导教学也是非常必要的。,应把数学史的史学形态转化为教育形态对数学教育而言，数学概念的形成、数学思想的来历、数学方法的应用、数学家的治学态度和科学精神是极富价值的素材，更富有教育意义。挖掘数学概念，思想，方法形成的主观因素。,数学教育科研应到数学史中寻求生长点数学史工作者为数学教育实践提供理论上的支持数学教育工作者在实践中认真的探索和思考数学教育方向研究生的招生培养积极导向数学教育学术刊物给予足够的关注和传播的机会,数学教师的培养应全程强化数学史课程高师院校数学系应把数学史作为选修课教师认真对待数学
5、史教学引导学生自觉学习数学史教师职后继续教育应重视数学史课程,价值的确立：数学史的核心价值是培养创新,通过数学起源与发展的学习，学生可以更好地认识数学、理解数学。数学史的教育价值有很多，比如培养学生学习数学的兴趣，接受数学文化的熏陶，开阔学生的视野，提高学生的数学素养等等，但其核心价值在于培养学生的创新意识和创新能力。数学史融入数学课程要处理好继承与创新的关系。,内容的选择：数学史的重点内容是数学思想方法,古代数学知识可以为现在学生的数学学习提供支撑。数学课程中应多多介绍数学形成和发展的故事，数学家的生平和贡献。更进一步，数学史更多地是数学思想方法的发展史，向学生介绍数学史应以介绍数学思想方法
6、为重点。在筛选数学史料时（尤其是针对高中阶段）要充分考虑这一点。在教学中，让学生自然而然地重演古人对某一问题的解决过程并体验其思想方法。,一些教材中的例子,西师版一年级教材 西师版五年级教材 北师大版七年级教材 人教版高中一年级教材,例说数学史在数学课堂教学的设计,案例一：高斯少年时做的数学问题 高斯（Gauss,1777-1855）被誉为数学王子，是数学史上的天才。相传高斯在少年时曾做过一道数学题：求：1+2+3+4+97+98+99+100=？,数学王子高斯（Gauss,1777-1855）,高斯精美的数学思维,1+100=2+99=3+98=4+97=5+96=50+51=1011015
7、0=5050高斯做这道题时所反映的精美的数学思维：（1）思维的变通性追求算法简单；（2）思维的直觉性数字内在和谐；（3）思维的概括性寻找普遍规律；精美的数学思维巧妙利用加法交换律和结合律，实现加法向乘法的转化。,如何让历史名题富于新意,没有哪位数学教师不向学生讲这个脍炙人口的数学小例。那么，我们在教学中曾做过怎样的思考？（1）它的数学内涵(数学知识、思想、方法)是什么?（2）它的文化教育价值（思维、兴趣、情感、审美）有哪些？（3）学生对这个问题都有哪些解决办法？（4）它是以故事形式呈现还是以问题形式呈现？,案例一教学设计,教学设计（1）：“做”中“悟”教学设计（2）：观察发现教学设计（3）：基
8、础+变式,案例一教学设计,教学设计（1）：“做”中“悟”教学设计（2）：观察发现教学设计（3）：基础+变式,教学设计（1）：“做”中“悟”,（1）分小组让其在课桌上分摞10摞硬币：（2）学生讨论、尝试：如何数硬币总数（3）适时启发：变5摞使其等高（4）提出问题： 1+2+3+8+9+10=？（5）分析数学思维方法与过程（6）问题引申：1+2+3+98+99+100=？（7）激发：少年高斯的算法我们都可以成为高斯！,教学设计（2）：观察发现,1、提出问题：1+2+3+ +98+99+100=？2、探究：你如何做？3、启发引导：列表观察方法,4、学生操作总结规律5、让学生自编问题,教学设计（3）：
9、基础+变式,1、求连续自然数的平均数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，102、平均数的表示：5.5=（1+10）23、利用平均数求和：（1+10）210= （1+10）5=554、提出问题：1+2+3+4+ +97+98+99+100=？5、学生归纳计算：（1+100）50=50506、变式训练：（1）1+3+5+ +95+97+99=？（2）2+4+6+ +88+90+92=？（3）依逻辑规律填数并求和： 1，2，4，6，7，10，10，14，13，？，？，？，？，？，？,案例二:中华九宫图中的数学,九宫图也称纵横图、河图洛书。公元前23世纪，大禹治水时，发现在洛水中浮现一个大乌龟，甲上
10、载有9种花点图案，9种花点数正好是1-9这9个数，各数的位置排列相当奇巧，纵横六线及两条对角线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。 九宫图是中华优秀的文化与数学遗产，不仅是进行爱国主义教育的良好素材，更是进行科学探究的极佳文本。,案例二:中华九宫图中的数学,二四为肩 ；六八为足；左三右七 ；戴九履一；五居中央,九宫图中的算理,1、按照图中数学规律，共有8组数字得15的情况：横3；纵3；对角22、中间方格数字参与4次运算；四个角方格数字参与3次运算；其余2次3、图形对称性：1个对称中心、4条对称轴、4组对称点4、数字对称性： 1）数字5在9个数
11、字中间；2）4奇数偶数；3）1+9=2+8=3+7=4+6=10；5、中间方格中的数：依图形对称性和数字对称性，一定是数字5；6、四个顶角方格中的数：依图形对称性和数字对称性，偶数必在四个顶角方格。如果奇数在四个顶角方格，那么与两个顶角方格在一行的数只能是偶数，奇数+奇数+偶数=偶数，则其和不符合15这个奇数要求。7、由此四个奇数在其余四个方格。,案例二教学设计,教学设计（1）： 初段教学设计（2）： 中段教学设计（3）： 高段,教学设计（1）： 初段,1、提供完整的九宫图，进行认读数、大小比较2、利用图中任意一个数说相邻数，诵乘法口诀3、利用图中任意两个数求它们和、差、积、商4、利用九宫图认
12、识正方形、长方形及其特征5、利用九宫图初步认识前、后、左、右位置关系6、根据九宫图探寻填数规律,教学设计（2）： 中段,1、可以用19、210之类的9个相邻的自然数玩填数游戏使横、竖、斜每一行的三个数之和都相等；2、可利用各数进行简单的四则运算；3、可利用各数写出(或读出)最大(或最小)的四(五、六、七等)位数并进行初步的排列、组合等；4、还可以利用九宫图认识面积单位等，并组织求相关正方形、长方形的周长和面积等。,教学设计（3）： 高段,1可以用任意9个相邻的数(能够形成等差数列)玩填数游戏，使横、竖、斜每一行的三个数之和都相等；2、可以利用九宫图中的任意一个数求倒数、判断某数是否是质数(或合
13、数)、以某一个数为分子或者分母说真分数或者假分数等；3、用图中的任意两个数可以组成分数(并转化为小数和百分数等)、写比(化简比或求比值)、或者判断一个数是否是另一个数的约数(或倍数)以及两个数是否是互质数、求最大公约数(或最小公倍数)；4、可以利用九宫图数出其中所有的正方形、长方形等；还可以利用九宫图认识和练习一笔画等。,“不愤不启，不悱不发”,“悱”是经过积极思考，想弄明白而还没有弄通的抑郁的心理状态，孔子认为在这样的条件下教师才去引导学生把问题弄通，即去“启”；“悱”是经过思考，想要表达而又表达不出来的困难境地，孔子建议在这样的条件下教师才去指导学生把想法表示出来，即去“发”,案例：探究平
14、均数、中位数、众数、极差的定义,教师先是给每个学习小组一张写有一组数据（5-8个不超过30的自然数）并标明该组数据的平均数、中位数、众数、极差各是什么的卡片，让学生自己通过制作图表、归纳、再用其他卡片（共8张）检验的办法，得出这几个量的定义。课一开始，教师用了约5分钟的时间与学生讨论什么是“发现”，怎样发现数学。然后要求各组学生做两件事：一是用方格纸画出每组数据，写下自己的发现；二是根据其他卡片上的数据传达的信息，修改完善自己的发现，写下这四个概念的定义或者有根据的推测。然后教师再次提醒学生寻找线索和模式。可是却出现了学生不知道要做什么的情况，学生不清楚既然卡片上已经写着这组数据的平均数、中位
15、数、众数、极差，为什么还不知道什么是平均数、中位数、众数、极差，而要他们给出猜想。于是教师不得不一个一个组去说明任务，影响了教学进度，每个组也因为在第一张卡片上花费了过多的时间，无法分析完所有的8张卡片，影响了归纳的准确性。（选自美国匹兹堡大学有一本用于师资培训的教学案例集 ）,学生在学习学生在学习用“十字相乘法”分解因式的时候，常常对怎样分常数项凑一次项感到困难，有一位教师就给学生先布置了这样两道习题：“（）内填哪些整数，便可以用十字相乘法分解因式？x2 + ( )x + 3; x2 + 3x + ( ). ”因为学生在每道习题中只需要先注意常数项和一次项中的一个，分别体会“分”和“凑”的含
16、义，所以化解了原先的困难，明白了“十字相乘法”的思想方法，其教学效果明显优于教师将“十字相乘法”再重复教一遍。,案例：“十字相乘法”分解因式的难点突破,范例赏析：车轮为什么做成圆的？,教学内容：圆的特性教师：车轮为什么做成圆的？学生：能滚动。教师：（画出正方形和长方形）看来大家说的是对的，不做成这里画出的形状，就是因为它们不能滚动那么，为什么不做成这种可以滚动的形状呢？（画“扁圆形”）学生：（感到问题的幽默感，活跃）滚起来不平稳。教师：为什么不平稳呢？学生：“ ”这就引发了具有生机的“愤悱”状态，同学们都知道问题所在，但却找不到恰当的语言表达。,HPM的历史渊源,追溯数学史与数学教育关系研究的
17、历史渊源，可以发现，西方数学家关注数学史对数学教育的意义始于19世纪，法国数学家泰尔凯(O.Terquem)、英国数学家德摩根(A.De Morgan)等人是其中重要的先驱者。1843年，泰尔凯创办了数学教育杂志新数学年刊；1855年，他又在该刊后增加附录数学历史、传记与文献通报，以大量的篇幅刊登数学史的文章，极大地激发了人们对数学史的研究兴趣。到了20世纪上叶，数学史的教育价值受到欧美数学家进一步的关注，如卡约黎(F.Cajori)、庞加莱(H.Poincar)、史密斯(D.E.Smith)等大力提倡数学史在数学教学中的运用。,HPM的历史渊源（续）,美国著名数学史家和数学教育家史密斯深信：
18、“为了将数学发展与人类发展联系起来，为了揭示数学是一条大河而不是一潭死水，为了强调数学的人文因素，一般的历史介绍是十分必要的。”另一位美国数学家和数学史家克莱因(M.Kline)也认为“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史：有许多理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南。”到了20世纪70年代，数学史对数学教育的价值在西方数学教育界达成共识：利用数学史可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，启发学生的人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁等等。,HPM研究的目标和内容,HPM研究的目标是通过数学
19、史的运用，提高数学教育的水平， 其关注的内容有数学史与学生的认知发展、多元文化的数学、数学原始文本在教学中的应用等等。,义务教育课标,全日制义务教育数学课程标准（实验稿）第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。比如第三学段在建议中具体指出：“介绍勾股定理的几个著名证法（如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。”,高中课标,普通高中数学课程标准（实验）把“体现数学的文化价值”作为一条课程的基本理念，同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题，比如
20、“中国周髀算经、勾股定理（赵爽的图）”,高中课标（续）,标准认为数学课程应介绍数学发展的历史、应用和趋势，以帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。 标准认为：通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。,数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，这也就是要发挥数学史的教育功能，使之成为一门可以“应用”的学问李文林,数学教育尚未真正发挥数学史的教育功能，也没有充分发挥数学史家的重要作用。 数学史的史学形态转化为教育形态。 宋乃庆,
