1、第 1 页数学归纳法练习题1.用数学归纳法证明：（1） 1427310n(3n1)n(n1) (nN *)。2（2） 1+3+9+3 )13(21nn(nN *)2.用数学归纳法证明下述不等式： ).2,(1093121 nNnn且3.试比较 2 与(n1) 的大小(nN *)，并用证明你的结论。n2第 2 页4. （1）用数学归纳法证明： )(53Nn能被 6 整除.（2）求证 n 3)2()1(n(nN *)能被 9 整除 .5. 数列 an满足 Sn2n an(nN *)第 3 页(1)计算 a1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式 an；(2)用数学归纳法证明(1) 中的猜想6
2、. 已知数列b n是等差数列， b1=1,b1+b2+b10=145.第 4 页(1)求数列b n的通项公式 bn;(2)设数列a n的通项 an=loga(1+ n1)(其中 a0 且 a1)，记 Sn是数列a n的前 n 项和，试比较 Sn与 3logabn+1 的大小，并证明你的结论.参考答案第 5 页1（1） 、证明(1)当 n=1 时,左边 =14=4,右边= 1(11) =4, 左边=右边，命题成立.2(2)假设当 )2(kn时,命题成立,即: 1427310k(3k1)k(k1) ,2则当 n=k+1 时, 1427310k(3k1)+(k+1)(3k+4) k(k1) +(k+
3、1)(3k+4)(k+1)(k +4k+4)=(k+1)(k+2) ,即 n=k+1 命题成立.22根据（1） （2）可知等式对任意的 nN *成立.（2） 、证明(1)当 n=1 时,左边 =1,右边= 21(31-1)=1, 左边=右边，命题成立 .(2)假设当 )2(kn时,命题成立,即:1+3+9+3 k-1= 21(3k-1),则当 n=k+1 时,1+3+9+3 k-1+3k= (3k-1)+3k= (3k+1-1),即 n=k+1 命题成立.根据（1） （2）可知等式对任意的 nN *成立.2.证明: （1） 当 n=2 时，左边 10965471543=右边，当 n=2 时，不
4、等式正确；2. 假设当 )2(k不等式正确，即 32kk ，则 当 1n时，左边 312131k )32( kkkk 109)()(1093109 ，当 n时不等式也正确；根据 2,知对任意的 Nn，且 2，不等式都正确.3.解：当 时， ； ；14,(1)249,(1)nn当 时 ，；2386,nn当 时 ， 652当 时 ，；52()当 时 ， 2,()n当 时 ，所以，2714,1n当 时 ，； 。2()n当 时 ， 26(1)n当 时 ， 猜 想 第 6 页下面用数学归纳法证明 成立。26(1)n当 时 ，（1）当 ，由前可知猜想成立；6n时（2）假设当 ,则当2()()kk时 猜 想
5、 成 立 ， 即 +1nk时 有 ，+122 2+1=4(4()6,)k kn=而 当 时 ， 所 以 所 以 ， 当 时 猜 想 成 立 。由上可知 成立。2()n当 时 ，4.证明：.1.当 1时，1 3+51=6 能被 6 整除，命题正确；2. 假设当 kn时命题正确，即 k53能被 6 整除，当 时， )5()5()13()1)( 323 kk6)1(3k，两个连续的整数的乘积 )(k是偶数， )(k能被 6 整除，)()5(3k能被 6 整除，即当 1n时命题也正确，由 2,1知命题时 Nn都正确.（2）.证明(1)当 n=1 时,1 3+(1+1)3+(1+2)3=36 能被 9
6、整除.(2)假设 n=k 时命题成立，即 :k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除,则当 k=n+1 时，(k+1) 3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被 9 整除由(1),(2)可知原命题成立.5. 解：(1)a 11， a2 ，a3 ，a4 ，32 74 158由此猜想 an (nN*)2n 12n 1(2)证明： 当 n1 时，a 11，猜想成立假设 nk(k1，且 kN*)时，猜想成立，即 ak ，那么 nk1(k 1，且 kN*)时，2k 12k 1ak 1 Sk1
7、Sk2(k1)a k1 2k a k2a ka k1 .第 7 页2ak1 2 ak，ak1 ，2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 12k这表明 nk1 时，猜想成立a n (nN*)2n 12n 16. (1)解：设数列b n的公差为 d,由题意得 31452)0(1dbb,b n=3n2(2)证明：由 bn=3n2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4)+loga(1+ 31n)=loga(1+1)(1+ 41)(1+ 3)而 31logabn+1=loga 3,于是，比较 Sn与 31logabn+1 的大小 比较(1+1)(1+ 41)(1+ 23n)与 的大小.取 n=1，有(1+1)= 33148取 n=2，有(1+1)(1+ 27)1推测：(1+1)(1+ 4)(1+ 3n) 31 (*)当 n=1 时，已验证( *)式成立.假设 n=k(k1)时( *)式成立，即 (1+1)(1+ 4)(1+ 23k) 31k则当 n=k+1 时， )(1(231(41k312333 222331)(4)(109)1()(4kkkk3)()21(k从 而,即当 n=k+1 时，( *)式成立第 8 页由知，( *)式对任意正整数 n 都成立.于是，当 a1 时，S n 31logabn+1 ,当 0a1 时，S n 31logabn+1
