1、广东省广州市 2012 届高三下学期一模调研交流数学（理）试题本试卷共 4 页，21 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟参考公式：锥体的体积公式 ShV31，其中 S 是锥体的底面积，办是锥体的高如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P(A)+P(B)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若全集 U=R，集合 A=x|l0，0）的最大值为 2，直线x=x1、x=x 2 是 y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x l-x2|的最小值为 (1)求 b， 的值；(2)若 3)(af，求 )465sin(a的
2、值17 （本小题满分 14 分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图 4） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1：2：3，其中第 2 小组的频数为 12。(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数，求 X 的分布列和数学期望。18 （本小题满分 14 分） 如图 5，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD是正方形，AA 1=2AB=2，E 是 DD1 上的一点(1)求证：A
3、CB 1D;(2)若 B1D平面 ACE，求三棱锥 A-CDE 的体积；(3)在(2)的条件下，求二面角 D-AE-C 的平面角的余弦值19 （本小题满分 12 分）设双曲线 C1 的渐近线为 xy3，焦点在 x 轴上且实轴长为 1若曲线 C2 上的点到双曲线 C1 的两个焦点的距离之和等于 2，并且曲线 C3： pyx(p0是常数）的焦点 F 在曲线 C2 上。(1)求满足条件的曲线 C2 和曲线 C3 的方程；(2)过点 F 的直线 l 交曲线 C3 于点 A、B（A 在 y 轴左侧） ，若 BFA31，求直线 l 的倾斜角。20 （本小题满分 14 分）a2、a 5 是方程 02712x
4、的两根，数列a n是递增的等差数列，数列b n的前 n 项和为 Sn，且 *)(21Nbnn(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)记 Cn =anbn，求数列c n的前 n 项和 Tn21（本小题满分 14 分）(注：本题第(2)(3)两问只需要解答一问，两问都答只计第(2)问得分）已知函数 f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数，且图像在点(e，f(g)处的切线斜率为 3（为自然对数的底数） (1)求实数 a、b 的值；(2)若 kZ，且 1)(xfk对任意 xl 恒成立，求 k 的最大值；(3)当 mnl（m，nZ）时，证明： mnm)()(理科数学参考答案一、选择题 CDAD A
5、CBB二、填空题 9e-e -1 lO.t(t2-3)-2k=0（3 分） ，-2（2 分） 11 6212.8 13 76 14. 7 15 43三、解答题（以下解答供参考，等价或有效解答都要相应给分）16解：(1) )2sin(12cossin)( xbxbxf 2 分，2T3 分，所以 =14 分，解 12b得 35 分， 因为 b0，所以 3b6 分(2) )sin()(xf7 分， 由 2)(af得 1)sin(8 分，)3(cos)32(i)465si( （或设 3，则 3223，从而 )2)465sin(10 分1)3(sin11 分，9712 分17解：(1)设报考飞行员的人数
6、为 n，前三小组的频率分别为 pl、p 2、p 3，则15)02.37.(22131p3 分，解得 75.01.324 分因为 n5.03 分，所以 n=486 分1、由(1)可得，一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为85)12.37.(p8 分，所以 )85,3(X9 分所以 3,210,)83(5)(kCkXpk11 分随机变量 X 的分布列为：13 分则 )8153:(81523512315270 EXEX或 14 分18证明与求解：（方法一）(1)连接 AC，则 ACBD1 分，因为 BB1面 ABCD，所以，BB 1AC2 分，因为 BBlBD=B，所以 AC平面 BB1D3 分
7、，所以 ACB 1D4 分。(2)连接 A1D，与(1)类似可知 A1DAE6 分，从而 2,1E7 分，所以 1223CDEV8 分(3)设 A1DAE=F，ACBD=O，B 1DOE=G，连接 FG，则 AEFG9 分， DFG 是二面角 D-AE-C 的平面角10 分，由等面积关系知 32OEDG11 分，52ADFl2 分，由(2)知 65sin,2DFGDGF13 分，6cos14 分。（方法二）以 D 为原点，DA、DC、DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系1 分。(1)依题意，D(O，O，O)，A(l，O，0)，C(O，l，O)，B1(l，l，2)3
8、 分，所以 )2,1(),0(BAC4 分，所以 DACL11. 5 分。(2)设 E（O，0，a） ，则 ),0(aE6 分，因为 B1D平面 ACE，AE平面 ACE，所以 B1DAE7 分，所以 01AEDB，所以-1+2a=0，21a8 分，所以 223CDEAV9 分(3)平面 ADE 的一个法向量为 )0,1(1n10 分，平面 ACE 的一个法向量为),1(DB12 分， 由图知，二面角 D-AE-C 的平面角的余弦值为6|.|cos1n14 分。19解：(1)双曲线 Cl 满足： .12,3ab1 分， 解得 23,11ba2 分则 121ba，于是曲线 C1 的焦点 F1(-
9、1，O)、F 2(1，0)3 分，曲线 C2 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆，设其方程为 )0(22bayx4 分，解 .,2ba得 .,2a，即 12:5 分，依题意，曲线 )0(:3pyx的焦点为 F(O，1)6 分，于是 12p，所以 p=2，曲线 yxC4:237 分(2)由条件可设直线，的方程为 y=kx+l(k0)8 分，由 .1,4kxy得 ,0)1(6,022 kk由求根公式得： ,22x9 分，由 FBA3得 21x10 分，于是 12)1(32kk，解得12k11 分，由图知 k0， k，直线 l 的倾斜角为 6l2 分20解：(1)解 x2-12x+27=0 得 x1=
10、3,x2=9，因为a n是递增，所以 a2=3，a 5=92 分，解 394125da3 分，得 21da，所以 an=2n-14 分在 nnbT中，令 n=l 得 3,11b5 分，当 n2 时， ,2,211nnnT两式相减得 nnb216 分,31nbbn是等比数列7 分，所以 nnb3)(118 分(2) nnac249 分 nnnT 324)1(43312 10 分12210 )(4 nnn 11 分两式相减得： nnnT3432121 13 分n4，所以 nnT214 分21 解：(1)f(x)是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，即a(-x)+(-x)ln|-x+b|=-(ax
11、+xln|x+b|)2 分，所以 ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=03 分，此时 f(x)=ax+xln|x|，f(x)=a+l+ln|x|4 分，依题意 f(e)=a+2=3，所以 a=15 分(2)当 xl 时，设 1ln)(xfxg，则 2/)1(ln)xg6 分设 h(x)=x-2-lnx,则 0)(/h，h(x)在(1，+)上是增函数8 分因为 h(3)=l-ln30，所以 xo(3, 4)，使 h(xo)=010 分，x(1, xo)时，h(x)mlnm+mnlnn6 分，即 n(1-m)lnnm(l-n)lnm， 1inl8 分，设 1ln)(x，x19 分，则 2/)(l)x10 分设 g(x)=x-l-lnx,则 01)(/xg11 分，g(x)在(1，+ 0)上为增函数12 分，1x， g(x) g(l)=l-l-lnl=0，从而 (x)O， (x)在(1，+ o)上为增函数l3 分，因为 mnl，所以 （n） （m） ， 1lnlm，所以 mnm)()(14 分
