1、1数列专题一、 证明等差等比数列1等差数列的证明方法：（1）.定义法： (常数) （2）.等差中项法：1nad12()na2等比数列的证明方法：（1）.定义法： (常数) 1naq（2）.等比中项法： 21()nnaA例 1.设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知S77， S1575， Tn为数列 的前 n 项和，求 Tn解：设等差数列 an的公差为 d，则Sn=na1 n（ n1） d S77， S1575，2 即,50571a,5131a解得 a12， d1 a1 （ n1） d2 （ n1） nS ，1nS数列 是等差数列，其首项为2，公差为 ，21 Tn n2 n4
2、19例 2设数列 an的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式：3tSn（2 t+3） Sn1 =3t（ t0， n=2，3，4，）求证：数列 an是等比数列；2解：（1）由 a1=S1=1， S2=1+a2，得 a2= tt32,312又 3tSn（2 t+3） Sn1 =3t 3tSn1 （2 t+3） Sn2 =3t 得 3tan（2 t+3） an1 =0 ， （ n=2，3，）tan1所以 an是一个首项为 1，公比为 的等比数列.t32练习：(2006 年山东卷）已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列l
3、g(1+ an)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；答案.(2) , ;2n13二通项的求法（1）.利用等差等比的通项公式(2).累加法： 1()naf例 3已知数列 满足 ， ，求 。21nan21na解：由条件知： 1)(1 nan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n)()( 13412 aaa)1() n所以 nn1，2a23（3）.构造等差或等比 或1nnapq1()nnapf例 4 （2006 年福建卷）已知数列 满足*1,2).naN3求数列 的通项公式；na解： *12(),N1nn是以 为首项，2
4、为公比的等比数列。.na即 2*1().N例 5已知数列 中， , ，求 。na111()2nnana解：在 两边乘以 得：1()2n1(2)1令 ，则 ,解之得：b1nbnb所以 na练习. 已知数列 满足 ，且 。an ）（ 2n1a2n81a4（1）求 ；321，（2）求数列 的通项公式。an解： （1） 3a152，（2） n1nnnn 2)(a2a12n )1(an（4）利用 1(2)nSnn例 6若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意正整数nSTnanb， .求数列2()a34nS的通项公式；n4解： 222(1)4231anadSn 2435TSnnn分 当 ,358Tb时
5、当 4 分2, 6262.1nnbnn时练习：1. 已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解: 10 Sn=an2+5an+6， 10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 10Sn1 =an1 2+5an1 +6(n2)， 由得 10 an=(an2 an1 2)+6(an an1 )，即( an+an1 )(an an1 5)=0 an+an1 0 ， an an1 =5
6、 (n2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a1=3 时， a3=13， a15=73 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a1， a3， a15不成等比数列 a13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 （2006 年全国卷 I）设数列 的前 项的和n，142nnS,A（）求首项 与通项 ；1an（）设 ， ，证明：nTS,23A132niT解：（I）2114a，解得： 1a133nnnSa 1242nna所以数列 2是公比为 4 的等比
7、数列所以： 1nna得： 4 （其中 n 为正整数）（II） 1 1122423333nnnnnS 112nn nnT 5所以： 1113322ni nT（5）累积法 转化为 ，逐商相乘.nnaf)(1 )(1nfan例 7已知数列 满足 ， ，求 。n321nn1na解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式1an )1(, )1(n累乘之，即 13421na n432an1又 ，a练习：1.已知 ， ，求 。1nna231)(n解： 123)(2)(3 aan 。47563181n2 （2004，全国 I,理）已知数列 an，满足 a1=1，(n2)，则 an的通项 1321 )(naa
8、 1_n2解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得nna 1321 )当 时， ，即 ，又 ，2nna1 nn(12a，将以上 n 个式子相乘，得aan13421, 2!n)(（6）倒数变形： ,两边取倒数后换元转化为 。1nnapq qpann16例 8：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an解：取倒数： 113nnna是等差数列，na13)(1n 3)(21na练习：已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n1N （ ， ） 求数列a n的通项公式；解：将条件变为：1 ，因此1 为一个等比数列，其首nan3a（ ） na项为1 ，公比 ，从而 1 ，据此得 an （n1
9、）a3na3三数列求和1、等差数列求和公式： dSnn 2)(2)(112、等比数列求和公式： )1()(11 qaqannn3、错位相减法求和 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列. 12nnSabab例 9 求和： 32)2(7531xxS解：由题可知，设 1nn（设制错位）nn xxxx )1(432得 nnn xxS )12(22)1( 143 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：7。nnn xxSx)12(12)1( 2)(nnn 练习： 求数列 前 n 项的和.,64,23n解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项n21之积设 nnS26243 得14
10、1132)( nn 12n 1nS4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 10求证： nn CC2)12(53210 证明： 设 nS把式右边倒转过来得 0113)()( nnnn CS 又由 可得： . mnC nnn C1021+得： nnCS 2)()(2 n)1(5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，8可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 11 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：
11、设 )()()()11S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()1(2 naann当 a1 时， （分组求和）)3S(当 时， 2)1(1nann2)13(1nan6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1） 为等差数列，na11nnaadA（2） n1例 12 求数列 的前 n 项和.,1,32,1n解：设 ，则 nan 11321nSn)()()2( 例 13 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的121nan 12nnab前 n 项的和.9解： 2
12、121nnan 数列b n的前 n 项和：)(82bn )1()43()1()(8 Sn )1(88n练习：1 （理）已知数列 的前 项和为 ，且满足 。nanS2nSa（1）求数列 的通项公式；（2）(理)若 ，且 ，数列 的前 项和为 ，求nnab2log21nbcncnTlimn（文）若 ，且 ，数列 的前 项和为 ，求证nn2l 2nnnTn3/4解：（1）数列 的前 项和为 ，且满足nanS1nSa则 （ ）121nS2相减得： （ ） nna11n2又当 n=1 时， ， ， 212 是以 为首项，公比 的等比数列na1 q（ ）n2*N（2） nnab2lognbn2log)1(
13、)(112 cnnncT.1 )21(.)42()3(2n10= )2121(n43limli Tnn2已知数列 ：a ， 1021012求证数列 为等差数列，并求它的公差n设 ，求 的和。Nabn1nbb21解：由条件，2121 nn ；21na 21 na故 为等差数列，公差n d 21442121nnb又知 n 214bn 214 214321nn 2lim21 bbn3已知点列 在直线 l：y = 2x + 1 上，P 1 为直线 l 与 y 轴的交点，等差数列a n的),(aP公差为 .*N（）求a n、b n的通项公式；（） （理）若数列 满足： （C 2 + C3 + +Cn） ；CnnmClim),2(11求（文）求 C1+C2+Cn解： 在直线 l:y=2x+1，),(nbaP11b n=2an+1P 1 为直线 l 与 y 轴交点，P 1=（0，1）a 1=0 又数列 的公差为 1na n=n1（nN*） *)(2Nnbn（）P 1=（0，1） ，P n（a n,bn） )1(5)2()1()(| 222 nn 5|1 nCnn )1(5)1321(32 nn 5)(lim32nnC
