1、第6节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第八章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为
2、,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：习题8-6 题1，题3.,题1. 题3.,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B
3、y+D = 0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,机动 目录 上页 下页 返回 结束, By+C z = 0 表示经过x轴的平面；, A x+C z = 0 表示经过y轴的平面；, A x+By = 0 表示经过z轴的平面；, C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;, A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面;, B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,
4、得所求平面方程,(自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题8.6 题8 (1)(3),三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,例4. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,外一点,求,例5. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点
5、,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业:习题8-6,题2,题6,题8(2),一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节空间直线及
6、其方程,第八章,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 参数式方程,设,得参数式方程 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：习题8-7 题1，题2,4,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平
8、面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式 , 得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：习题8-7题 3.题7.题9 自测题8,
