1、1北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试数学试题（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。第卷 （选择题， 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设全集 U=R，集合 , ，则集合 A CUB= （ 02|xA1|xb）A B10|x|C D2| 1|x2下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A B C Dxeyxysin3xyxy21log3右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A6B8C16D244若向量 ， 满足
2、 ，且 +ab1|ab = ，则向量 ， 的夹角为（ ）23A30 B 45C60 D 9025关于直线 ， 及平面 ，下列命题中正确的是 （ lm）A若 l， =m，则 lmB若 ，m，则 mC若 l，l，则 D若 l，ml，则 m6执行右图所示的程序，输出的结果为 48，对判断框中应填入的条件为 （ ）A 4iB C 6D i7已知 ，设 ， ， ，则 （ 10babx1logbya1logzzl）A Bzxy xC D zy8若椭圆或双曲线上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点” ，下列曲线中存在“F 点”的是 （ ）A B1562yx
3、245yxC D2 1第卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9设 是虚数单位，则 。i 31i10 的展开式中的常数项为 。52)3(x11若直线 与圆 相切，则 。0y012axya12在ABC 中， ， ， 分别是三个内角 A，B ，C 的对边，若 ， ，abc 12b3，则 。31cosBAsin413将编号为 1、2、3 的三个小球，放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有 种；如果 4 号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有 种。14无穷等差数列 的各项均为整数，首项为 、公差
4、为 ， 是其前 项和，na1adnS3、21、15 是其中的三项，给出下列命题；对任意满足条件的 ，存在 ，使得 99 一定是数列 中的一项；d1an对任意满足条件的 ，存在 ，使得 30 一定是数列 中的一项；a存在满足条件的数列 ，使得对任意的 N ， 成立。n*nS42其中正确命题为 。 （写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15 （本小题满分 13 分）已知函数 .12cos3)sin(co) xxxf（1）求 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求 在区间 上的最大值和最小值。)(xf2,0516 （本
5、小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M、N 分别为 PA、BC 的中点，PD平面 ABCD，且 PD=AD= ，CD=12（1）证明：MN平面 PCD；（2）证明：MCBD ；（3）求二面角 APBD 的余弦值。17 （本小题满分 13 分）已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ，na)(*2NnSnb1ab432b（1）求数列 ， 的通项公式；n（2）求数列 的前 项和。a618 （本小题满分 13 分）设 ，函数 .0a xaxf ln)1(2)(（1）若曲线 在 处切线的斜率为-1，求 的值；y,f a（2）求函数 的极值点)(xf1
6、9 （本小题满分 14 分）已知抛物线 ，直线 与 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点。xyC4:2bkxyl:（1）当 ，且直线 过抛物线 C 的焦点时，求 的值；kl |（2）当直线 OA，OB 的倾斜角之和为 45时，求 ， 之间满足的关系式，并证明直线 过定点。l720 （本小题满分 14 分）已知曲线 ，过 C 上一点 作斜率 的直线，交曲线 于另一点1:xy),(1yxA1kC，再过 作斜率为 的直线，交曲线 C 于另一点 ，),(2A),(22 ),(3yxA，过 作斜率为 的直线，交曲线 C 于另一点 ，其中nyxnk ,(11nn，1)(41*2Nxknn（1）求 与 的
7、关系式；1nx（2）判断 与 2 的大小关系，并证明你的结论；（3）求证： .2|.|21 nxx8参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C B C C A D D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9 10 112 12i21 321324，10 14三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分标准给分。 ）15 （本小题满分 13 分）解：（1） 2 分xxxf 2cos3sin2)(4 分co3sin6 分)(2x所以，函数 的最小正周期为
8、 ， 7 分f由 ， ，得 ， ，23kxZ12kxZ所以，函数 图象的对称轴方程为 ， ， 9 分)(f k（2）因为 ，所以 10 分,0x34,x所以 2 11 分3)3sin(2所以， 在区间 上的最大值为 2，最小值为 13 分)xf, 316 （本小题满分 13 分）解：（1）证明：取 AD 中点 E，连接 ME，NE，由已知 M，N 分别是 PA，BC 的中点，MEPD，NECD又 ME，NE 平面 MNE，ME NE=E，所以，平面 MNE平面 PCD， 2 分所以，MN平面 PCD 3 分9（2）证明：因为 PD平面 ABCD，所以 PDDA，PD DC ，在矩形 ABCD
9、中，ADDC，如图，以 D 为坐标原点，射线 DA，DC，DP 分别为轴、 轴、 轴xyz正半轴建立空间直角坐标系 4 分则 D（0，0，0） ，A（ ，0，0） ，2B（ ，1，0） （0，1，0） ，2CP（0，0， ） 6 分所以 （ ，0， ） ， ， 7 分M2)0,12(BD)2,1(MC =0，所以 MCBD 8 分CB（3）解：因为 MEPD，所以 ME平面 ABCD，MEBD，又 BDMC，所以 BD平面 MCE,所以 CEBD，又 CEPD，所以 CE平面 PBD， 9 分由已知 ，所以平面 PBD 的法向量 10 分)0,2(E )0,12(ECM 为等腰直角三角形 PA
10、D 斜边中点，所以 DMPA，又 CD平面 PAD，ABCD，所以 AB平面 PAD，ABDM，所以 DM平面 PAB， 11 分所以平面 PAB 的法向量 （- ，0， ） 12 分MD2设二面角 APBD 的平面角为 ，则 .6|cosEC所以，二面角 APBD 的余弦值为 . 13 分17 （本小题满分 13 分）解：（1）由已知 ，得 1 分2nS11Sa10当 2 时， 3 分n 12)(21nnSan所以 5 分)(*N由已知， 1b设等比数列 的公比为 ，由 得 ，所以 7 分nq432b32q2所以 8 分12（2）设数列 的前 项和为 ，nbanT则 ，122)(.531nn
11、T，3两式相减得 10 分nnn 2)1(.212 n)1().2(1111 分nn()4112 分3(所以 13 分2)nnT18 （本小题满分 13 分）解：（1）由已知 2 分0x4 分axf)1()(曲线 在 处切线的斜率为-1，所以 5 分fy2(,f 1)2(f即 ，所以 6 分)(2a4a（2） 8 分xaxaxxf )(1)1()1()(2 当 时，0a11当 时， ，函数 单调递增；),0(ax0)(xf)(xf当 时， ，函数 单调递减；1当 时， ，函数 单调递增。),(x)(xf)(xf此时 是 的极大值点， 是 的极小值点 10 分a1当 时，1当 时， 0，),0(
12、x)(xf当 时， ，当 时，),1()(xf所以函数 在定义域内单调递增，此时 没有极值点 11 分)(xf当 时，a当 时， ，函数 单调递增；)1,0(x0)(xf)(f当 时， ，函数 单调递减；x当 时， ，函数 单调递增),(ax)(xf)(f此时 是 的极大值点，1是 的极小值点 13 分x)(f综上，当 时， 是 的极大值点， 是 的极小值点；0aax)(f1x)(f当 时， 没有极值点；1)(f当 时， 是 的极大值点， 是 的极小值点xfx)(f19 （本小题满分 14 分）解：（1）抛物线 的焦点为（1，0） 2 分xyC4:2由已知 = ，设 ， ，l:x),(A),(
13、2yB12联立 ，消 得 ，142xyy0162x所以 ， 4 分622 21211 )()()(| xyxAB8422（2）联立 ，消 得 （*） （依题意 0）bkxy04byk k， ， 8 分42121设直线 OA，OB 的倾斜角分别为 ，斜率分别为 ， ，则 +=45，1k2， 9 分045tan)tan(121k其中 ， ，代入上式整理得 )(416212yy11 分11yxk2所以 ，即 ， 12 分b644kb此时，使（*）式有解的 ， 有无数组直线 的方程为 ，整理得lxy 4)(yx消去 ，即 时 恒成立，04x4k所以直线 过定点（-4，4） 14 分l20 （本小题满分
14、 14 分）解：（1）由已知过 斜率为 的直线为),(nyxAnx412，nyn412)(n13直线交曲线 C 于另一点 ),(11nnyxA所以 = 2 分ny1n421n即 ， 0，nx1nx2)(1nnx1所以 4 分)(4*Nn（2）解：当 为奇数时， ；当 n 为偶数时， 5 分2nx2nx因为 ， 6 分114nnnx注意到 ，所以 与 异号02x由于 ，所以 ，以此类推，1x当 时， ；)(2*Nknnx当 时， 8 分2（3）由于 ， ，0nx1341nnxx所以 1（ ，） 9 分n3,2所以 10 分1|2|1nnnxx |2|nx所以 12 分|n|1|2 112|nnx所以 |.|2|1 nxx2)(.)(14 分)(n
