1、有 限 域Finte Fields,四院五教 谭林,课程介绍 一门理论完善, 应用广泛的数学课 一门密码学专业必修的基础课预修课程 高等代数、初等数论、近世代数学习目标 理解有限域的基本概念和基本理论，运用有限域工具分析和解决特定问题，为专业学习打好基础。学习要求 逻辑思维、想象力,2,学习安排 讲授、讨论、实验、辅导考核方式 平时成绩（30%）：学习表现、作业、实验报告 期末考试（70%）参考教材 Rudolf Lidl and Harald Niederreiter Finite Fields1983, 1997. Introduction to Finite Fields and The
2、ir Applications1986, 1994.,3,第一章 代 数 基 础,4,二元运算（Binary operation）设 S 是非空集合，则 S S 到 S 的映射称为集合 S 上的（二元）运算 (Operation)。运算封闭常用的运算： ab, a + b, a b,5,Algebraic System,代数系统（Algebraic system）非空集合 S 以及定义在 S 上的一个或多个运算称为一个代数系统。Abstract algebra investigates properties of operations and their consequences while
3、neglecting the actual nature of the objects that these operations are performed on.,6,Algebraic System,群（Group）一个集合 一种运算 三条性质：结合率：a(bc) (ab)c 单位元：存在 e G 使得对任意的 a G 有aeeaa逆元：对任意的a G , 存在 b G 满足abbae 注:有没有不满足结合率的运算? 逆元是否一定存在?,7,Group,群的简单性质单位元唯一逆元唯一消去律成立：即对 a,b,cG, 若 abac, 则 bc; 若baca, 则bc.,8,Group,交换
4、群（Commutative group）设 G 是群，若对任意的 a, bG 有ab=ba，则 G 称为交换群 (阿贝尔群); 否则, 称为非交换群。,9,Group,群（Group）设 G 是群, 则 G 中元素的个数称为群的阶（order）, 记作 |G|。若 |G| 是有限的, 则称为有限群; 否则, 称为无限群。,10,Group,乘法群与加法群,11,Group,例子设G = 1,2,3,4,5,6,7, 对任意的a, bG, 令a b为a乘以b除以8的余数，即a b = (ab mod 8)，问G是群吗？设G = 1,2,3,4,5,6, 对任意的a, bG, 令a b为a乘以b除
5、以7的余数，即a b = (ab mod 7)，问G是群吗？整数 Z, e, Z/(6) ?,12,Group,子群（Subgroup）设H是群 G 的非空子集, 若在G的运算下,H构成群, 则称H是G的一个子群.平凡子群、非平凡子群设G是有限群,H是群G的子群, 则 |H| 是 |G| 的因子。设G交换群, 集合 S 生成的G 的子群 S akbm , a, b S有限生成群,13,Group,循环群(cyclic group)由一个元素生成的群称为循环群.a= an | nZ.若a是有限群, 则a的阶也称为元素 a 的阶, 记为ord(a).若 a 的阶为k, 则am = e当且仅当k |
6、 m.,14,Group,问题 设G = 是阶为m的循环群.若 H 是 G 的子群, 问H是循环群吗?元素 ak 的阶为多少?设 n 整除 m, 是否存在n阶子群?设 n 整除 m, G 中有两个子群阶等于 n 吗?思考题: 有限群一定是循环群吗？,15,Group,循环群(cyclic group)定理 设 H 是加法群 Z 的子群, 则 H 是循环群. 进一步, H = 或H = , 其中 m 是 H 中的最小正整数.,16,Group,关系 S S 的一个子集 R 确定集合 S 的一个关系等价关系 反身性 对称性 传递性等价类，代表元同余，Zn,17,模子群的同余关系设H是群G的子群,
7、RH = (a, b) | ab1H 是G上的一个等价关系。a,bG, 若a RH b, 则称a模H同余b, 记为a b mod H 。设aG, 在模H同余下, a的等价类为集合 aH = ah | h H , aH 也称为 H 在 G 中的一个陪集。,18,Group,模子群的同余关系|aH| |Ha| |H| 正规子群 H：对任意 aG, 有 aH Ha. 记 G/H 是全体等价类构成的集合, 则 G/H 以及 G/H 上的运算 ab = ab 构成群, 称为 G 模 H 的商群。,19,Group,群同态（homomorphism of groups）设 G 和 H 是两个群, f: G
8、H 是群之间的一个映射. 若对任意的 a,bG, 有f(ab)f(a)f(b), 其中 表示G上的运算, 表示H上的运算, 则称 f 是G 到H 的一个群同态.单同态(monomorphism )、满同态（ epimorphism ）、同构（ isomorphism ）（G H）,20,Group,群同态（homomorphism of groups）f(1G)1Hf(a1)(f(a)1KerfaG|f (a)1H 是群 G 的正规子群 f 是单同态当且仅当 Ker f = 1GIm fbH|存在a G满足b = f(a) 是 H 的子群,21,Group,群同态（homomorphism of groups）若N是G的正规子群, 则: G G/N (a) = aN) 是满同态且 ker N.设 f: GH 是群同态, 则 f 诱导出群同构G/kerfImf.,22,Group,定 理 每个无限循环群同构于加法群 Z; 每个阶等于m 的有限循环群同构于加法群 Z/(m).,23,Group,
