1、21 EMC-11yxODBCA二次函数与四边形【精选例题】平谷一模24如图，抛物线 y x2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且12A(1，0) （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；）（2）判断 的形状，证明你的结论；BC（3）点 是 x 轴上的一个动点，当 MCMD 的值最小时，求 m 的值(0)Mm，24 （本题 7 分）解：（1） 点 在抛物线 上，1A， 21yxb， 2()()0b3抛物线的解析式为 2 分2yx，222131135(34)8yxx顶点 的坐标为 3 分D58，（2）当 时， ， 0x2y(0)2CO， ，当 时， ， ，y13x1
2、x， 4 分24x()B， ， OA5A， ，522CO 220COB， 是直角三角22BB形.5 分（3）作出点 关于 轴的对称点 ，则 ，x(02)C， 2连接 交 轴于点 ，CDM根据轴对称性及两点之间线段最短可知， 的值最D小.6 分解法一：设抛物线的对称轴交 轴于点 xEA BCDxyO 11轴， ， EDy OCMEDCOEM .7 分2358m41解法二：设直线 的解析式为 ，CDykxn则 ，解得 ， 2358nk2n41412yx当 时， ， 0y410x 7 分2m房山二模24如图，已知抛物线经过点 B(-2,3)、原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴与 x轴交于点
3、 C（2，0） ，（1）求此抛物线的函数关系式；（2）联结 CB, 在抛物线的对称轴上找一点 E,使得 CB=CE,求点 E 的坐标；（3）在(2)的条件下, 联结 BE,设 BE 的中点为 G,在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 PBG 的周长最小？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 24. 解：（1）抛物线的解析式为： 214yx -2 分（2） 1(,5)E， 2(,) -4 分（3）存在. 当 1(,)时， 1(0,4)G，设点 B 关于直线 x=2 的对称点为 D，其坐标为（6，3） -5 分直线 1D的解析式为： 6yx， 1P（2， ） -6 分当 2(,5)E
4、时， 2(0,1),直线 D的解析式为： 213yx 2P（2， 3） x B O C Ay-7 分综合 、 存在这样的点 P，使得PBG 的周长最小，且点 P 的坐标为 （2， 13）或（2，13） -8 分延庆一模25. 在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为 x=2,且经过 B（0，4） ，cbxay2C（5，9） ，直线 BC 与 x 轴交于点 A.（1）求出直线 BC 及抛物线的解析式.（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点 M、N，且 MN=2 ，点 M在点 N 的上方，使得四边形 BDNM 的周长最小，若存在，求出 M 、N 两点的坐标，若不存在，请说明理由
5、.（3）现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交于另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 BC 距离为 32的点 P25.解： （1）设 BC 直线解析式：y=kx+b根据题意得： 解得bk59414k直线 BC 的解析式为： yx1 分抛物线的对称轴为 x=2设抛物线的解析式为 ，ta2)(根据题意得解得：ta2)5(90401taD1G2y抛物线的解析式为 2 分42xy（2）若四边形 BDNM 的周长最短，求出 BM+DN 最短即可 点 D 抛物线上， D（1，1 ） D 点关于直线 x=2 的对称点是 )1,3(DB（0，4）将 B 点向下平移 2 个单位得到 （0，2）3 分1B
6、直线 交直线 x=2 于点 N ,1直线 的解析式为： 4 分D3xyN )34,2(MN=2 M 5 分)10,(（3） 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，设 P 到 直线 BC 的距离为 h，故 P 点应在与直线 BC 平行，且相距 32的上下两条平行直线 1l和 2上 6 分由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 3如图，设 1l与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EFBC 于 F 点，在 RtBEF 中 32Fh， 45BAO， 6BE可以求得直线 1l与 y 轴交点坐标为 (0,1) 同理可求得直线 2l与 y 轴交点坐标为 (,
7、2)7 分两直线解析式 1:0x； :lyx根据题意列出方程组： 241；2yx解得： 16xy； 219； 30y； 431满足条件的点 P 有四个，它们分别是 1(6,)P，2(1,9)， 3(,0)， 4(,)8 分宣武一模H-1PDCBAO xyH-1PDCBAOy=2x-1xy25如图，矩形 OABC 的边 OC、OA 分别与 轴、 轴重合，点 B 的坐标是 ，点xy)1,3(D 是 AB 边上一个动点（与点 A 不重合） ，沿 OD 将OAD 翻折，点 A 落在点 P 处（1）若点 P 在一次函数 的图象上，求点 P 的坐标；21y（2）若点 P 在抛物线 图象上，并满足 PCB
8、是等腰三角形，求该抛物线解析式；ax（3）当线段 OD 与 PC 所在直线垂直时，在 PC 所在直线上作出一点 M，使 DM+BM 最小，并求出这个最小值yxOPDCBAA BCO xyA BCO xy（第 25 题图） （第 25 题备用图 1） （第 25 题备用图2）25.解：（1） ),13(B.3,OCPAC点 P 在一次函数 的图象上，21yx设 P ,x如答图 1，过 P 作 PH 轴于 H在 中，PH ，OH ，OP =1，RtOH21xx （第 252x题答图 1）解得： ， （不合题意，舍去） 14520x P 3,.2 分（2）连结 PB、PC.若 PB=PC，则 P 在
9、 BC 中垂线 上12y设 P .如答图 2，过 P 作 PH 轴于 H1,xxNMPB-1DCBAO xy在 中，PH ，OH ，OP =1，RtOPH12x .214x解得： ， （不合题意，舍去） 132xP . ， 解得： .,34a23a23yx若 BP=BC，则 BP=1，连结 OBOP=1，OP+PB=2在 中，OCB=90 ，OB= OP+PB=OB，RtOBC12O、P、B 三点共线， P 为线段 OB 中点。又 ,3BP . ，解得： 31,234aa2yx若 CP=CB，则 CP=1，OP=1，PO=PC，则 P 在 OC 中垂线 上32x设 P .过 P 作 PH 轴于
10、 H3,2y在 中，PH ，OH ，OP=1 ，RtOH322314y解得： ， P 或 P 12y11,当点 P 时，AOP120，此时AOD60，点 D 与点 B 重合，符合题意3,若点 P ，则 ，解得： 1,234a23a23x若点 P ，则 ，解得： 3,2 6 分2yx（3）如答图 3，OAD 沿 OD 翻折，点 A 落在点 P 处，OD 垂直平分 AP.PC OD，A、P、C 三点共线 .在 中，OAD=90，OA=1 ，RtOD又可得：AOD=30，AD=AO ， D . 3tan0,1作点 B 关于直线 AC 的对称点 ，过点 作 AB 于点 N，连结 ，B DB与 AC 交
11、点为 M，此点为所求点。D = =60， =30，ACACO =30 ，O 1 , 3123,2N在 中， =90，RtBD， ，32N326A 21BDM+BM 的最小值为 8 分3【例 2】 （09 北京西城一模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、 y 轴的交点分364y别为 A、 B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式；（ （2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P
12、的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T， Q 为线段BT 上一点，直接写出的取值范围.QAO解析：（1）点 C 的坐标为 .(3,0) 点 A、 B 的坐标分别为 ，(8,0),6AB 可设过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为 . (3)8yax将 代入抛物线的解析式，得 .0,6xy14 过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为 .26yx（2）可得抛物线的对称轴为 ，顶点 D 的坐标为 12x，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G.15(,)6直线 BC 的解析式为 .6y设点 P 的坐标为 .(,2)x解法一：如图 8，作 OPAD 交直线
13、 BC 于点 P，连结 AP，作 PM x 轴于点 M. OPAD， POM=GAD，tan POM=tanGAD. ，即 .PMDGOA25618x解得 . 经检验 是原方程的解. 此时点 P 的坐标为 .17x7160(,)7但此时 ， OM GA.65,2 ,coscosOMGAPDPOMGAD OP AD，即四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等 直线 BC 上不存在符合条件的点 P. 解法二：如图 9，取 OA 的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN x轴于点 N. 则 PEO=DEA， PE=DE.可得 PENDEG 由 ，可得 E 点的坐标为 .42OAE(
14、4,0)NE=EG= ， ON=OE NE= ， NP=DG= .3522516xy11 MP GDCBAO 点 P 的坐标为 . x= 时， ，52(,)16522616x 点 P 不在直线 BC 上. 直线 BC 上不存在符合条件的点 P .（3） 的取值范围是 . QAO04QAO说明：如图 10，由对称性可知 QO=QH， .当点 Q 与点 B 重QAH合时， Q、 H、 A 三点共线， 取得最大值 4（即为 AH 的长） ；设线段 OA的垂直平分线与直线 BC 的交点为 K，当点 Q 与点 K 重合时， 取得最小值O0.图 10xyT11 CBAOHQK图 9xy11 N EGDCBAOP
