1、2009 年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号 一 二 三 四 五 总分分值 60 30 40 14 6 150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷的试题答案在答题卡上，答试卷上无效。一、选择题（每小题 2 分，共计 60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是 （ ）A. ， B. ，2xy 2yxC. ， D. ，2() 2【答案】D.解：注意函数的定义范围、解析式，应选 D.2.下列函数中为奇函数的是 （
2、）A. B. e()2xf()tanfxC. D. ln1)f 1f【答案】C.解: ，2()ln1)fxx2(ln(1)ln0x，选 C.()(fxf3极限 的值是 ( )1limxA. B. C.0 D.不存在 【答案】D.解： ， ，应选 D.1lix1lix4.当 时，下列无穷小量中与 等价是 （ ）0xA. B. C. D. 23ln(1)x2sinx【答案】C.解: 由等价无穷小量公式，应选 C.5.设 ，则 是 的 （ ）e1()xf0()fxA.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点【答案】B.解: 是 的可去间断点,应选 B.00e1lim()lixxf0)(
3、xf6. 已知函数 可导，且 ，则 （ ）f0)1lim2xf(1)fA.2 B. -1 C.1 D. -2【答案】D.解： ，应选 D.0(1)1lim()(1)22xfxff7.设 具有四阶导数且 ，则 （ ）f x(4)xA B C1 D 12xx 3214x【答案】D.解： ， ，应选 D.1(3)2f(4)fx328.曲线 在 对应点处的法线方程 （ ）sin2coytx4A. B. C. D. 21y1yx1yx【答案】A.解： ，应选 A.0dcos2inytkxx切9.已知 ，且 ，则 （ ）e()dxf()f()fxA B. C. D. 2x2ex2e2ex【答案】B.解:由
4、 得de()dxxf，2e()()exxxfCfC把 代入得 ,所以 ,应选 B.(0)f1C2x10.函数在某点处连续是其在该点处可导的 （ ）A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选 A.11.曲线 的凸区间为 （ ）426yxxA. B. C. D. (,)(,0)(,)(,)【答案】A.解: ， ，应选 A.3486yx21480(2,)yxx12. 设 （ ）eA.仅有水平渐近线 B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线 【答案】B.解: ， ，应选 B.elim0xelix13.下
5、列说法正确的是 （ ）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对【 答案】D.解: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选 D.14. 设函数 在 连续，且不是常数函数,若 ，则在()fxab()fab(,)ab内 （ ）A. 必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点 ，使()0f【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及 的条件,在对应的开区间内至少()fab有一个最值,应选 A.15.若 的一个原函数为 ，则 （ ）()fxlnx()fA. B. C
6、. D. 121lxlnx【答案】B.解: ,应选 B.()lnfxx21()fx16.若 ，则 （ ）2dC dA. B. (1)2(1)CC. D. 2xx【答案】C.解: = ,应选 C.2221()()1fdfd2()17.下列不等式不成立的是（ ）A. B. 2211ln(l)xddx 2200sinxdC. D. 00(1)ex【答案】D.解: 根据定积分的保序性定理，应有 ，应选 D.2200()xdd18. = （ ）1lnexdA. B. 11llneexd11lnleexdxC. D. 11llee11llee【答案】C.解:因 ,考察积分的可加性有ln,1|lxe，应选
7、C.111lllne eexdxdx19下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D. lnexdlnedx21(ln)edx31lnedx【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知: 是 的积分,收敛的,应选 C.21(ln)edxp20.方程 在空间直角坐标系中表示的曲面是 （ ）20xyzA.球面 B.圆锥面 C. 旋转抛物面 D.圆柱面 【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选 C.20xyz21. 设 ， ，则 与 的夹角为 （ ）12a,01babA B C D0642【答案】D.解: ,应选 D.(
8、,)2abab22.直线 与平面 的位置关系是 ( )3427xyz43xyzA. 平行但直线不在平面内 B. 直线在平面内C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A.解:因 , 直线在平面内或平行但直线2,73s4,20nsns不在平面内.又直线上点 不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线(,0)不在平面内,应选 A.23.设 在点 处有偏导数，则 （ )(,)fxy(,)ab0(,)(,)limhfabfhA. B. C. D. 02,xf(,)xfb,yf【答案】B.解:原式 0 0(,)(,)(,)(,)limlih hfabffafb0 0,li lim2(,)xh hfff
9、ffah 应选 B.24函数 的全微 （ ）xyzdzA B 2()dxy 2()ydxC D 2() 2()xy【答案】D解： ，应选 D2 2()()()xyxydxyddxzz y25 化为极坐标形式为 （ ）20(,)aydfxdA B0cos,in)arr2cos0(,sin)dfrrdC Dsin20(,iadfd 20,iaf【答案】D.解:积分区域 有2(,)|0, (,)|,02xyaxyrra,应选 D.20,aydfd20(cos,in)frrd26.设 L 是以 A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为 ABCA,则 (3)()xyA
10、.-8 B.0 C 8 D.20【答案】A.解: 由格林公式知, ，(3)(2)28L DxydydS:应选 A.27.下列微分方程中，可分离变量的是 （ ）A B tandyyxx2()0xydxyC D 20ye xe【答案】C.解: 根据可分离变量微分的特点, 可化为20xyde知,应选 C.22yxed28.若级数 收敛，则下列级数收敛的是 （ ）1nuA B 10n 1(0)nuC D 1nu 1n【答案】A.解: 由级数收敛的性质知, 收敛,其他三个一定发散,应选 A.10nu29.函数 的幂级数展开为 （ ）()ln)fxA B 23,x 23,1xxC D 23,1x 23,【
11、答案】C.解: 根据 可知, 23ln(1),1xx,应选 C.23l(),x30.级数 在 处收敛，则此级数在 处 （ ）1nna12xA条件收敛 B绝对收敛 C发散 D无法确定【答案】B.解: 令 ,级数 化为 ,问题转化为: 处收敛,确定 处1xt1()nnax1nat2t1t是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选 B.二、填空题（每小题 2 分，共 30 分） 31.已知 ，则 .()1xf()_fx解： .1,)()22ff 32.当 时， 与 等价，则 .0xfx1cosx0()lim_snxf解： .21cos()1cos20in00limllisfxxx x:33.若 ，
12、则 .2lim8xxa_解：因 ，23()21lim12lililixxax axxx aaa e所以有 .38aeln234.设函数 在 内处处连续，则 . si,0()xf(,)_a解：函数在 内处处连续，当然在 处一定连续，又因为(,)0x，所以 .00sinlim)l1;(0)xxffa0lim()1xfa35.曲线 在（2，2）点处的切线方程为_.3y解：因 .221340(1)xkyyx36.函数 在区间0，2上使用拉格朗日中值定理结论中 .f _解： .()()1120fx 37.函数 的单调减少区间是 _.fx解： ,应填 或 或 或 .()1042x,0,41,0,438.已
13、知 则 .,()3,(2),fff20()_xfd解： .2200() (2)(0)7xdxff39.设向量 与 共线，且 ,则 _.b1,3a56ab解：因向量 与 共线, 可设为 ，b,23k,所以 .5649564ak ,81240.设 ，则 _.2xyze2z解： .22 22(1)xyxy xyzzzeee41函数 的驻点为_.(,)f解： .40(,)0,xyxf42区域 为 ，则 .D29y2_Dyd解：利用对称性知其值为 0 或 .232420cosin0xrdr43.交换积分次序后, .10(,)_xdfy解：积分区域 ,2(,)| (,)|01,Dyxyyx则有 .2110
14、0,(,)xydfdf44. 是 的特解，则该方程的通解为_.4xye3xye解： 的通解为 ，根据方程解的结构,原方程的通解为230 312xxyCe.3114xxxyCee45.已知级数 的部分和 ，则当 时， . 1nu3nS2n_nu解：当 时, .21()31三、计算题（每小题 5 分，共 40 分）46求 .01limxxe解： 200011lililim()xxxx ee.00lili2xx47.设 是由方程 确定的隐函数，求 .()yxlnsi2xyexdxy解：方程两边对 求导得()lcosxyeyx即 n2x2(l)csxy yexe所以 .d2olnyxe48.已知 ，求
15、 .()xxfC1()dxf解：方程 两边对 求导得2xfde，即 ，2()xxf2()xef所以 .21()xef故 221()4xxddefx.22218xxxxeeC49.求定积分 .4|(1)|d解： 4014401|()|()|xxxdxd ()014322332401xxx.6168850.已知 求全微分 .2xyzedz解：因 ,2 2()()xye,2 22()()xy xyyzexe且它们在定义域都连续，从而函数 可微，并有2xyz.zdxdy2()()xyedy51.求 ，其中区域 由直线 围成.(2)DD,2,x解：积分区域 如图所示：把 看作 Y 型区域，且有(,)|0
16、2,yxyx故有 02()()yDdd.20025()4yxy230152.求微分方程 的通解.2xe解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程 的通解为 ，0yx2xyCe设原方程的解为 代入方程得 ,2()Ce22()即有 ，2()x所以 ,22 211()44xxededeC故原方程的通解为 .22xyC53.求幂级数 的收敛区间（考虑区间端点）.21n解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数 ，21nnx因 ,2211limlinnnuxxyxy2yo2当 ，即 时，级数 是绝对收敛的；21xl|2x21nx当 ，即 时，级数 是发散的；2l| 21n当 ，即 时，级数 化为
17、，显然是发散的。21xl221nx1故原级数的收敛区间为 .,四、应用题（每小题 7 分，共 14 分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为 64的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小.2m解：场地如图所示：设增加的三面墙的长度分别为 ；,xy总长为 ，则有 ， ，z2x64从而 ，问题就转化为求函数 最小值问题.64x 642zx令 得唯一驻点 ，且有 ，20z4x342()0x 所以 是极小值点，即为最小值点,此时 .4x 82y故，另增的三面墙的长度分别为 ， ， 时，增加三面围墙的总长最小.42m455.设 由曲线 与直线 围成的，其中D()
18、yfx0,3y，2,6求 绕 轴旋转形成的旋转体的体积.y解：平面图形 如图所示:D把 看作 Y 区域，且 ,03y代入 Y 型区域绕 所成旋转一周所得体积公式有xxy6yxy2yxyo33220()yVfygdy320(6)yd3320 0611.72五、证明题（6 分）56.设 ，其中函数 在闭区间 上连续且 ，1()()()xxabFftdtf()fx,ab()0fx证明在开区间 内,方程 有唯一实根.0F证明：因为 在 上有意义，所以 在 上连续，且有1()()xfx,ab()Fx,ab,1()() 0()()()aaabbbaFftdtdtdtfff，1()()abafttftf由连续函数在闭区间上的零点定理知， 在 内至少有一个实根；()0Fx(,)ab又因为 ，知 在 内是增函数.从而知 在1()0()Fxfx, ()0Fx内至多有一个实根；(,)ab故 在 内有唯一实根.(0x(,)ab
