1、1导数的概念、运算及应用一、 主要知识及主要方法：1. 定义：函数 在 处的瞬时变化率 为函数()yfx0 000()(limlixxffxyAA在 处的导数，记作 或 ，即 。()yfx0/ 0/xy/ 0)()f A用定义求函数的导数的步骤：（1）求函数的改变量 y；（2）求平均变化率 ；x（3）取极限，得导数 （x 0）= .flimxy2. 几何意义：函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 在点 处的切()/0()f ()yfx0,()fx线的斜率。相应地，切线方程为： 。0)x3导数的运算（1）基本初等函数的导数公式( 为常数)； ( )； 0C1)(nxQ； ； ； ；xe lxa
2、l1(log)laaxe； ； ； cos)(sinsi)(/2(ta)cs/2tsinx（2）导数运算法则法则 1 xvuxvu法则 2 , 奎 屯王 新 敞新 疆()()()()()Cux法则 3 奎 屯王 新 敞新 疆20（3）复合函数的导数：设函数 u= (x)在点 x 处有导数 u x= (x) ，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y u=f( u)，则复合函数 y=f( (x)在点 x 处也有导数，且 或 f x( (x)=f( u) (x) 奎 屯王 新 敞新 疆x基本步骤：分解求导相乘回代4导数的应用（1）利用导数求函数单调区间的步骤：确定 的定义域； 求导
3、； 解不等式 得单增区间， 得单减区间.()fx()fx()0fx()0fx（2）已知函数的单调性求参数的取值范围：在区间 上是增函数 在 上恒成立；,ab0,ab在区间 上为减函数 在 上恒成立.（再转化为恒成立问题）()f ()f二、典例分析：（一）用定义求函数在 处的导数0x例 1.用定义分别求函数 在 处的导数。3,yx2（二）用导数公式和求导法则求导数例 2.求下列函数的导数（1） （2）(1)2yx52sinxy（3） （4）xe1si（5） （6）lnxy 2yx练习：（1） （2）32xxe341x（3） （4）sincoy 2siny（5） （6）1x2l1x（三）求函数 在
4、 处的切线方程()yf0x例 3.已知曲线 。314（1）求曲线在点 处的切线方程；(2,)P（2）求曲线过点 的切线方程；（3）求斜率为 4 的曲线的切线方程。练习：（1）过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 xye（2）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4xl480yl； ； ；.A30y.B50.C3x.D430xy（3）过点 且与曲线 相切的直线方程为 1,P3y（4）已知曲线 的一条切线方程是 ，则 的值为 mx3 4yxm（四）导数的简单应用例 4. （1）已知 ，则 2()()fxf()f（2）已知函数 ，则 110xAf3（3）设函数 （ ），
5、若 是奇函数， 则 ()cos3fxx0()fx练习：（1）设 ， ， ， ， ，则0()inf10()ffx21()ff1()nnfxfN（ ） 205()fx.Asi.Bs.Ccos.Dcos（2）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）12xye24,.9.e.2e.2e（3）对正整数 ，设曲线 在 处的切线 与 轴交点的纵坐标为 ，则数列n)1(xynyna的前 项和的公式是 1na（五）原函数与导函数的图象间的关系例 5. 函数 在定义域 内可导，其 图象如 图所示， 记 的导函数为 ，)(xfy)3,2()(xfy)(xfy则不等式 的解集为（ ）0f.A3,21B84
6、,.C,2D3,13练习：函数 的定义域是开区间 ,()fxab导函数 在 内的图象如图所示， 则函数,ab在开区间内有极小值点（ ）()f个 个 个 个.A1.B2.C3.D4（六）利用导数求函数单调区间例 6. 求下列函数的单调区间。（1） ； （2）()lnfx2()1xaf xyabfO4（七）已知函数的单调性求参数的取值范围例 7.若函数 在区间 上单减，求 的取值范围。32()1fxax21(,)3a变式：若函数 在区间 上存在单减区间，求 的取值范围。32()1fxax21(,)3a练习：（1）若函数 在 上是增函数，求 的取值范围。2()fx(0,a（2）若函数 在 上是增函数，求 的取值范围。()4fxax(,1（八）导数的综合应用例 8.已知函数 若对任意 存在 ，使23()ln1,()4.4xf gxb1(0,2)x21,x得 ，求 的取值范围。12()fxgb练习：已知函数 在 处取得极值，且 ()lnfxmx13m（）求 与 满足的关系式；n（）求函数 的单调区间；()f（）设函数 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范23gx12,t12|()|9ftgm围
