1、2017 年河南省平顶山市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1下列四个实数中，无理数是（ ）A3.14 B C0 D2经统计，2016 年除夕夜观看春晚直播的观众约达 10.3 亿人，用科学记数法表示10.3 亿正确的是（ ）A1.03 109 B1.0310 10 C10.3 109 D10310 83下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D4下列调查中，适合普查的事件是（ ）A调查华为手机的使用寿命B调查市九年级学生的心理健康情况C调查你班学生打网络游戏的情况D调查中央电视台中国舆论场的节目收视率5下列计算正确的
2、是（ ）A =2 B3+ =3 C + = D + =36下列不等式变形正确的是（ ）A由 ab ，得 acbc B由 ab ，得 a2b 2C由 1，得 a D由 ab ，得 cac b7如图，已知直线 ab，1=462=66，则3 等于（ ）A112 B100 C130 D1208不改变分式 的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（ ）A B C D9如图，一张长方形纸片的长 AD=4，宽 AB=1点 E 在边 AD 上，点 F 在 BC 边上，将四边形 ABFE 沿直线 EF 翻折后，点 B 落在边 AD 的中点 G 处，则 EG 等于（ ）A B2 C
3、D10如图所示，在平面直角坐标系中 A（0，0），B（2，0），AP 1B 是等腰直角三角形，且P 1=90，把AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C；把BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 180，得到CP 3D，依此类推，则旋转第 2016 次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点 P2017 的坐标为（ ）A（4030， 1） B（ 4029， 1） C（4033 ，1） D（4031，1）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（2 ） 2= 12关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 13袋子里放着小
4、颖刚买的花、白两种色彩的手套各 1 双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是 14如图，将半径为 6 的圆形纸片，分别沿 AB、 BC 折叠，若弧 AB 和弧 BC 折后都经过圆心 O，则阴影部分的面积是 （结果保留 ）15在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，ABCD，CD BC 于 C，且AB、BC、CD 边长分别为 2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）16先化简，再求值：（x +y） 22y（x +y），其中 x=
5、1，y= 17某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按 A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图和图是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A 等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图（2）图中，a 等于多少？D 等级所占的圆心角为多少度？18如图，在ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点，AND=90，连接 CM 交 DN于点 O（1）求证：ABN CDM；（2）连接 MN，求证四边形 MNCD 是菱形19某商场将 M 品牌服装每套按
6、进价的 2 倍进行销售，恰逢 “春节”来临，为了促销，他将售价提高了 50 元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的 ，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由20如图，一艘海警船在 A 处发现北偏东 30方向相距 12 海里的 B 处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时 10 海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时 14 海里的速度追赶，到 C 处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？21某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程 s（千米）与走步时间 t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园
7、的平均速度是 4 千米/小时，用 2 小时，根据图象提供信息，解答下列问题（1）求图中的 a 值（2）若在距离起点 5 千米处有一个地点 C，此人从第一次经过点 C 到第二次经过点C，所用时间为 1.75 小时求 AB 所在直线的函数解析式；请你直接回答，此人走完全程所用的时间22如图，在ABC 中，以 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC的中点，DE AB，垂足为 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）CF=5，cosA= ，求 AE 的长23如图，抛物线 y=ax2+bx+1 与直线 y=ax+c 相交于坐标轴上点
8、A（3，0），C（ 0，1）两点（1）直线的表达式为 ；抛物线的表达式为 （2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交直线 AC 于点F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）P 为抛物线上一动点，且 P 在第四象限内，过点 P 作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以P、A 、N 为顶点的三角形与ACO 相似，请直接写出点 P 的坐标2017 年河南省平顶山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1下列四个实数中，无理数是（ ）A3.14 B C0 D【考点】无理数【分析】无理数就是
9、无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：A、3.14 是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；B、 是无理数，选项符合题意；C、 0 是整数，是有理数，选项不符合题意；D、 =3，是整数，是有理数，选项不符合题意故选 B【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ， ，0.8080080008（2017平顶山一模）经统计，2016年除夕夜观看春晚直播的观众约达 10.3 亿人，用科学记数法表示 10.3 亿正确的
10、是（ ）A1.03 109 B1.0310 10 C10.3 109 D10310 8【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：10.3 亿=1.03 109，故选 A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3下列几何体的主视图既是中心对称图形
11、又是轴对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确故选：D【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合4下列调查中，适合
12、普查的事件是（ ）A调查华为手机的使用寿命B调查市九年级学生的心理健康情况C调查你班学生打网络游戏的情况D调查中央电视台中国舆论场的节目收视率【考点】全面调查与抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断【解答】解：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；D、调查中央电视台中国舆论场的节目收视率适合抽样调查，故选：C【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏
13、性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查5下列计算正确的是（ ）A =2 B3+ =3 C + = D + =3【考点】二次根式的加减法【分析】根据二次根式的加减法进行计算即可【解答】解：A、 =2 ，故 A 错误；B、3 + 不能合并，故 B 错误；C、 + 不能合并，故 C 错误；D、 + =3+ ，故 D 正确，故选 D【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减法的法则是解题的关键6下列不等式变形正确的是（ ）A由 ab ，得 acbc B由 ab ，得 a2b 2C由 1，得 a D由 ab ，得 cac
14、b【考点】不等式的性质【分析】分别利用不等式的基本性质判断得出即可【解答】解：A、由 ab，得 acbc （c 0），故此选项错误；B、由 ab，得 a2b2，故此选项错误；C、由 1，得 a（a0），故此选项错误；D、由 ab，得 cacb，此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键7如图，已知直线 ab，1=462=66，则3 等于（ ）A112 B100 C130 D120【考点】平行线的性质【分析】首先过点 C 作 CDa，由 ab，即可得 CDa b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得3 的度数【解答】解：过点 C 作 CDa，a b
15、 ，CDab，ACD=1=46，BCD=2=66，3=ACD+BCD=112 故选 A【点评】此题考查了平行线的性质解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用8不改变分式 的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（ ）A B C D【考点】分式的基本性质【专题】压轴题【分析】只要将分子分母要同时扩大 10 倍，分式各项的系数就可都化为整数【解答】解：不改变分式 的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，则分子分母要同时扩大 10 倍，即分式 = ，故选 B【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数
16、，分式的值不变9如图，一张长方形纸片的长 AD=4，宽 AB=1点 E 在边 AD 上，点 F 在 BC 边上，将四边形 ABFE 沿直线 EF 翻折后，点 B 落在边 AD 的中点 G 处，则 EG 等于（ ）A B2 C D【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质【分析】作 GMBC 于 M，则 GM=AB=1，DG=CM，由矩形的性质得出BC=AD=4，ADBC，由平行线的性质得出GEF= BFE，由折叠的性质得：GF=BF， GFE=BFE ，得出GEF=GFE，证出 EG=FG=BF，设 EG=FG=BF=x，求出CM=DG= AD=2，得出 FM=BCBFCM=2x，在 RtGFM
17、 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：作 GMBC 于 M，如图所示：则 GM=AB=1，DG=CM ，四边形 ABCD 是矩形，BC=AD=4，AD BC，GEF=BFE，由折叠的性质得：GF=BF， GFE=BFE，GEF=GFE，EG=FG=BF，设 EG=FG=BF=x，G 是 AD 的中点， CM=DG= AD=2，FM=BCBFCM=2x，在 RtGFM 中，由勾股定理得：FG 2=FM2+GM2，即 x2=（2x） 2+12，解得：x= ，即 EG= ；故选：C【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握折叠的性质，由勾股
18、定理得出方程是解决问题的关键10如图所示，在平面直角坐标系中 A（0，0），B（2，0），AP 1B 是等腰直角三角形，且P 1=90，把AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C；把BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 180，得到CP 3D，依此类推，则旋转第 2016 次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点 P2017 的坐标为（ ）A（4030， 1） B（ 4029， 1） C（4033 ，1） D（4031，1）【考点】坐标与图形变化旋转；规律型：点的坐标【专题】规律型【分析】作 P1x 轴于 H，利用等腰直角三角形的性质得 P1H= AB=1，AH=BH=1，则P1 的纵
19、坐标为 1，再利用旋转的性质易得 P2 的纵坐标为1，P 3 的纵坐标为 1，P 4 的纵坐标为1，P 5 的纵坐标为 1， ，于是可判断 P1017 的纵坐标为 1，而横坐标为201721=4033，所以 P1017（4033，1 ）【解答】解：作 P1x 轴于 H，A（0，0 ）， B（2，0 ），AB=2，AP 1B 是等腰直角三角形，P 1H= AB=1，AH=BH=1，P 1 的纵坐标为 1，AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C；把 BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 180，得到CP 3D，P 2 的纵坐标为1，P 3 的纵坐标为 1，P 4 的纵坐标为1，P 5
20、 的纵坐标为 1，P 1017 的纵坐标为 1，横坐标为 201721=4033，即 P1017（4033，1）故选 C【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45 ，60，90，180也考查了等腰直角三角形的性质二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（2 ） 2= 【考点】负整数指数幂【分析】运用负整数指数幂的法则求解即可【解答】解：（2） 2= 故答案为： 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题关键是熟记法则12关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不
21、相等的实数根，则 m 的取值范围为 m【考点】根的判别式【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围【解答】解：方程有两个不相等的实数根，a=1，b= 3，c=m=b 24ac=（3 ） 241m0，解得 m ，故答案为：m 【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根13袋子里放着小颖刚买的花、白两种色彩的手套各 1 双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是 【考点
22、】列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图如下：共有 12 种等可能的结果，它们恰好同色的有 4 种情况，它们恰好同色的概率是： = ，故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14如图，将半径为 6 的圆形纸片，分别沿 AB、 BC 折叠，若弧 AB 和弧 BC 折后都经过圆心 O，则阴影部分的面积是 12 （结果保留 ）【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
23、【分析】作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出OAD=30，得到AOB=2AOD=120 ，进而求得 AOC=120，再利用阴影部分的面积=S 扇形 AOC 得出阴影部分的面积是O 面积的 ，即可得出结果【解答】解：作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，如图所示：OD= AOOAD=30 ，AOB=2AOD=120 ，同理BOC=120，AOC=120 ，阴影部分的面积=S 扇形 BOC= O 面积= 62=12；故答案为：12【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定AOC=12015在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点
24、，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，ABCD，CD BC 于 C，且AB、BC、CD 边长分别为 2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 2 或 10 【考点】相似三角形的判定与性质【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长【解答】解：如图：因为 CD= = ，点 D 是斜边 AB 的中点，所以 AB=2CD=2 ，如图：因为 CE= =5，点 E 是斜边 AB 的中点，所以 AB=2CE=10，综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是 2 或 10，故答案是：2 或 10【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够
25、根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）16先化简，再求值：（x +y） 22y（x +y），其中 x= 1，y= 【考点】整式的混合运算化简求值【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；【解答】解：（x+y） 22y（x +y）=x2+2xy+y22xy2y2=x2y2，当 x= 1，y= 时，原式 =（ 1） 2（ ） 2=2+12 3=2 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键17某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按 A（不喜欢）、B（一般）、
26、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图和图是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A 等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图（2）图中，a 等于多少？D 等级所占的圆心角为多少度？【考点】条形统计图；扇形统计图【专题】计算题；数据的收集与整理【分析】（1）由 B 等级的人数除以占的百分比得出调查总人数，进而求出 A 等级人数，补全条形统计图即可；（2）求出 A 等级占的百分比确定出 a，由 D 的百分比乘以 360 即可得到 D 等级占的圆心角度数【解答】解：（1）根据题意得：4623%=2
27、00（人），A 等级的人数为200（ 46+70+64）=20（人），补全条形统计图，如图所示：（2）由题意得：a%= ，即 a=10；D 等级占的圆心角度数为 32%360=115.2【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键18如图，在ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点，AND=90，连接 CM 交 DN于点 O（1）求证：ABN CDM；（2）连接 MN，求证四边形 MNCD 是菱形【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AB=CD，AD=BC，B=CDM ，又由 M、
28、 N 分别是 AD，BC 的中点，即可利用 SAS 证得ABNCDM；（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AD=BC，B=CDM，M、 N 分别是 AD，BC 的中点，BN=DM，在ABN 和 CDM 中，ABN CDM（SAS ）；（2）证明：M 是 AD 的中点，AND=90 ，NM=AM=MD，BN=NC=AM=DM，NC=MN=DM，NC DM，四边形 CDMN 是平行四边形，又MN=DM，四边形 CDMN 是菱形【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确
29、应用直角三角形的性质是解题关键19某商场将 M 品牌服装每套按进价的 2 倍进行销售，恰逢 “春节”来临，为了促销，他将售价提高了 50 元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的 ，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由【考点】一元一次方程的应用【分析】设 A 品牌服装每套进价 x 元，根据利润=标价进价列出一元一次方程，求出进价进而作出判断【解答】解：该老板给顾客优惠了设 A 品牌服装每套进价 x 元，由题意得：（2x+50）0.8x= x，解得 x=600，原来售价 2600=1200（元），提价后八折价格（2600+50）0.8=1000（元），该老板给顾客
30、优惠了【点评】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润=标价进价建立方程求出进价是关键20如图，一艘海警船在 A 处发现北偏东 30方向相距 12 海里的 B 处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时 10 海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时 14 海里的速度追赶，到 C 处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？【考点】解直角三角形的应用方向角问题【分析】如图，设 t 小时追上了货船，则 BC=10t， AC=14t，在 RtACF 中，根据勾股定理可得（6 ） 2+（6+10t） 2=（14t） 2，解方程即可解决问题【解答】解：如图，设 t 小时追上了货船，则 BC=10t，A
31、C=14t ，由题意，BAF=30，CAF=60，AB=12FBA=60，FB=6，AF=6 ，在 RtACF 中，（6 ） 2+（6+10t） 2=（14t） 2，解得 t=2 或 （舍弃），答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间 2 小时【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型21某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程 s（千米）与走步时间 t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是 4 千米/小时，用 2
32、 小时，根据图象提供信息，解答下列问题（1）求图中的 a 值（2）若在距离起点 5 千米处有一个地点 C，此人从第一次经过点 C 到第二次经过点C，所用时间为 1.75 小时求 AB 所在直线的函数解析式；请你直接回答，此人走完全程所用的时间【考点】一次函数的应用【分析】（1）根据路程=速度时间即可求出 a 值；（2）根据速度=路程 时间求出此人返回时的速度，再根据路程 =8返回时的速度时间即可得出 AB 所在直线的函数解析式；令中的函数关系式中 s=0，求出 t 值即可【解答】解：（1）a=42=8 （2）此人返回的速度为（85）（1.75 ）=3（千米/小时），AB 所在直线的函数解析式为
33、 s=83（t2）=3t+14当 s=3t+14=0 时，t= 答：此人走完全程所用的时间为 小时【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据路程=速度时间求出 a 值；（2）根据路程=8返回时的速度时间列出 s 与 t 之间的函数解析式；令s=0 求出 t 值22如图，在ABC 中，以 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC的中点，DE AB，垂足为 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）CF=5，cosA= ，求 AE 的长【考点】切线的判定；解直角三角形【分析】（1）连结 OD先证明 OD 是ABC 的
34、中位线，根据中位线的性质得到ODAB，再由 DEAB，得出 ODEF，根据切线的判定即可得出直线 EF 是O 的切线；（2）根据平行线的性质得到COD=A由 cosA=cosFOD= = ，设O 的半径为 R，于是得到 = ，解得 R= ，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】（1）证明：如图，连结 ODCD=DB，CO=OA，OD 是ABC 的中位线，ODAB， AB=2OD，DEAB，DEOD，即 ODEF，直线 EF 是O 的切线；（2）解：ODAB ，COD=A 在 RtDOF 中，ODF=90，cosA=cosFOD= = ，设O 的半径为 R，则 = ，解得 R= ，AB=2OD=
35、 在 RtAEF 中，AEF=90，cosA= = = ，AE= 【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可23如图，抛物线 y=ax2+bx+1 与直线 y=ax+c 相交于坐标轴上点 A（3，0），C（ 0，1）两点（1）直线的表达式为 y= x+1 ；抛物线的表达式为 y= x2 x+1 （2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交直线 AC 于点F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）P 为抛物线上一动点，且 P 在第四象限内，
36、过点 P 作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以P、A 、N 为顶点的三角形与ACO 相似，请直接写出点 P 的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）把 A、C 坐标代入抛物线和直线解析式，可求得答案；（2）可设出 D 点坐标，则可表示出 F 点坐标，从而可表示出 DF 的长，利用二次函数的性质可求得 DF 的最大值及 D 点的坐标；（3）可设出 P 点坐标，则可表示出 PN 和 ON 的长，分AOC PNA 和AOC ANP 两种情况，根据相似三角形的性质可求得 P 点坐标【解答】解：（1）把 A、C 两点坐标代入直线 y=ax+c 可得 ，解得 ，直线的表达式为 y= x+1，把 A 点
37、坐标和 a= 代入抛物线解析式可得 9（ ）3b+1=0 ，解得 b= ，抛物线的表达式为 y= x2 x+1，故答案为：y= x+1；y= x2 x+1；（2）点 D 在抛物线在第二象限部分上的一点，可设 D（t， t2 t+1），则 F（t， t+1），DF= t2 t+1（ t+1）= t2t= （t+ ） 2+ ， 0，当 t= 时， DF 有最大值，最大值为 ，此时 D 点坐标为（ ， ）；（3）设 P（m， m2 m+1），如图 2，P 在第四象限，m0， m2 m+10，AN=m+3，PN= m2+ m1，AOC=ANP=90，当以 P、A、N 为顶点的三角形与ACO 相似时有A
38、OC PNA 和AOCANP，当AOC PNA 时，则有 = ，即 = ，解得 m=3 或 m=10，经检验当 m=3 时，m+3=0，m=10 ，此时 P 点坐标为（10， 39）；当AOC ANP 时，则有 = ，即 = ，解得 m=2 或 m=3，经检验当 m=3 时，m+3=0，m=2，此时 P 点坐标为（3， ）；综上可知 P 点坐标为（ 10，39）或（3， ）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用 D 点坐标表示出 DF 的长是解题的关键，在（3）中用 P 点坐标表示出 PN 和AN 的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
