1、 1 2005 年北京市高级中等学校招生考试卷第 I 卷（机读卷 共 44 分）一. 选择题（共 11 个小题，每小题 4 分，共 44 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1. 的相反数是（ ）2A. B. C. 2112D. 2. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. 4263()ab2D. 352a3. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A. B. C. 241232D. 184. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A. 圆 B. 菱形 C. 矩形D. 等边三角形5. 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市。预计今年年底，北京市污
2、水处理能力可以达到每日 1684000 吨。将 1684000 吨用科学记数法表示为（ ）A. 吨 B. 吨 C. 吨168406.168405.016847.D. 吨56. 如图，在半径为 5 的O 中，如果弦 AB 的长为 8，那么它的弦心距 OC 等于（ ）A. 2 B. 3 C. 4D. 67. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可x221610xy21化为（ ）A. B. C. y60y2 y60D. 22 8. 如图，PA、PB 是O 的两条切线，切点是 A、B。如果 OP4， ，那么PA23AOB 等于（ ）A. 90 B. 100 C. 110D. 1209. 如图，在平
3、行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，连结 CE 并延长交 BA 的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）A. AEFDEC B. FA:CDAE:BC C. FA:ABFE:EC D. ABDC10. 李大伯承包了一个果园，种植了 100 棵樱桃树，今年已进入收获期。收获时，从中任选并采摘了 10 棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10质量（千克） 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克 15 元。用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总
4、收入分别约为（ ）A. 200 千克，3000 元 B. 1900 千克，28500 元 C. 2000 千克，30000 元D. 1850 千克，27750 元11. 如下图，在平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB5，BC3，点 P 从起点 D 出发，沿 DC、CB 向终点 B 匀速运动。设点 P 所走过的路程为 x，点 P 所经过的线段与线段 AD、AP所围成图形的面积为 y，y 随 x 的变化而变化。在下列图象中，能正确反映 y 与 x 的函数关系的是（ ）第 II 卷（非机读卷 共 76 分）二. 填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）12. 在函数 中，自变量
5、x 的取值范围是_。yx13 13. 不等式组 的解集是_。x21014. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为_。15. 如果正多边形的一个外角为 72，那么它的边数是_。16. 在ABC 中，B25，AD 是 BC 边上的高，并且 ，则BCA 的ADBC2度数为_。三. （共 3 个小题，共 15 分）17. （本小题满分 4 分） 分解因式： mn2解：18. （本小题满分 5 分） 计算： 27130cos解19. （本小题满分 6 分） 用配方法解方程 x24解：四. （本题满分 5 分） 20. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，
6、点 E、F 分别在 AB、DC 上，且 BE2EA，CF2FD。 求证：BECCFB证明：五. （本题满分 6 分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽 CD 为 50 米。现需从山顶 A 到河对岸点 C拉一条笔直的缆绳 AC，求缆绳 AC 的长（答案可带根号）。解：4 六. （本题满分 6 分） 22. 列方程或方程组解应用题：夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高 1，结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种
7、空调每天的总节电量是只将温度调高 1后的节电量的 1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405 度。求只将温度调高 1后两种空调每天各节电多少度？解：七. （本题满分 7 分） 23. 已知：关于 x 的方程 有两个不相等的axa20实数根 和 ，并且抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点x12y215（2，0）的两旁。（1）求实数 a 的取值范围；（2）当 时，求 a 的值。x12解：（1）（2）八. （本题满分 8 分） 24. 已知：在 RtABC 中，ABC90，D 是 AC 的中点，O 经过 A、D、B 三点，CB 的延长线交O 于点 E（如图 1）。在满足上述条件
8、的情况下，当CAB 的大小变化时，图形也随着改变（如图 2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。（1）观察上述图形，连结图 2 中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段 CE 相等；（2）在图 2 中，过点 E 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F。若 CFCD，求 sinCAB 的值；若 ，试用含 n 的代数式表示 sinCAB（直接写出结果）。CFDn()0（1）连结_求证：_CE证明：（2）解： _（ ）sin CABn0九. （本题满分 9 分） 25. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的ykx45 图象与 x 轴交于点 A，抛物线 经过 O、A
9、 两点。yaxbc2（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 OAB43说明理由。（1）解：（2）解：（3）解答：6 参考答案第 I 卷（机读卷 共 44 分）一. 选择题（共 11 个小题，每小题 4 分，共 44 分） 1. C 2. A 3. B
10、 4. D 5. A 6. B 7. C8. D 9. B 10. 11. A第 II 卷（非机读卷 共 76 分）二. 填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 12. 13. 14. x213xyx215. 5 16. 65或 115三. （共 3 个小题，共 15 分） 17. （本小题满分 4 分） 分解因式： mn2解： mn221 分n3 分4 分n218. （本小题满分 5 分） 计算： 71230cos解： 27130cos3 分214 分35 分2119. （本小题满分 6 分） 用配方法解方程 x2410解：移项，得： 1 分x241配方，得： 2 分24 分
11、x32解这个方程，得： x3即 6 分x12，四. （本题满分 5 分） 20. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，点 E、F 分别在 AB、DC 上，且 BE2EA，CF2FD。求证：BECCFB7 证明：在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDCABCDCB1 分BE2EA，CF2FDBEACFD2323，BECF2 分在EBC 和FCB 中，3 分BC EBCFCB4 分BECCFB5 分五. （本题满分 6 分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽 CD 为 50 米。现需从山顶 A
12、到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，求缆绳 AC 的长（答案可带根号）。解：作 ABCD 交 CD 的延长线于点 B在 RtABC 中，ACBCAE30，ADBEAD45AC2AB，DBAB2 分设 ，则ABxDxACx， ，2503 分tanBtatan34 分xx350解得： 5 分218 （米）6 分AC5013答：缆绳 AC 的长为 米。六. （本题满分 6 分） 22. 列方程或方程组解应用题：夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高 1，结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调
13、每天的总节电量是只将温度调高 1后的节电量的 1.1 倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405 度。求只将温度调高 1后两种空调每天各节电多少度？解法一：设只将温度调高 1后，甲种空调每天节电 x 度，乙种空调每天节电 y 度1 分依题意，得： 3 分xy271405.解得： 5 分y8答：只将温度调高 1后，甲种空调每天节电 207 度，乙种空调每天节电 180 度。6 分解法二：设只将温度调高 1后，乙种空调每天节电 x 度1 分则甲种空调每天节电 度2 分x27依题意，得： 3 分1405.解得： 4 分x805 分27答：只将温度调高 1后，甲种空调每天节电 207 度
14、，乙种空调每天节电 180 度。6 分七. （本题满分 7 分） 23. 已知：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根axa20和 ，并且抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。x12yxa215（1）求实数 a 的取值范围；（2）当 时，求 a 的值。12（1）解法一：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根xa20aa0240()()解得： ，且 1 分1设抛物线 与 x 轴的两个交点的坐标分别为 、 ，且yxx225， 0，9 、 是关于 x 的方程 的两个不相等的实数根ax21250142aa 为任意实数 由根与系数关系得： 215aa，抛物线 与 x 轴的两个交点分别位
15、于点（2，0）的两旁yxx202451，a解得： 2 分3由、得 a 的取值范围是 3 分320a解法二：同解法一，得： ，且 1 分01抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的yxx215开口向上当 时， 420a解得： 2 分32由、得 a 的取值范围是 3 分3a（2）解： 和 是关于 x 的方程 的两个不相等的实数根x12xa20aa12130，4 分xa12不妨设 x20，5 分11，即xx228x12124810 248a解这个方程，得： 6 分a121，经检验， 都是方程 的根a124， 428a，舍去3为所求7 分a八. （本题满分 8 分） 24. 已
16、知：在 RtABC 中，ABC90，D 是 AC 的中点，O 经过 A、D、B 三点，CB 的延长线交O 于点 E（如图 1）。在满足上述条件的情况下，当CAB 的大小变化时，图形也随着改变（如图 2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。（1）观察上述图形，连结图 2 中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段 CE 相等；（2）在图 2 中，过点 E 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F。若 CFCD，求 sinCAB 的值；若 ，试用含 n 的代数式表示 sinCAB（直接写出结果）。CFDn()0（1）连结 AE求证：AECE1 分证法一：如图 3，连结 ODAB
17、C90，CB 的延长线交O 于点 EABE90AE 是O 的直径D 是 AC 的中点，O 是 AE 的中点11 ODCEA12AECE3 分证法二：如图 4，连结 BD在 RtABC 中，ABC90D 是 AC 的中点ADCDBD12四边形 AEBD 内接于O1DAE2DAEAECE3 分证法三：如图 5，连结 DE同证法一，得 AE 是O 的直径ADE90D 是 AC 的中点DE 是线段 AC 的垂直平分线AECE3 分（2）解法一：根据题意画出图形，如图 6，连结 DE。12 EF 是O 的切线34，且 EFDA2 ， ， 34525AEDAE设 ，则k()0CkEFDA2 2366AE
18、是O 的直径AEF90在 RtAEF 中， cos AFEk63s CB636 分in A解法二：根据题意画出图形，如图 7，连结 DE。AE 是O 的直径，EF 是O 的切线ADEAEF90RtADERtEDFADEF设 ，则k()0k2DEk2在 RtCDE 中13 CEDkkkAB22233 6 分sinsi ECD3 （ ）8 分i AB2n0九. （本题满分 9 分）25. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象与 x 轴交于点 A，抛物线ykx4经过 O、A 两点。yaxbc2（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径
19、的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 OA43（1）解法一：一次函数 的图象与 x 轴交于点 Aykx4点 A 的坐标为（4，0）抛物线 经过 O、A 两点yaxbc2c160，1 分b4解法二：一次函数 的图象与 x 轴交于点 Aykx4点 A 的坐标为（4，0）抛物线 经过 O、A 两点abc2抛物线的对称轴为直线 xx1 分b
20、a4（2）解：由抛物线的对称性可知，DODA点 O 在D 上，且DOADAO又由（1）知抛物线的解析式为 yax24点 D 的坐标为（ ）24，14 当 时，a0如 图 1， 设 D 被 x 轴 分 得 的 劣 弧 为 ， 它 沿 x 轴 翻 折 后 所 得 劣 弧 为 ， 显 然 所 在 的 圆OmA OnA 与 D 关 于 x 轴 对 称 ， 设 它 的 圆 心 为 D点 D与点 D 也关于 x 轴对称点 O 在D上，且D 与D相切点 O 为切点2 分DOODDOADOA45ADO 为等腰直角三角形3 分D2点 D 的纵坐标为 4122ab，抛物线的解析式为 4 分yx1当 时，a0同理可
21、得： OD2抛物线的解析式为 5 分yx12综上，D 半径的长为 ，抛物线的解析式为 或yx12yx12（3）解答：抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P，使得 OAB43设点 P 的坐标为（x，y），且 y0当点 P 在抛物线 上时（如图 2）1215 点 B 是D 的优弧上的一点 OAD1245 P360过点 P 作 PEx 轴于点 Etan Oyx603由 解得： （舍去）yx12xyxy124360，点 P 的坐标为 7 分43，当点 P 在抛物线 上时（如图 3）yx1216 同理可得， yx3由 解得： （舍去）12yxy124360，点 P 的坐标为 9 分43，综上，存在满足条件的点 P，点 P 的坐标为或26， 2643，
