1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷 1至 3 页。第卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。参考公式：如果事件 互斥，那么 棱柱的体积公式
2、 V=Sh.A、 B其中 S 表示棱柱的底面积.()()PPh 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)i 是虚数单位，复数 =31i(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i(2)设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为3,1,xy（A）12 （B）10 （C）8 （D）2(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3（4）函数 f（x）= xe的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1）
3、(D) （1,2）(5)下列命题中，真命题是(A) mR,fxmR2使 函 数 （ ） （ ） 是 偶 函 数(B) 使 函 数 （ ） =（ ） 是 奇 函 数(C) ,f2使 函 数 （ ） （ ） 都 是 偶 函 数(D) RxxR使 函 数 （ ） （ ） 都 是 奇 函 数(6)设 55 4alog4blclog25， （ 3） ， ， 则(A)a0. 321()axR（）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若在区间 上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 .,（21） （本小题满分 14 分）已知椭圆 （ab0）的离心率 e= ，连接椭圆的四
4、个顶点得到的菱形的面积为 4.21xyab32（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.（i）若 ，求直线 l 的倾斜角；42AB5|=（ii）若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，且 .求 的值.y0（ ， ） QAB=4y0（22） （本小题满分 14 分）在数列 中， =0，且对任意 k ， 成等差数列，其公差为 2k.na1*N2k12k+1a,（）证明 成等比数列；456,（）求数列 的通项公式；n（）记 ，证明 .223nnTaaAn3T2（ ）2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一.
5、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分.（1）A (2)B (3)B (4)C (5)A（6）D (7)C (8)A (9)D (10)D二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 24 分.（11） (12)3 (13) 32xy14（14） (15)4 (16) 2x+1y（ ） （ -， ）三. 解答题（17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分.（）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得 = .于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即sin
6、BCcosin（B-C）=0.因为 ，从而 B-C=0.BC所以 B=C.（）解：由 A+B+C= 和（）得 A= -2B,故 cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .13又 005a10,(),820,.f即解不等式组得-52，则 .当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：102X ， 01a， 1a1a2，f(x) + 0 - 0 +f(x) A极大值 A极小值 A当 时，f（x）0 等价于 即1x2， 1f(-)20,a2581-0.a,解不等式组得 或 .因此 2a5. 52a2综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a5. （21）本小题主要考查椭圆的标
7、准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e= ，得 .再由 ，解得 a=2b.32ca24ac22ab由题意可知 ，即 ab=2.1b解方程组 得 a=2，b=1. ,2a所以椭圆的方程为 .214xy()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 ，直线 l 的斜率为1(,)xyk.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得2(),1.4ykx.222(14)6(1)0
8、kxk由 ，得 .从而 .2164kx2184kx124ky所以 .222| 4ABkkk由 ，得 .42|52145整理得 ，即 ，解得 k= .423930k22(1)3)0k1所以直线 l 的倾斜角为 或 .4（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 .228,14k以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是由 ，得 。002,2,.QAyy4QAy20（2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 。k22184kkx令 ，解得 。0x02614ky由 ， ，2,QA10,Bxy21010 222
9、8646411kkxy，42654k整理得 。故 。所以 。27k1702145y综上， 或0y0245y（22）本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（I）证明：由题设可知， ， ， ， ，21a324a348a5412a。6518a从而 ，所以 ， ， 成等比数列。65432a4a56（II）解：由题设可得 12,*kkN所以 21212331.k kaaaa 4.4.,*kN由 ，得 ，从而 .10a21k 221kak所以数列 的通项公式为 或写为 ， 。n 2,n为 奇 数为 偶 数 214nna*N（III）证明：由（II）可知 ， ，21ka2k以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m *mN若 ，则 ，m2nka若 ，则222221 121 144nmmkkkkkka2 114 12mk kk .132mn所以 ，从而23nka2,46,8.ka（2） 当 n 为奇数时，设 。1*nmN2 2221 134nmkkaa 131422mn所以 ，从而231nka2,35,7.nka综合（1）和（2）可知，对任意 有,*,N2.nT
