1、1 / 14 辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目： 授课日期 时 间主 题 平行四边形的判定教学内容1掌握平行四边形的判定定理，能运用平行四边形的判定定理证明和计算；2经历探究平行四边形的判定定理的过程，体会类比、逆向思维的方法（此环节设计时间在 2025 分钟）1回顾平行四边形性质，完成下表；边 角 对角线 对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分 中心对称2如图，已知线段 BC 及 BC 外一点 A，以 A 为顶点，BC 为对角线可以作_个平行四边形，若以点 A 为顶点，BC 为一边，可作_个平行四边形；画出图形。B CB CA【参考答案】1，22 / 1
2、4 学习了平行四边形后，小明回家就用细木棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示。小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？如何判断一个四边形是平行四边形呢？当然，我们可以根据定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定。还有其它的判定方法吗？问题 1：我们学习了平行四边形的性质，知道它的边、角、对角线有一些性质，那么我们能否运用这些性质来判断一个四边形是否是平行四边形呢？（1）边：两组对边分别相等。已知：求证：证明：【参考答案】（1）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ADBC求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：联结 AC，在ABC 和CDA
3、 中 AB=CD， BC=AD，AC= CA ABCCDA（S.S.S）BAC= ACD，ACB=CAD（全等三角形的对应角相等） ABCD，ADBC（内错角相等，两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形归纳：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）边：一组对边平行且相等。已知：求证：证明：【参考答案】（2）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABCD求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：联结 AC，DACBDACB3 / 14 ABCD BAC=ACD在ABC 和CDA 中 AB=CD ，BAC=ACD，AC=CA ABCCDA（S.A.S）ACB= CAD（全等三角形的
4、对应角相等） ADBC（内错角相等，两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形归纳：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 备注：如果一组对边相等，另外一组对边平行是否可以说明是平行四边形？（3）角：两组对角相等。已知：求证：证明：【参考答案】（3）已知：如图，在四边形 ABCD 中，A=C，B= D求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：A+B+C+D=360 且A=C，B=D.A+B=C+D=180 ，A+ D=B+C=180 ABCD，ADBC四边形 ABCD 是平行四边形归纳：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（4）对角线：对角线互相平分。已知：求证：证明：【参考答案】（4）已知：
5、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AO OC，BO=OD 求证：四边形 ABCD 是平行四边形DBCA4 / 14 证明：在AOB 和COD 中AOOC，BOA= COD ，BO= ODAOBCOD（S.A .S）AB=CD同理可得：BC=AD四边形 ABCD 是平行四边形归纳：对角线互相平分的四边形是平行四边形问题 2：（1）判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据 DCAB4cm5ODCAB4.2c4.2cm6.8. DCAB1206图 1 图 2 图 3（2）看谁最快：如图，AB=DC=EF，AD=BC ，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？ AED
6、BFC【参考答案】 （1）图 1、2、3 均为平行四边形，理由略；（2）ABCDEF ，ADCB，DECFODBCA5 / 14 （此环节设计时间在 3040 分钟）【例 1】如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 、 F 分别是 AO、 OC 的中点求证：四边形 BFDE 是平行四边形 ABCDF【参考答案】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB= OD（平行四边形的对角线互相平分） 又点 E、F 分别为 AO、OC 的中点，OE=OF四边形 BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形） 【试一试】1由例 1 中的特殊点 E、F 推
7、广到较一般的，若 AE=CF，结论是否仍成立？为什么？ ABCDOFE2若 E、F 移至 OA、OC 的延长线上，且 AE=CF，结论是否仍成立？为什么？ ABCDOFE6 / 14 3若 E、F 、G 、H 分别为 AO、CO、BO 、DO 的中点，四边形 EGFH 为平行四边形吗？为什么？ABCDOGEFH4在问题 3 的条件下，选择图中的 A、B、C、D、E、F、G、H 为顶点，尽可能多地画出平行四边形。 ABCDOGEFH【参考答案】 1成立；证明过程与问题 1 类似；2成立；证明过程与问题 1 类似；3证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC ，OB =OD（平行四边形的对角
8、线互相平分） 又E、F、G 、 H 分别为 AO、CO、BO 、DO 的中点，OE=OF，OG=OH.四边形 EGFH 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形） 4 ABCDOGEFHABCDOGEFH7 / 14 【例 2】已知：如图，在等边ABC 中，D、F 分别为 CB、BA 上的点，且 CDBF，以 AD 为边作等边三角形 ADE求证：（1）ACDCBF； （2）四边形 CDEF 为平行四边形 FDCABE【参考答案】(1)ABC 为等边三角形，ACCB ， ACDCBF 60 又CDBF ，ACDCBF(2)ACDCBF，ADCF，CADBCFAED 为等边三角形，ADE6
9、0 ，且 ADDEFCDEEDB60BDACADACDBCF 60，EDBBCFEDFC四边形 CDEF 为平行四边形.【试一试】如图，在 ABCD 中，DAB=60 ，点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上，且AE=AD，CF=CB（1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“DAB=60” ，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 BOCA FED【参考答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，DCB=DAB=60ADE=CBF=608 / 14 AE=AD，CF=CB，AED，CFB 是等边三角形AEC= BFC=6
10、0，EAF=FCE =120四边形 AFCE 是平行四边形（2）解：上述结论还成立证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB ，CDA=CBA， DCB=DAB ，AD =BC， DC=ABADE=CBFAE=AD，CF=CB， AED=ADE ，CFB =CBFAED=CFB又AD= BC， 在ADE 和CBF 中ADECBF，AEDCFB，AD BCADECBF（AAS） AED=BFC，EAD=FCB又DAB=BCD， EAF=FCE 四边形 EAFC 是平行四边形【例 3】如图，在 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，CF 平分BCD 交 AD 于点 F，求证：四边
11、形 AECF 是平行四边形【参考答案】证明 四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，BAD =BCDAE 平分BAD，CF 平分BCDEAF = BAD，ECF = BCD1212EAF =ECFADBCEAF +AEC =180，ECF+AFC =180AEC= AFC四边形 AECF 是平行四边形FEAB DC9 / 14 说明 此题还可以用其它的判定方法来证明，请学生完成.此环节设计时间在 30 分钟左右（20 分钟练习10 分钟互动讲解） 。1下面各条件中，能够判定四边形是平行四边形的是（ ）A一组对边相等 B两条对角线互相垂直C一组对角相等 D两条对角线互相平分2如图，AC 是 AB
12、CD 的对角线，点 E、F 在 AC 上，要使四边形 BFDE 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填写一种情况） EABDCF3 已知：如图，点 E、G 在平行四边形 ABCD 的边 AD 上，EG=ED，延长 CE 到点 F，使得EF=EC求证：AFBG . FEB CA DG4如图，在ABC 中，AB=3，AC =4，BC=5，ABD，ACE，BCF 都是等边三角形求四边形AEFD 的面积10 / 14 AB CFD E5如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在 CD、AB 上，且 AFCE，FGAD 于 G，EHBC于 H。求证：四边形 EGFH 为平行四边形 （运用两种以
13、上的方法证明） EAB DCF HG方法 1：方法 2：【参考答案】1D； 2AE=CF 等；3证明：联结 FG，FD，GC EG= ED，EF=EC四边形 FGCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）FGDC， FG = DC（平行四边形对边相等且平行） 同理 ABDC，AB =DCABFG ，AB=FG 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）AFBG （平行四边形的定义）4 证FDB CABCEF 全等，得出 ADFE 是平行四边形 . FEA=FEC-AEC=90-60=30四11 / 14 边形 AEFD 的面积为 65 方法 1：先证
14、AGF CHE 得 FG=EH，AG =CH，再证 GDEHBF 得 GE=FH，从而四边形EGFH 为平行四边形方法 2：延长 GF 交 BC 于 M，可证 GFEH，再证AGFCHE 得 FG=EH，从而四边形 EGFH 为平行四边形（此环节设计时间在 510 分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾【巩固练习】1完成下列表格；平行四边形判定定理边两组对边分别_的四边形是平行四边形；两组对边分别_的四边形是平行四边形；一组对边_的四边形是平行四边形对角线 两条对角线_的四边形是平行四边形角 两组对角_的四边形是平行四边形2下列命题
15、中，正确的是( )A、两组角相等的四边形是平行四边形B、一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形C、一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形12 / 14 3已知：四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，如果只给出条件“AB CD”，那么还不能判定四边形 ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：如果再加上条件“BCAD ”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“BAD BCD” ，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“OA OC”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“DBA
16、 CAB”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( )A、 B、 C、 D、4已知：如图，M、N 分别是平行四边形 ABCD 的对边中点，AN 与 BM 交于点 P，CMDN 交于点Q求证：四边形 PMQN 为平行四边形 5如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BAE CDF，ABE DCF，求证：AD EF DFCEBA【参考答案】1平行，相等，平行且相等，互相平行，相等； 2D； 3C；4证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC，M、N 分别为 AD、BC 的中点，MD BN，MD =BN，AM=CN，AM CN，四边形 BNDM 与四边形 ANCM 是
17、平行四边形，13 / 14 ANCM，BM DN，四边形 MQNP 是平行四边形5证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，BAE CDF，ABE DCFABE DCFAE=DF ，又ABCDBAD+ CDA= 180 即BAE+EAD+CDA= 180BAE CDF EAD+CDA+ CDF = 180 即 EAD+ADF =180AEDF四边形 AEDF 是平行四边形AD EF【预习思考】类比三角形，分别从角和边的角度探究两类特殊的平行四边形。问题 1：推动点 A，使ABC 的大小发生变化； DBCA（1）在推动的过程中，四边形还是平行四边形吗？为什么？（2）当ABC=90时，得到一类特殊的平行四边形，即矩形（或长方形） ，说说看什么样的平行四边形叫做矩形？矩形： 。问题 2：平移 CD 边，使 BC 边的大小发生变化；14 / 14 DBCA（1）在平移的过程中，四边形也是平行四边形，又是为什么？（2）当 BC= AB 时，得到另一类特殊的平行四边形，即菱形，说说看什么样的平行四边形叫做菱形？菱形： 。问题 3：先推动点 A，使ABC 的大小发生变化；再平移 CD 边，使 BC 边的大小发生变化；CBAD当ABC=90且 BC= AB 时，再得到一类特殊的平行四边形，即正方形，说说看什么样的平行四边形叫做正方形？正方形： 。
