1、试卷第 1 页，总 3 页单调性与最大（小）值 习题（含答案）一、单选题1下列函数中，在 内单调递增的是 (0,+) ( )A B C D =1 =1 =2 =2+12设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，() () (1)=0 0则使得 成立的 的取值范围是 ()()0 ( )A B C D (,1)(0,1) (0,1) (1,0)(1,+) (,1)3关于函数 有如下命题：=( 92+13) ；()()0 ； (3)=0直线 是函数 的图象的一条对称轴；=6 =()函数 在 上为增函数；=() 9,6函数 在 上有四个零点.=() 9,9其中所有正确命题的序号为（ ）A B C D 5
2、函数 的图象大致为（ ）()=2+|A B C D 试卷第 2 页，总 3 页6 设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是（ ）()=2 ， 0 ， 0的解集是( )A B (3， 1) (1， 1)(1， 3)C D (3， 0)(3， +) (3， 1)(2， +)8下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )A B C D =| = =1 =29已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围()=(21)+,2(1),1 13已知函数 ，则不等式 的解集为()=2 (221)+()0_.14已知函数 的最大值为 ，则 的值为()=22+3(04,01) 4 _15已知函数 ，则不等式 的
3、解集为()=122 (+1)(13)0_试卷第 3 页，总 3 页三、解答题16已知函数 (0a1)为增函数()=+4（1）求实数 a 的取值范围；（2）当 a4 时，是否存在正实数 m，n(mn)，使得函数 的定义域为m，n，值域为() ， ？如果存在，求出所有的 m，n，如果不存在，请说明理由 2217已知函数 .()=1（）求 的单调区间；()（）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ）1 ()(+1) =2.7182818已知函数 ()=4(2+2+3)若 ，求 的单调区间；() (1)=1 ()是否存在实数 a，使 的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理() (
4、)由19已知函数 .()=22(+1)+2+2+1()（1 ） 时，求 在 上的单调区间；=2 () (0,2)（2 ） 且 ， 均恒成立，求实数 的取值范围.0 1212+1 20已知函数 ()=(+1)2+1（1）令 ，判断 g(x)的单调性；()=()（2）当 x1 时， ，求 a 的取值范围()0【详解】解：设 ，则 的导数为：()=() ()，()=()()2当 时总有 成立， 0 ()0 ()当 时，函数 为减函数， 0 ()=()又 ，()=()=()=()=()函数 为定义域上的偶函数， ()又 ，(1)=(1)1=0答案第 2 页，总 15 页函数 的大致图象如图所示： ()
5、数形结合可得，不等式 等价于 ，()0 ()0即 或 ，0()0 0 (,1)(0,1)故选： A【点睛】本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数 ，在不同的题目中，构造的函数是不()相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.3 A【解析】【分析】研究函数 的奇偶性、单调性、 图形即可做出判定=( 92+13)【详解】函数 =( 92+13)恒成立 92+130故定义域为 ，则值域为 ，故正确 ，()= ( 92+1+3)，()+()= ( 92+1+3)+( 92+13)=
6、1=0，图象关于原点中心对称，故 正确()=()答案第 3 页，总 15 页，92+13=92+131 = 192+1+3可知 单调递减192+1+3单调递减=( 92+13)故 ，故正确()()0故 在 上为增函数() 0， 3是偶函数，故 在 上为减函数() () 3， 0函数 是周期等于 6 的周期函数 ()故 在 上为减函数，故 错误() 9， 6 函数 是周期等于 6 的周期函数 ()(9)=(3)=(3)=(9)=0，答案第 4 页，总 15 页故函数 在 上有四个零点，故正确=() 9,9综上所述，则正确命题的序号为故选 【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在
7、求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。5 A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可【详解】函数 是偶函数，排除选项 B，C；()=2+|当 x0 时， ，()=2+()=2+1 0 在 上单调递增，排除 D() (0， +)故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6 B【解析】【分析】由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得 在 上单调
8、递増，原不等式等价于() ,解不等式即可得到所求解集.+10解两个不等式组，所得解集求并集后即可得到结论【详解】函数 f(x)为奇函数且在(,0)上单调递减，f(x)在(0,+)上也单调递减，不等式(x1) f(x1)0 可变形为 或 ，10(1)0 10(1)(2) 1012 原不等式的解集为x|10,(12)=3+34+1330,(12)=3+34+1330,+2=2所以 上恒成立，所以函数 f(x)在（0，+）上单调递增，()0在（ 0， +）因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以函数 f(x)是 R 上的增函数，所以 ,(221)()=()答案第 9 页，总 15 页所以 .
9、22-1,112故答案为： 1,12【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14 22【解析】【分析】配方， ()=22+3=2(4)2+28+3分析对称轴 与区间 的关系，求最大值，列方程求解=4 0,1【详解】()=22+3=2(4)2+28+3, 取得最大值，04,041当 =4时 ， ()28+3=4,解得 ， =22【点睛】本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系15 (,01,+)【解析】求导可得 ，所以 在 R 上单调递减，且 ，()=+,()=1+0
10、 () (0)=0所以当 x0 时， 。所以函数 f(x)在 上单调递增，在()0 ()1【解析】答案第 10 页，总 15 页【分析】（1）根据题意得到 恒成立， 又 ，进而得到参数值;()=1+14=140 40 1(2)根据题意得到函数表达式为 ， 在 上单调递增, ，进()=24() , 24=224=2 而得到 m、n 是方程 的两个根，求出 m,n 的值.24=2【详解】（1）由 得： 又 ，所以 或()=1+14=140 40 1 141（2）当 a=4 时， , 在 上单调递增,()=24 () , 24=224=2 m、n 是方程 的两个根.解得：m=2,n=424=2存在满
11、足条件的 m，n，且 m=2,n=4.【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.17 (1) 在 上单调递减，在 上也单调递减；(2)见解析.() (0,1) (1,+)【解析】【分析】（1）求导后分析导数的分子的正负，构造 ，利用导数可分析 的正负，()=11 ()即可得到函数单调区间（2）因 故 ，因此只需证明1(+1) (+1)，先证明 时的情况，构造 可证明1+1,(0,1)(1,+) (1,+) ()=21，再证明 时的情况,证明 即可.()(1)=0
12、(0,1)11+1【详解】（1）定义域 ， (0,1)(1,+)()=11(1)2令 ，则 ，所以 在 ，()=11 ()=12 () (0,1,1,+)故 时， ，也即 ，因此， 在 上单调递减，(0,1)(1,+) ()+1,(0,1)(1,+)先证明 时的情况：(1,+)此时 ，令 令210 ()=21,()=+322，()=+322,()=+3241,()=+640(1)故 在 ，故 在 ，于是() (1,+)()(1)=20() (1,+)在 ，()(1)=20()0() (1,+)因此， 时 ，即(1,+)()(1)=0 210下面证明 时的情况：(0,1)令 ，故 在 ，()=1
13、,()=10 () 0,1)于是 时 ，令 ，故 在(0,1) ()(0)=0+10 ()故 时， 即 即 ，证毕；(0,1(0,1) ()1+1【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题 .解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.18 （ I）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（II）存在实数 ，使 的最小(1,1) (1,3) =12 ()值为 0.【解析】【分析】根据 代入函数表达式，解出 ，再代入原函数得 ，() (1)=1 =1 ()=4(2+2+3)求出函数的定义域后，讨论真数对
14、应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间； 先假设存在实数 a，使 的最小值为 0，根据函数表达式可得真数() () ()恒成立，且真数 t 的最小值恰好是 1，再结合二次函数=2+2+31的性质，可列出式子： ，由此解出 ，从而得到存在 a 的=2+2+3 0(1) =0 =12值，使 的最小值为 0()【详解】答案第 12 页，总 15 页且 ，()()=4(2+2+3)(1)=14(12+21+3)=1+5=4=1可得函数 ()=4(2+2+3)真数为 2+2+3011函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ()=4(2+2+3) (1,1) (1,3)设存在实数 a，使
15、的最小值为 0，() ()由于底数为 ，可得真数 恒成立，41 =2+2+31且真数 t 的最小值恰好是 1，即 a 为正数，且当 时， t 值为 1=22=1 0( 1)2+2(1)+3 =1 01+2 =0 =12因此存在实数 ，使 的最小值为 0=12 ()【点睛】本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题19 （ 1） 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；（2 ） .() (0， 1) (1,2) 1【解析】【分析】（1）求出 ，令 在 内求得 的范围，可得函数 增区间，令() ()0 (0， 2) ()在 内求
16、得 的范围，可得函数 的减区间；（ 2） 时，()1,即 ； 时，2(2+1)(1) 2+2+22+1 00) ()值，从而可得实数 的取值范围.【详解】（1 ） 时， ，设 ，=2 ()=2(12) ()=()当 时， ，则 在 上是单调递减函数，(0,2) ()=220在 上 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；(0， 2) () (0， 1) (1,2)(2) 时， ,即 ，1 2(2+1)(1) 2+2+22+1时， ,即00)则 ()=1+22+12(1)(+2+1)2时， ， ， 在 上单调递增=1 (2+1)=1 ()=(1)22 0 () (0,+) 时， ； 时， ， 符合题意
17、;1 ()(1)=0 01 11 ()0时，设 为 和 0 中的最大值，当 时， ，1 (2+1) (1)=0 00 函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）讨论 的范围，分别() ()0 22 ()=0 1=284 0， 2=+284 0，在 上 ， 为减函数；在 上 ， 为增函数；(0,1) ()0 ()在 上 ， 为减函数 (2,+)()22 (0,1) ()0 ()函数；在 上 ， 为减函数 (2,+)()0当 时， 为（1，）上的减函数，又 ，10 () (1,0)因为 ，(1)=(+1)112+1=0所以 ，即 1 a 时不满足题意 ()(1)=0 22当 时，由于
18、 ，所以对 与 1 的大小关系讨论如下，22 10 () (1,0)又 ，则 ，即 时不满足题意(1)=0 ()(1)=0 221 3 () 2则当 时， ，于是 为 的增函数，(1,2) ()0 () (1,2)又 ，则 ，即 时不满足题意(1)=0 ()(1)=0 3综上所述，a 的取值范围为 (,1【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
