1、1,中国剩余定理与FFT,2,黄蓉的题目,射雕英雄传中，郭靖和黄蓉离开瑛姑所住的沼泽地时，黄蓉给瑛姑留了三道题。当中的第三道题目，便是著名的鬼谷算：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？,3,基础知识,一次同余式:例如:7mod4=3而且有3mod4=3,那么就说7和3关于4同余注意点:如果有一个数A模另一数B为1;C模B为C,那么(A*C)modB=C.例如:5mod4=1,那么(5*3)mod4=3如果一个数D为B的倍数,那么(C+D)modB=C,4,求解,题中(3,5)=1;(5,7)=1;(3,7)=17*5=35;3*5=15;3*7=21;3*7*5
2、=105构造一个数N=A+B+C,使得N mod3=A mod3,那么B与C须为3的倍数;N mod5=B mod5,那么A与C须为5的倍数;N mod7=C mod7,那么A与B须为7的倍数;A=70a;B=21b;C=15c其中a,b,c都为整数.取A=70*2+21*3+15*2 mod 105答案: 23,5,孙子歌,三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。志雅堂杂钞,三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。算法统宗卷四,6,人物介绍,秦九韶字道古，南宋人。成就：数书九章。亮点：正负开方术；大衍求一术。作用：正负开方术 高次方程数值解 大
3、衍求一术 求解一次同余组 物不知数一次同余组的求解,7,秦先生与一次同余式,1. 在南北朝时期，祖冲之先生在大明历（公元462年）中要求历元必须 是“日月合璧”、“五星联珠” 对天文学家而言这是必解的十个同余式。2.秦先生小时候曾上过学，学习的地方：太史局；学习内容：天文历法。3.秦先生将一次同余式的求解上升到了定理的高度大衍求一术，即中国剩余定理，又名孙子定理。,8,中国剩余定理,中国剩余定理：设 是两两既约的正整数，那么对任意整数 ，一次同余方程组 ，必有解，且解数为1。其解为:其中,9,一次同余式在欧洲,意大利数学家斐波那契（11701250）。整体水平孙子算经；时代秦九韶。大数学家欧拉
4、（17071783）于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形，给出了严格证明。1876年，德国马蒂生（18301906）指出秦九韶关于孙子问题的解法和高斯方法一致。,10,PFA与中国剩余定理,映射k的选择剩余定理的解两式相对应,如何实现快速运算?奥妙:线性映射的选择,11,PFA,线性映射:源自: GOOD, 1971年“The relationship between two fast Fourier transforms”分解后的计算式:,12,PFA与中国剩余定理,带来的好处:,带来的好处:,13,总结,德国著名数学史家康托（18291920）高度评价了“大衍术”，并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才” 美国的数学史专著十三世纪的中国数学， 1973年，在评论素九韶的贡献的时候称秦九韶为“他的民族”另一个有名的用途：密码学。,
