1、1圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系 20021111 班 朱家庆 指导教师 向长福摘 要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这
2、些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in se
3、nior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always
4、know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle
5、 and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical probl
6、ems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1 引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.
7、2F2F1 OyxPyxO F2F1P圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献2主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献7主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献2、7都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献1、10主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献2、7的不足之处.文献9主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线
8、焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力2 圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形 1.2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆 的两个焦点 ， 及椭圆上任意一点 （除长轴上两个端点外）为顶点的)0(12bayx1F2P，叫做椭圆的焦点三角形 2.21PF设 = ， = ， =，椭圆的离心率为 ，则有以下性质：21FP12e性质 1: .cos21b证明：在 中，由余弦定理，有21PF 22121
9、221 )(coscPFPFa224a整理，得 22121cos4a .cos1221bPF例 1 如图： 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上， 是面积为1F2 )0(2bayx 21 的正三角形，求 的值b分析：此题按常规思路是从 入手，即 ，12POFSS224360sin1cPOF求得 所以点 的坐标分别为 ， .由于点 在椭圆上，有 .342cc322acb3解此方程组就可得到 的值但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质 1 求解可使运2b算得以简化解：连接 则 ， 有,1PF902 212PFPOFS90sin12PF.90sinco142b性质 2: t
10、an21SPF证明：由性质 1 得 sin2211 PFSPF .2tancos1in2bb例 2 已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点，且 ，求 的面1212564yxP321PF21PF积分析：如果设 点的坐标为 ，由 点在已知椭圆上且 ，利用这两个条件，列出关于 ,P),(yxP321Fx的两个方程，解出 , 再求 的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径知道y 21F，可以直接利用性质 2 求解，使运算量简化.321F解： tan21bSP.356tan21PFS例 3:已知点 是椭圆 上任一点，且 .),(0yx)0(2byx 21PF求证： .2tan0cb证明：
11、 0121 ychFSPF2tan21bSPF 01yc2tanb0y.tan0by4例 4:点 是椭圆 上一点，以点 以及焦点 、 为顶点的三角形的面积等于 1，求点 的坐P1452yxP1F2 P标分析：要求点 的坐标，不妨设 点坐标为 ，由 点在已知椭圆上和 的面积等于 1，可),(0yxP21F列两个方程，解方程可得点 的坐标此题也可在例 3 的基础上进行求解 3P解：设 点坐标为 ,则有 P)(0yx cScbPF12tan210 2ba.10y把 代入 得10y1452.50 .2515），） ， （，） ， （，） ， （，坐 标 为 （点 性质 3 : .)arcos(2bO证
12、明：由正弦定理，有 sinisin2121FP )(180sinsisin21 PF2cossi2)si( 2sicos2cscosaPF21)(4221bacos12ba即 . 因为 ，所以 .2cosab02rcs当点 P 在长轴上的端点时， ，这时， 不存在，因此， 4.21PF)12arcos(0b性质 4:离心率 .2cose证明：由正弦定理，有 )sin(sin21211 FPF 2cossin2isn)(21 P5F2F1yxOBAF2F1POyx.2cosea例 5 （2004 年福建高考题）已知 、 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 、 两1F1FAB点，
13、若 是正三角形，求这个椭圆的离心率 5. 2ABF分析：由 是正三角形可知 ，根据椭圆的第一定义可求得 .12A a23再由 可求得离心率 e.若用性质 4 解题，求解更简便2130cosAF解：根据已知条件有 （如图）.30,90211 AF.cos62cos2cse性质 5: .e1tan证明：由正弦定理，有 sinisi212FP sin)(sin21 PFsin)(ace 2cosi2 2si2cos2cos.2tan1e1tan例 6:如图， 是椭圆 上一点， 、 是焦点，已知 求椭圆的离心率P1byx1F2 ,2,121FP6分析：知道 我们可以直接利用性质 5 解题,2,121F
14、解：由性质 5 有 ee 1cos2incosi2inta26O F2F1Pyx化简，得e1cos12.1cos2e2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线 的两个焦点 、 及双曲线上任意一点 （除实轴上两个端点外）为)0,(12bayx 1F2P顶点的 ，叫做双曲线的焦点三角形 7.1PF设 = ， = ， =，双曲线的离心率为 ，则有以下性质：22112Pe性质 1: .cos21b证明：在 中，由余弦定理，有21PFcs21 221)(cF 由得 a212121 4aPP .cos1221bP例 1:设 和 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，求 的面积.1F2962yx 902
15、1F21F解： .180coss221 bP sin212PS性质 2 : .cot21SF证明：由性质 1 得 sin2121 PFPF sinco12bcos1i2.sincotatt21bSPF例 2:已知点 （ ） 、 （ ） ，动点 满足 .当点 的纵坐标是 时，10,220, 2 21若令 ，求 的值PFcot解：由双曲线的第一定义可知点 P 的轨迹方程为 则 .所以).0(12xy,12cb2121cSPF7F2F1PO xy.2cot2b例 3:设点 是双曲线 上任一点，且 )0(,0yxP )0,(12bayx ,21PF求证： .2cot0by分析：此题根据已知条件列方程求
16、解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于 和 的高相0y21PF等，不妨从 的面积入手进行求解.21PF证明： 02121yS2cot21bSPF 2cot10byc0y.2cotb性质 3:离心率 （ ）.2sine证明：由正弦定理，有 )sin(isii 212121 FPF sini.)sin(isn2121PF即 又 .2sicoa2cossi 02cos,o 2sinace例 4:（2002 年上海高考题） 如图，已知 、 为双曲线 的焦点，过 作垂1F2 ),(12byaxF直于 x 轴的直线交双曲线于点 ，且 .求双曲线的渐近线方程P3021分析：由于双曲线的渐近线方程为 ，
17、若能求出 , 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我xabyb们不易求出 , 的值，我们将 作一下变形， ，若能求出ab 22222 )1(xexacxy e 的值，则渐近线方程就求出知道 ， ，利用性质 4 可求 e.3021FP9012FP8MF2 F1ONyxFQA2A1PMNOyx解： 30sin62sie.2xy性质 4 :（1）当 P 点在双曲线右支上时 .1cottane（2）当 P 点在双曲线左支上时 2证明：（1）当 P 点在双曲线右支上时 由正弦定理，有.1aPF sinisin2121FP)sin(2 )sin(si12caF sii)(ace 2sinco2i2sinc
18、o2si2si 2cotta1 .1ttane例 5:（2005 年福建高考题）已知 、 是双曲线 的两焦点，以线段 为边1F)0,(byx 21F作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率 8.21FM1解：连接 ，则 所以N306021N.13)2( 320tan451t)3045tan(tco1.6t2tan eee3 圆锥曲线焦点弦的性质性质 1:过椭圆一个焦点 的直线与椭圆交于点 、 ， 、 为椭圆长轴上的顶点， 和 交于点 ，FPQ1A2 PA12N和 交于点 ，则 .PA2Q1MNF9A NMQFPyx证明：如图，设椭圆的方程为 ，)0(12bayx则可设点 的坐标为
19、 点 、 的坐标分别为 ，F),0(cPQ)sin,co(b，则 的方程为 )sin,co(baA1 .)s1(inaxaby的方程为 由得 QA2 ).(cosixay 2cossin)sin()(i a由于点 、 、 共线，则有 化简，得PFcabcbosinsin )i(ica 将式代入式，得02sin 2i2cosa c2coscax所以，点 的坐标为 同理，点 的坐标为 9.N).1(cosin,(2abM)1(cosin,(2ab即 .1)()(si422 bcacKNFM .NF性质 2:过双曲线一个焦点 的直线与双曲线交于 、 两点， 、 为双曲线实轴上的顶点， 和PQ1A2
20、PA1相交于点 ， 和 相交于点 ，则 .QAA12MNF证明与性质 1 的证明类似，从略性质 3:过抛物线的焦点 的直线与抛物线交于两点 、 ， 为抛物线的顶点，过 点作抛物线对称轴的平FPAP行线交 于点 ，过 点作抛物线对称轴的平行线交 于点 ，则 .AMQNM证明：设抛物线方程为 ，则点 、)0(2pyxQ的坐标可分别设为 ， .,(1t)2,pt因为 、 、 三点共线，所以PFQ21tt10化简，得 . 又 的方程为 ， 的方程为 142tPAxty1QN,2ptx由得 即 点 的坐标为 . 同理点 的坐标为 10.pyN)2,(pM)(1即 .121ttKNFM .FM4 总结文章
21、主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.参考文献1唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微J.数学通报,2000,(9):2425.2熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质J.数学通报,2004,(5):2425.3人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）M，北京：人民教育出版社，2004.4李
22、迪淼.关于椭圆的十个最值问题J.数学通报,2002,(4):2425.5任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）M.海南：南方出版社，2005.6薛金星.中学教材全解高二数学（上）M.陕西：陕西人民教育出版社,2003.7徐希扬.双曲线焦点三角形的几个性质J.数学通报,2002,(7):27.8潘际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势M.吉林：延边大学出版社，2005.9李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质J. 数学通报,2001， （5）：23.10毛美生 范慧珍.圆锥曲线的一组相关性质J.数学通报,2002,(12):2728.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，现行高中
23、教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关内容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。文章通过大量的资料查阅、素材积累，在分析、归纳、探索的基础上，给出了椭圆、双曲线焦点三角形的七条性质及圆锥曲线焦点弦的三条性质。11其中椭圆、双曲线焦点三角形的七条性质是在文献2、7中几个例题的基础上经过分析、综合，升华而提出的，并给出了严格的数学证明；圆锥曲线焦点弦的三条性质是在文献9的基础上归纳、总结、整合而成的，也给出了严格的数学证明。文章的闪光点在于：通过对他人文献的研究，在对一些零散例子分析，探索的基础上而提出了独立的理论体系，较好的解决了圆锥曲线中参数 a，b，离心率 e、焦点三角形面积和焦半径四者之间的联系及计算的转换的问题，这等价于解决了中学解析几何的难点。文章表明，作者已具备了一定的查阅资料，研究阅题的能力，就文章本身而言也达到了优秀毕业论文的水平。建议评为优秀毕业论文。建议：可否把椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形的性质统一起来。
