1、- 1 -整式的乘除【知识点归纳】1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如： 的 系数为 ，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0。bca222.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如： ，项有 、 、 、1，二次项为 、 ，一12xab2abx2ab次项为 ，常数项为 1，各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-x2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整
2、式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如： 12233yxx按 的升幂排列： 323xyx- 2 -按 的降幂排列：x 12233yxx按 的升幂排列：y 331按 的降幂排列： 1233xyxy5、同底数幂的乘法法则： （ 都是正整数）nma,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： 532)()()(baba6、幂的乘方法则： （ 都是正整数）mn,幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 10253)(幂的乘方法则可以逆用：即 mnmnaa如： 2326)4(47、积的乘方法则： （ 是正整数）nba积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（ =52
3、3)zyx 51052533)( zyxzyx8、同底数幂的除法法则： （ 都是正整数，且nma,)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 34)()(baab9、零指数和负指数；- 3 -，即任何不等于零的数的零次方等于 1。10a（ 是正整数） ，即一个不等于零的数的 次方等于这个p,0 p数的 次方的倒数。如： 81)2(310、科学记数法：如：0.00000721=7.21 （第一个不为零的数前面有几610个零就是负几次方） （注意保留有效数字）11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
4、。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如： xyz3212、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ( 都是单项式 )mcbacbam)( ba,- 4 -注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如： )(3)2(yxx13、多项式与多项式
5、相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如： )6(532xba14、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项2)(ba公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： )(zyx15、完全平方公式： 22baba公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。注意： ababba2)(2)(2 - 5 -abba4)()(22222)( 222)()()( baba完全平方公式的口诀
6、：首平方，尾平方，加上首尾乘积的 2 倍。16、三项式的完全平方公式： bcacbacb2)(2217、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如： bam2429718、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： .cbamcbmacbma )(【历年考点分析】整式的运算是初中数学的基础,是中考中的一个重点内容.和整式有关的考点
7、主要涉及以下几个方面：1.幂的运算;2.整式的乘法运算;3.因式分解.具体分析如下:- 6 -考点 1:幂的有关运算例 1 下列运算中,计算结果正确的是（ ）(A)a4a3=a12 (B)a6a3=a2 (C)(a3)2=a5 (D)(-ab2)2=a2b4.分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算。幂的运算是整式乘除运算的基础。准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则。解：根据同底数幂的乘法运算法则知 a4a3=a4+3=a7，所以（A）错；根据同底数幂的除法法则知 a6a3=a6-3=a3。所以（B）错；根据幂的乘方运算法则知(a 3)2=a3
8、2=a6，所以（C）错；所以选（D） 。考点 2:整式的乘法运算例 2 计算：(a 24)(a-3)-a(a 2-3a-3).分析:本题是一道整式乘法综合计算题,解题时应先算乘法,然后再算加减,注意其去括号时符号的变化.解：(a 24)(a-3)-a(a 2-3a-3)=a3-3a24a-12-a 33a 23a=7a12.例 3 如图 1 所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第 n 个图形中需用黑色瓷砖_块.（用含 n 的代数式表示）.- 7 -（1） （2） （3） （n）图 1分析:观察发现,第 1 个图形有黑色瓷砖 35-31(块);第 2 个图形有黑色瓷
9、砖 46-24(块);第 3 个图形有黑色瓷砖 57-35(块),依次类推,第 n个图形有(n+4)(n+2)-n(n+2)块.解:(n+4)(n+2)-n(n+2)=n 2+4n+2n+8-n2-2n=4n+8.考点 3:乘法公式例 5 先化简，再求值:(x+y)(x-y)+(x-y) 2-(x2-3xy).其中 x=2,y= .21分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用,化简时还有注意去括号符号的变化.解: (x+y)(x-y)+(x-y) 2-(x2-3xy)=x2-y2+x2-2xy+y2-x2+3xy=x2+xy.当 x=2,y= 时,原式=2 2+2 =4+1=5.11
10、例 6 若整式 是一个整式的平方，请你写满足条件的单项式 Q 是 .42Qx分析：本题是一道结论开放题，由于整式包括单项式和多项式，所以可分类讨论可能出现的情况，当 是一个单项式的平方时， Q=4x 或-4x142Qx或 4x4；当 是一个单项式的平方时，Q=-1 或-4x 2，12Qx- 8 -解:可填 4x 或-4x 或 4x4或-4x 2或-1.考点 4: 整式的除法运算例 7 先化简,再求值:(x-y) 2+(x+y)(x-y)2x,其中 x=3,y=1.5.分析:本题的一道综合计算题,首先要先算括号的,为了计算简便,要注意乘法公式的使用,然后在进行整式的除法运算,最后代入求值.解:
11、(x-y) 2+(x+y)(x-y)2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.当 x=3,y=1.5 时,原式=3-1.5=1.5.考点 6:因式分解例 8 观察下列等式：12+21=1(1+2),22+22=2(2+2),32+23=3(3+2), 则第 n 个式子可以表示为:_.分析:观察已知各等式,可以发现,等式的左边是两项,第 1 项是是从 1 开始的整数的平方,第 2 项是 2 与这个整数的乘积,所以左边可用一般式子表示为n2+2n(n1 的整数),每一项等式的右边是这个整数乘以这个整数与 2 的和的积,所以可用一般的式子表示为 n(n+2),所以
12、第 n 个等式为 n2+2n=n(n+2).本题实际是因式分解的变式应用.- 9 -解: n 2+2n=n(n+2).一、细心选一选(本题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分。每小题只有一个答案，把答案写在题后的括号内。)1化简 2a 3 + a2a 的结果等于（ ） A3 a 3 B2 a 3 C3 a 6 D2 a 62下列各式中，不能够运用平方差公式计算的是（ ）A （a1） （1+a） B （xy） （yx）C （x+2y1） （x2y+1） D （ab+c） （abc）3如果整式 x 2 + mx +9 恰好是一个整式的平方，那么常数 m 的值是（ ）A6 B3 C3 D64
13、已知 x =3，则 x2 等于（ ）A7 B9 C11 D135 计算（0.5） 200722009的结果是（ ）A4 B0.25 C4D0.256若 a=32 ，b=3 2，c=3 0，d=3 3 ，则 a，b，c，d 的大小关系是（ ）Aabcd Bbcad Ccadb Ddbac7若 n 为正整数，则1（1） n（n 21）的值是（ ）A是整数但不一定是偶数 B一定是偶数 C不一定是整数 D一定是零 8计算（ab） （a+b） （a 2+b2） （a 4b 4）的结果是（ ）Aa 8+2a4b4+b8 Ba 82a 4b4+b8 Ca 8+b8 Da 8b 89下列计算中：a ma na
14、 mn ；(3a m+n)227a 2m+n ；(2a nb3)(abn1 ) an+1bn+2 ；631x 1x2- 10 -（x） 5（x） 3=x 2 ； a 5（a） 3a 82a 8，正确的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个10一块正方形铁皮的边长为 a，如果一边截去 6，另一边截去 5，则所剩长方形铁皮的面积表示成(a-5)(a-6)；a 2-5a-6(a-5)；a 2-6a-5(a-6)；a 2-5a-6a+30；其中正确的有 （ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、你一定能填对(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)11计算：a 26a+_=（a
15、3） 2； (x-3)(x+3)=_； 2 0 + 21 =_。12澳洲科学家称他们发现全世界最小、最轻的鱼，取名为胖婴鱼。据说该鱼雄性成鱼体长平均仅 0.7 厘米、雌鱼 0.84 厘米，要一百万尾才能凑足一千克。一条胖婴鱼成鱼的质量为_千克（用科学记数法表示） 。13如果多项式（x2）与（xk）的乘积中不含 x 的一次项，则常数 k 的值为_。14计算：a 6a2a3 _； （3x 2y2xy 2）（_）3x2y； _。245a15若 x+y=5，xy=1，则 xy=_。16若 2n3，3 n5，则 36n _。17有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为 。18计算： _(
16、结果用幂的形式表示)。)12()1(84219定义一种新运算： a*baba 2b 2，那么(xy)*(xy)= 。20将正整数 1，2，3，从小到大按下面规律排列。若第 4 行第 2 列的数为32，则（1）n= ；（）第 i 行第 j 列的数为 （用i,j 表示） 。第列 第列 第列 第 n 列第 1 行 1 2 3 n第 2 行 n+1 n+2 n+3 2n - 11 -第 3 行 2n+1 2n+2 2n+3 3n 三、耐心答一答（共 50 分）21 （本题 6 分）用简便方法计算（1）0.125 2005（8） 2006 （2） 1243222计算（每小题 3 分，共 12 分）：(1
17、) xy xy (2)(6m2n6m 2n23m 2) (3m 2)（3） （1） 2009（0.5） 2 （3.14 ） 0；（4） （2x 3y） 2（2xy）（2x 3y） 3（2x 2）23 （每小题 4 分，共 12 分）先化简，再求值：（1） （x3） （x4）x（x2)，其中 x3 ；（2）(2x1) 29(x2)(x2)5(x1)(x3)，其中 x=2；12 2312- 12 -（3） ，其中 a ， ；22 11abab 2b参 考 答 案一、选择题：ADDCA CBBCD二、填空题：11. 9 , x2-9 , 3/2 12. 110-6 13. 2 14. a7 xy , a 26 15. 6 16. 225 17. 2x2+xy 18. 216 1 19. x2-y2+4xy 20. 10, 10i+j 10三.解答题:21. (1)8 (2) 1; 22. (1) -1/3 x2y2 (2) 2n+2n 2+1 (3) 2 (4) 12x 7y323. (1) x-12, 17/2 (2) 6x+22 , 34 (3) 4a 2 4ab2b 2, 1324. (1)x= 6 (2) 4a2+3ab , 124 25. xa mx;ax30 man(xa);x30 man(30a)2m(x30) 26. (1)略 (2)312- 13 -
