1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛
2、章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 指导教师组 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
3、）日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1SARS 的传播摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性和应用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区的数据进行预测，后期预测不够准确；第三，早期模型中参数 L,参数 K，存在不合理性。针对
4、早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段。将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到 SARS 传播模型。采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计 2514 人，与实际情况比较吻合。应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病人数：“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间。在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播的机理，获得有
5、效的数据。而题目所提供的累计确诊人数并不等同于同期的患病人数，这给模型的建立带来了不小的困难，函数的求解则是基于 MATLAB 来进行的。本文中分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常。最后给当地报刊写上一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性，并对此方式加以倡导。关键词：SARS 传播 SIR 模型 离散化 MATLAB 半参数回归模型2一、 问题重述SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，严
6、重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1. 对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。2. 对 SARS 的传播建立一个自己的模型，并说明：（1） 为什么优于附件 1 中的模型；（2） 特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？（3） 对于卫生部
7、门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。3. 收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3 提供的数据供参考。4. 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、 符号说明符号说明见表 1.表 1符号 含义S（t） 易感类人群占城市人口总数的比例I（t） 传染类人群占城市人口总数的比例R（t） 排除类人群占城市人口总数的比例（t）SARS 患者的就诊率 =时 刻被隔离的 患者数时 刻全社会 患者 总 数 单位时间内一个传染者与他人的接触率L 平均传染期三、
8、对早期模型的评价和分析针对 2003 年在我国某些地区突发的 SARS 流行疫情，附件 1 给出了一个早起的分析预测模型，此模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。该模型用指数方程得到的解析公式解析了北京 SARS 疫情的前期走势。在此基础上，引入了传染期限 L 对增长速度的影响，并考虑不同阶段平均传染概率 k 的变化。根据 5 月 7 日前公布的疫情区的 SARS 累计病例数目，分别对广东、香港、北京的疫情进行计算和分析，拟合出比较合理的参数。3从而大致判断出北京早期的实际病例数。最后将广东、香港的参数分别应用于北京的情况，对北京未来的疫情走势进行了预测，估计出最
9、终累计病例数，并进行比较分析。在数据拟合方面，该模型中有两个疑点： 1、感染期限 L 的确定。由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据 ,通过人为调试来确定 L 的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。 2、文中认为“K 代表某种环境下一个人传染他人的平均概率” 。但从模型的公式中可以看出，参数 K 的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。 从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区广东、香港的有
10、关参数对北京的疫情进行预测的。由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到 5 月 8 日为止每日新增病例已降至 10 来例，基本处于后期控制阶段。而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。可见在当时，采取这种借鉴是无奈之举。 但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。（1） 合理性：该模型在原有的 SIR 传染病模型的基础上进行了改进，考虑到传染期限对疫情的影响，结合实际公布数据估计出这
11、个固定参数的范围，并控制参数 K 分段分析，得出了不同地区不同平均传染概率下的疫情曲线图。引入参数合理，有意义。由附件图中可以看出，5月 7 日前各地的累计病例数与实际公布的累计病例数拟合的很好，误差很小。同时通过求导也给出了不同参数下日增病例数的变化情况。将香港、广东、北京的拟合图样进行比较分析，对三地的疫情发展的原因进行了较为详细、合理的分析。（2） 实用性：该模型设定的每个参数都具有实际意义，通过调整可控参数即可控制疫情的走势。欲对某地区日后的疫情进行预测，只需对固定参数 L 进行确定，代入方程并给出初值即可；若要在限定时间内时某地区疫情得以控制，只需调整其可控参数 K，因此可硬此模型给
12、出在一定参数疫情的发展态势。针对北京的统计数据，用合理的参数可以大致判断出 SARS 早期传播时较为准确的累计病人数，进而得到由于瞒报、漏报造成的统计数据的误差。该模型可为当地政府提供较为准确的预报值并对政府的决策行为提供建议与指导，具有一定的实用性。四、 SARS 的传播模型(一) 问题的分析与准备由于早期模型缺少对 SARS 传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析。SARS 的传播大致经历了 4 个过程，相关描述可按照 Kink 于 1986 年提出的4危机“四阶段说” 。第一阶段是征兆期。在 SARS 传播初期，由于 SAR
13、S 感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低。第二阶段是迅速爆发期和蔓延期。当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果。在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增。第三个阶段是高峰期。当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高。第四
14、个阶段是衰退期和有效控制期。在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期。在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了 4 个阶段的最后时期。有了以上的分析，建立的模型就应该体现 4 个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病 SIR 模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS 的分段微分方程模型，称为 SARS 传播的 SIR 改进模型。(二) 基本假设1. SARS 的持续期不太长，可以忽略在 SARS 持续期内的城市人口的自然出生率和自然死亡率。2. 被 SAR
15、S 感染后经治疗康复的人群在 SARS 流行期不会被再次感染。3. 病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用。4. 不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究 SARS 疫情的发展过程。(三) 常用基本模型针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进。考虑在经典传染病模型 SIR 的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述 SARS 的传播过程。为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究 SARS 的传播机理。那么，整个社会人群可以分为 3 类：S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病。I 类：称为传染类，该类成
16、员已经染上传染病，而且可以传染给 S 类成员。R 类：称为排除类或恢复类，R 类成员或者是 I 类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等。I 类成员转化为 R 类后，立刻失去传染能力。S(t)、I(t)、R(t)分别表示 t 时刻上述 3 类成员占城市人口总数的比例。对于传播过程有 3 条基本假设：人口总数为常数 N， N 足够大，可以把变量 S(t)、I(t)、R(t)视为连续 1变量，还可进一步假定为连续可微变量。5：人群中 3 类成员均匀分布，传播方式为接触性传播。单位时间内一个2传染者与他人的接触率为 ，则一个传播者在单位时间内与 S 类成员的接触率为S（ t） ，因此，单位时间内 I 类成
17、员与 S 类成员的接触总数为 N*S（t）*I（t） ， 这就是单位时间内 I 类成员增加的数量，称为发病率，它是 S(t)和 I(t)的双线性函数.：传播者的被控制数正比于传染者的数量 NI（t） ，比例系数为 v，v 称为3被控制率，则平均传染期为 L=1/v 。 = /v 为一个传染者在其传播期内与其他成员的接触总数，称为接触数。那么 SARS 的传播流程如图 3：易感类 NS（t） 传染类 NI（t） 排除类.传 染病 .控制 NI（t）图三. SARS 传播流程图在这个模型中，排除类 NR（t）就是已确诊 SARS 患者累计数，而 N*1-S(t)是全社会累计 SARS 患者数，包括
18、已确诊的和未被发现的两部分。(四) 模型的建立有了以上的机理分析，建立起针对 SARS 的改进模型：(1)=(2)=+=100,0000该模型中参数 和 v 在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：1.参数 表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率 的值。一般认为， 的数值随着 SARS 发展的 4 个阶段不断变化.在 SARS 初期，由于潜伏期的存在和社会对 SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故 维持
19、在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使 得到一定的控制，但效果不明显，此处假设 呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为 按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期， 就维持在一个较低值附近。2.参数 v 表示传播者的被控制率.L=1/v 称为平均传染期，表示一个传播者6在被隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS 患者经过传染期 L 过后，将隔离治疗或者死亡，从 I 类成员变为 R 类，失去传播能力.L 与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离
20、， “早发现，早隔离” ；提供更广范围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期 L 的长度.因此这里将 L 直接抽象为每一时期 SARS 患者的就诊率 （t）的函数。平均传染期 L 应随 （t）的变化而变化。但是在初期，由于政府对 SARS的认识不足，并没有采取有效控制措施， L 的变化很小可以近似看作定值，这里我们取 SARS 病毒最长潜伏期（约 19 天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使 SARS 患者的就诊率 （t）逐渐增加，而平均传染期 L 会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将 SARS 病毒平均潜伏期（约 7 天）定为 L的最小值；在此后的高
21、峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值会维持在 7 天左右。(五) 针对北京疫情的模型求解首先采用数学推导的方法，确定参数 和 v，并证明模型有唯一解。1. 确定 和 v 的关系令 ，方程组中（ 2）/ （1）得：=1+1在病情刚开始时， ，由于 S（t）是单调减少的，且=1+10I（t）最终趋近于 0， 则当 时， I（t）单调减少趋近于 0；当1 时， I（t）先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于 0.1容易知道，当 时，才满足 SARS 的传播规律，所以参数 和 v 的取值必1 须满足这个条件。2. 证明模型有唯一解 在初值条件下解微分方程组： =1+10+0+0=1得
22、到关系式：)()=10+1ln(0令 t 趋于无穷，由 1.得0=10+1ln(0)因为 0，所以令()=10+1ln(0)7则 lim0()=,(0)=100=00当 时，由于 f（x）=0 在(0， )范围内有根，因而在（0， ）内有根。01 ()=1当 时， ,所以 ,因而 f(x)=0 在（0， ）内也有1 ()(0)=00 1根。注意到当 时， ,故 在（0， ）内有唯一根。00 ()=0 1所以， 在（0， ）内有唯一解。13. 划分 SARS 传播的 4 个阶段 由于 SARS 的传播经历了 4 个阶段，所以，要以具体的指标划分这 4 个阶段。因为在 4 个阶段中，日发病率 是一
23、个区分每个阶段特点的关()=()()键特征，所以以日发病率作为划分的指标。从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在 10（人/天）以下.北京疫情期的前 40 天。爆发期：从日发病率 10（人/ 天）到日发病率最大，即 时。北京疫情期=0的 第 40 天到第 74 天。高峰期：从日发病率最大到患者数量最大， 即 时.北京疫情期的第 74=0天到 第 79 天。衰退期：患者数量最大点以后.北京疫情期第 79 天以后。4.确定 和 v 根据北京最终 SARS 患者总数 2521 人以及北京人口总数（约14000000 人） ，得 ，所以 。=1252114000000=0.99981 1=1因为
24、平均传染期 ，而 L 是 SARS 患者就诊率 （t）的函数，且=1 L 7， 19， 所以，这里设计 L 函数为： =71()（t）由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出： 0 0=40 %爆发期 缓慢减少endS(i)=S(i-1)*I(i-1)/14000000; %求解 S,I,Rif iL+2R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);elseR(i)=0;endif i=51F=F-0.5;L=fix(F);if F=LR(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1);endendI(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/1400
25、0000-R(i);t=log(abs(1400001-S(i)/log(10);o(i)=abs(14000001-S(i);p=log(o(i)-o(i-1)/log(10);plot(i+JU-19,t,sr),hold on,plot(i+JU-19,t,sr),if p0.1plot(i+JU-19,p,or),plot(i+JU-19,p,or)endendh=na;g(1)=17;n=1;for i=75:139 %高峰期与衰减期n=n+1;if i80na=h-log(i-73)/35; %在高峰期急剧减少，此后为一定值endR(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1); %求
26、解 S,I,RS(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/14000000;I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/14000000-R(i);t=log(abs(14000001-S(i)/log(10);o(i)=abs(14000001-S(i);p=log(o(i)-o(i-1)+1)/log(10);18plot(i+JU-19,t,sr),plot(i+JU-19,p,or)endend附件 2：时间序列程序function sjx2X(1,:)=9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.
27、4 18.6;X(2,:)=9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9;X(3,:)=10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5;X(4,:)=11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5;X(5,:)=11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7;X(6,:)=13.7 29.7 23.1 28.9
28、 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9;for i=1:12y(i)=0;for j=1:6y(i)=y(i)+X(j,i);endy(i)=y(i)/6;endfor i=1:6 %b? )(?jg ?for j=1:12Z(i,j)=X(i,j)-y(j);endendfor i=1:6p(i)=i-3.5;endb=0;q=0;for i=1:6for j=1:12b=b+p(i)*Z(i,j);endq=q+p(i)2;endb=b/q/12;for i=1:12g(i)=y(i)-b*7/2;endsi=0;for i=1:6for j=1:12si=(Z(i,j)-b*p(i)2;19endendsi=sqrt(si/59);for i=1:12 %预测 2003 年五 SARS 情况下的旅游情况X7(i)=7*b+g(i)+rand*si;end
