1、 GCT 首席辅导机构 http:/第 0 页第三篇 逻辑推理能力1、逻辑的常用符号与关系表序号 符号 读 联结词 含义 可能性(1) 且 但、且、和、同时 同时成立 AB；AB 或 或者或者；至少有一个； 至少有一个 AB 的可能性有三种：AB、AB、AB(2)要么 要么要么（不相容） 只能有一个 A B 的可能性有两种：AB、AB(3) 否 并非、不同意、为假、其他否定 词 不成立1）A；2）（AB）= AB；3）（AB）= A B；4）（A B）= A B；5）（AB）= AB(4) 前推后 必须；是；如果那么；所有都；只要就； 无联结词时：可体现因果关系、推理关系的语句充分条件 AB(
2、5) 后推前 只有才；（只有；才；） A 是 B 的必要条件（先决条件、前提、基础）必要条件 BA(6) AB 否 A 推B 除非 A，否则 B； B，除非 A； 否 A 情况下的充分判断 AB(7) 有 AB 有 A 推B有的（一些、有些）是特性： 范围：1全部 不能取逆否（即BA ） 有 AB =有 BA（海滨互换特性）存在性判断AB”的三种重要特性： 范围：1全部； 不能取逆否（即BA ） ； 有 AB =有 BAGCT 首席辅导机构 http:/第 1 页2、使用概念的逻辑规则表内容提要 大定 义 定义描述 图示 小定义 定义描述 规则概念模糊某些概念的内含和外延都似是而非模模糊糊，难
3、以说个明白（1）不得滥用同一概念造成语义重复概念混淆无意中把两个既有联系又有区别的不同概念混在一起，当做同一概念概念歧义 表达概念的同一个词或词组包含着几种不同含义（2）不得把非同一概念当成同一概念使用1、使用同一概念应遵守的逻辑规则同一概念具有同一关系的概念概念赘余 表达概念的若干词的含义雷同、重复 （3）不得把同一概念当成非同一概念使用限制并列 把属概念进行限制后，再与种概念并列使用递进并列 把属概念摆在种概念后面（1）属种概念一般不能并列使用，否则犯“属种不当”的逻辑错误。但有四种特例可以变通，分别是：限制并列、递进并列、强调并列、比照并列 强调并列提到一类事物时，为强调其中的一个部分，
4、把种概念和属概念并列在一起2、使用属种概念应遵守的逻辑规则属种概念牵着包含后者是“属概念”；后者被前者包含，是“种概念”比照并列为了把两个事物作对比，有时也把种概念和属概念并列使用（2）非包含关系不得作属种关系，否则犯“误作属种”的逻辑错误相容的并列关系有相容关系的、同属同级的种概念和种概念，虽是交叉关系，也可并列使用特定并列在特定情况下，为了叙述方便，根据约定俗成，也可以把交叉概念并列使用3、使用交叉概念应遵守的逻辑规则交叉概念一个概念的外延只与另一个概念的部分外延重合，二者的关系叫交叉关系，具有交叉关系的概念叫交叉概念 强调并列在公文中，为了突出强调某些对象，长把交叉概念并列使用（1）交叉
5、概念一般不能并列使用，但有三种情况可以变通：相容的并列关系、特定并列、强调并列 （1）使用矛盾概念构成的反义词组作判断时不能顾此失彼4、使用矛盾概念应遵守的逻辑规则矛盾概念两个概念的外延互相排斥，而外延之和等于邻近的属概念的外延，二者的关系就是矛盾关系，既有这一关系的概念就是矛盾概念（2）反对概念不得当矛盾概念使用（1）使用反对概念构成的反义词组作判断时不能顾此失彼5、使用反对概念应遵守的逻辑规则反对概念两个概念的外延互相排斥，而外延之和小于邻近的属概念的外延，二者的关系就是反对关系，既有这一关系的概念就是反对概念（2）矛盾概念不得当反对概念使用GCT 首席辅导机构 http:/第 2 页属种
6、不当并列 属种概念一般不能并列使用 （1）属种不当并列交叉不当并列 交叉概念一般不能并列使用 （2）交叉不当并列整分不当并列整体和部分不是属和种的关系，也不是交叉关系，但部分也不能与整体并列（3）整分不当并列跨类并列并列概念可以是不同的种，但必须是同一个大类。表示两个不同类的事物概念不能并列（4）不能跨类并列6、逻辑并列的规则逻辑并列关系指同属、同级的种概念与种概念之间的关系；1)不相容的并列关系:外延相互排斥；2）相容的并列关系：外延有一小部分交叉注意并列顺序使用和时间、方位等方面有关的并列概念，要注意它们排列的先后顺序（5）注意并列顺序3、明确概念的逻辑规则表内容提要 定义 方法 规则 定
7、义定义过宽：被定义概念的外延小于下定义概念的外延属加种差定义法：被定义项=种差+临近的属概念（1）外延相称，否则犯“定义过宽”和“定义过窄”的错误 定义过窄：被定义概念的外延小于下定义概念的外延通过直接列举事物的本质特征下定义（2）不得循环，否则犯“循环定义”的错误不能循环：下定义时，下定义项不能直接或间接的包含被定义项通过直接列举被定义概念的外延（3）不得含混，否则犯“定义模糊不清”和“以比喻代定义的错误”定义模糊不清：下定义时不能用含混不清的概念，也不能用比喻代替下定义1、下定义的规则用比较简明的语言揭示概念内涵的一种逻辑方法通过哲学范畴的对应关系（4）不宜否定（给正定义下定义）不宜否定：
8、下定义时，一般不要使用否定判断，也不宜包含否定概念多出子项：划分后子项外延之和大于母项的外延划分三部分 （1）外延相称，否则犯“多出子项”和“遗漏子项”的错误 遗漏子项：划分后子项外延之和小于母项的外延划分的母项-属概念（2）子项排斥，否则犯子项重叠的错误子项排斥：划分后子项的外延必须互相排斥，否则就会犯“子项重叠”的错误划分的子项-种概念（3）标准统一，否则犯标准混乱的错误标准统一：每次划分必须按统一标准进行2、划分的规则概念划分的三部分组成：母项、子项、标准划分的标准-依据 （4）逐级划分，否则犯越级划分的错误 逐级划分：按照属、种包含关系的固有层次逐级进行划分未加限制：对语言交流中使用的
9、概念，需要限制的必须限制，否则犯“未加限制”的逻辑错误表达方式一：用词组的形式，“定语+中心词”，如“中国人”（1）限制后的概念和限制前的概念有种属关系 多余限制：在语言交流中，对无需限制的概念进行限制3、概念限制的规则概念限制：从外延较宽的概念（属概念）过渡到外延较窄的概念（种概念）的一种逻辑方法表达方式二：用不同的单词对概念直接进行限制，如“食物-水果-梨”（2）单独概念不能进行逻辑限制其他限制不当：概念的限制，要求限制语必须恰当GCT 首席辅导机构 http:/第 3 页（1）不得进行非种属概括 非种属概括：概括后的概念与原概念 没有属种关系4、概念概括的规则概念概括：从外延较窄的概念（
10、种概念）过渡到外延较宽的概念（属概念）的一种逻辑方法概念概括的方法，是通过减少概念的内涵来扩大概念的外延。 （2）防止概括失度概括失度：扩大概念的外延要适度，即要适合实践的要求。4、常用逻辑基本规律表名称 内容 公式 逻辑要求 常犯错误同一律 就是在同一思维过程中，必须在同一意义上使用概念和判断，不能混淆不相同的概念和判断 A 是 A保持概念的同一性保持判断的同一性保持论题的同一性偷换概念混淆概念偷换论题转移论题矛盾律，又称不矛盾律在同一思维过程中，对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。A 不是非 A，或 A不能既是 B 又不是B。思 想 前 后 一 贯 ， 不能 自
11、 相 矛 盾自相矛盾排 中 律 在同一思维过程中，两个相互反对或矛盾的命题不能同时是真的。 要么 A，要么非 A保持思维和表达的明确性“两不可”的错误“未置可否”的错误充 足 理 由 律 要 确 定 某 个 判 断 为 真 ， 就 必 须 有(充 足 )理 由A 真是因为 B 真，并且由 B 可以推出A保持思维有论证性 有论无据理由虚假推导不出5、形式逻辑的 8 种题型及解题技巧表 形式逻辑是一门以思维形式及其规律为主要研究对象，同时也涉及一些简单的逻辑方法的科学。概念、判断、推理是形式逻辑的三大基本要素。概念的两个方面是外延和内涵，外延是指概念包含事物的范围大小，内涵是指概念的含义、性质；判
12、断从质上分为肯定判断和否定判断，从量上分为全称判断、特称判断和单称判断；推理是思维的最高形式，概念构成判断，判断构成推理，从总体上说人的思维就是由这三大要素决定的。 它要求思维满足同一律、矛盾律、排中律和理由充足律。这四条规律要求思维必须具备确定性、无矛盾性、一贯性和论证性。题型 定义 解题技巧摩根公式摩根公式，又称德摩根定律，该公式主要是对括号前有“否”号时去掉括号的规则，该公式一共有两个：1）（AB）= AB。2）（AB）= AB。当运算结果出现“AB”的情况是，正确答案一般只有三种形式：（1）如果那么；（“AB”或“BA”的形式）（2）或者或者；（3）至少有一个；单步推理是指推理只有一步
13、，各逻辑关系之前不能进行传递。单步推理题型是形式逻辑考试部分中的一种较难题型,其原因主要在于单步推理通常会结合逆否规则和摩根公式一起考查。1）第一步，列出各句的逻辑关系，检查是否能够传递。如过不能传递，则为单步推理题型。2）第二步，进行正向判断。如果不能直接判断，就要对推理取“逆否”，再进行判断。3）第三步，以是否符合“三个推理规则”为判断依据，逐个选项进行判断。逆否传递是指题干中有两个以上推理组成，而且推理之间可以进行传递。1）第一步，列出各句的逻辑关系，检查是否能够传递。如果能够传递，则为逆否传递题型。2）第二步，利用传递规则，将所有推理尽可能地传递在一条直线上。如果遇到某个推理传递不了，
14、对其取逆否看能否继续传递。3）第三步，以是否符合“三个推理规则”为判断依据，逐个选项进行判断。削弱推理 题型中蕴含着一个非常好的概念，这个概念是形式逻辑学中的一个重要概念，即“AB”的现实情况一共有四种可能性：AB、AB 、AB、 AB而 AB 为假的情况是唯一的：即只有当 AB 情况出现时为假，其他三种情况出现时则为真。GCT 首席辅导机构 http:/第 4 页真假判断问题。隐含三段论隐含三段论题型实际上是传递规则在推理过程中缺少了一个前提条件，需要把隐含的前提条件补充上，从而构成传递的一种题型。三段论，顾名思义，就是由三段推理组成的论断，其有效形式就是传递规则：ABBC AC1）第一步，
15、列出各句的逻辑关系，观察最后一句话是否出现“因此、所以”等表示结论性的词。如果出现，并且其结论也是推理的形式，那么就是隐含三段论题型。2）第二步，根据描述方式，列出其论证结构，即三段论的形式。3）第三步，寻找使论证成立所缺少的前提，补充前提。不定量词不定量词是指范围“1全部”,但具体是哪种情况并不确定的词，常见的不定量词有“有的是；一些是；有些是；某些是”等。1） 方法一：欧拉图解法和文恩图解法2）方法二：推理证明法（利用海滨互换特性）“有 AB”的第三个特性是：有 AB =有 BA。这是一个互换的特性。模态命题模态词是反映事物或认识的必然性、可能性等，涉及到命题真假的强弱程度。模态词有“可能
16、”、“必然”、“一定”等。这里的“必然”和“一定”是完全等价的。模态命题就是指一切包含模态词的命题。模态转换规则一共有两个：（1） 不 可能 = 必然 不；（2） 不 必然 = 可能 不；此外，为了增加试题难度，在试题中常会结合矛盾关系来一并考察。两个常见的矛盾关系是：(1)不 都=有的 不；（2） 不 有的 = 都 不；当“不”要越过“可能、必然、都、有的”时，进行两种互换：（1）可能 必然(一定)不(可能) = (必然)不不(必然) = (可能)不（2）都 有的不(都) = (有的)不不(有的) = (都)不真话假话话假话题型是我们的逻辑考试中必考题型，这种题型的特点是首先给出几个人的说话
17、内容，然后告知其中有几个人说的是真话，几个人说的是假话，由此进行推导，得出一些确定的事实或结论。此题种题型分为两类：一类是能够从“六种关系”入手的题目；另一类是无法从“六种关系”入手的题目。1）六种关系（入手点）：一、矛盾关系（必一真一假）：（1）A，A（2）所有都，有的不（3）所有都不，有的（4）AB，AB二、矛盾关系（必一真一假）：（5）有的，有的不（至少一真）（6）所有都，所有都不（至少一假）2） 五个解题步骤（所有涉及到六种关系的题目都可以用该方法来解决）：（1）符号化（2）找关系（只找六种关系）（3）推知其余项真假（4）根据其余项真假，得出真实情况（5）带回“矛盾或反对”项，判断其真
18、假解法二：不涉及“六种关系”的真话假话题解法：对于不涉及“六种关系”的真话假话题，通常可以用“归谬法”和“代入验证法”进行判断。条件推理条件推理题型是一种题干给出多个条件，其中有些条件是推理的形式，或者可以转化成推理形式的题目。这类题目涉及到形式逻辑当中的推理，即在其条件中有“”或“”的推理形式。1）第一步，列出各句的逻辑关系，检查是否能够传递。如果能够传递，则为逆否传递题型。2）第二步，利用传递规则，将所有推理尽可能地传递在一条直线上。如果遇到某个推理传递不了，对其取逆否看能否继续传递。3）第三步，以是否符合“三个推理规则”为判断依据，逐个选项进行判断。6、非形式逻辑（日常逻辑）的 9 种基
19、本题型及解题技巧表： 非形式逻辑是逻辑的一个分支，其任务是讲述日常生活中分析、解释、评价、批评和论证建构的非形式标准、尺度和程序” 。这个定义被认为是当今流行的定义。他们认为，非形式逻辑之所以是“非形式的。这主要是因为，它不依赖于形式演绎逻辑的主要分析工具逻辑形式的概念，也不依赖于形式演绎逻辑的主要评价功能有效性。 非形式逻辑所关心的领域是自然语言论证，它有两个方面：（1）日常讨论（公共事务讨论，如报纸社论）；（2）风格化的讨论即一定学科的论证、推论和认识论的特定领域的风格，如不同的科学。这种关键的区分不是日常谈论与风格谈论的问题，而是人工语言与自然语言的问题。不管谈论是什么，后者是非形式逻辑
20、的焦点（把非形式逻辑与关于人工语言和逻辑系统的形式演绎逻辑进行区分的焦点）。GCT 首席辅导机构 http:/第 5 页 日常逻辑在联考逻辑中占有较高的比重。日常逻辑的目的是考核考生对各种信息的理解、判断、分析、综合、推理及类比等日常逻辑思维的能力，而不考察专门的逻辑学知识。 日常逻辑与形式逻辑的主要差异表现在：形式逻辑主要研究的是思维在“形式”上是否正确和有效，即推理的形式是否正确和有效，研究的核心是“形式推理”；日常逻辑主要研究的是思维在“内容”上的推理过程或论证过程是否正确和有效。而绝大多数的论证过程都是建立在“因果关系”基础之上的，因此，“非形式逻辑”研究的核心是“因果关系”。题型 定
21、义 解题技巧假设支持假设是支持的特殊情况，是必要条件的支持。因此，如果该选项是假设，那么该选项一定是支持。如果选项是支持，则不一定是假设。假设题型的问题中通常会出现两种关键词：假设、前提。而支持题的问法中通常也出现两种关键词：加强、支持。1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）快速读题干，找出“因果推理主线”，再对其进行仔细分析。3）围绕“因果推理主线”，配合以下四种常见的方法进行判断。削弱削弱题型的目标是想办法使题干中所描述的因果推理不成立；提问形式一般是：下列哪项如果正确，最能削弱上述结论?/加强上述反驳?/质疑上述结论？l 题干的推理主线：因 果 1. 否因削弱：强调原因不成立，或起不
22、到作用。2. 他因削弱：强调存在别的原因会导致该结果，或者导致不了该结果。3. 反例削弱：举出一个反例，即满足了“因”却没有得到你所说的“果”。4. 因果倒置：A、B 两个现象同时出现 A 导致 B反驳：有可能是 B 导致 A归纳归纳题是从题干中能必然推出或判断出什么，而不能去怀疑题干中推理的合理性。典型问法有：如果上述断定为真，最能加强以下哪项断定？上述断定最能支持以下哪项结论？以下哪项最为恰当地表达了上述断定所要表达的结论？1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）来快速读题干，找出题干中“各种信息”和“推理关系”。3）分析每个选项，依据题干的判断是否能从题干中推出。解释题干所给出的原因按
23、常理是不会导致题干所给出的结果的，故需要你找一个选项能够合理地作出解释，使因果推理成立。典型问法有：以下哪项如果为真，最能解释题干中似乎存在的不一致？以下哪项如果为真，最能解释题干的现象？1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）来快速读题干，找出“因果推理主线” ，分析其冲突或不合理的地方在哪？3）围绕“因果推理主线” ，需找能够缓解题干冲突或不合理之处的选项。评价主要考查的是我们对“因果推理”进行正反两个方面分析的能力，即它柔和了假设支持题型的思路与削弱题型的思路，是一道思维考查全面的综合性题型。问题表现形式有：回答以下哪个问题对评价以上陈述最有帮助？为了评价上述论证，回答以下哪个问题最重
24、要？1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）来快速读题干，找出“因果推理主线”。3）围绕“因果推理主线”，仔细分析推理过程中的逻辑缺陷是什么？4）分析哪个选项是对题干的推理起到了正反两个方面的作用。焦点握题干中一定有正反两种观点相互碰撞。典型问法有：以下哪项最为恰当地概括了上述争论的问题？以下哪项最为准确地概括了两人争论的焦点？1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）来快速读题干，正和反两种观点各自的“因果推理”主线。3）抓住“反方”不同意“正方”的什么？这就是焦点。评论评论题的题干给出一段推理，要求考生评价其推理过程是否正确。如果是正确的，正确在什么地方？如果是错误的，那么为什么错了，错
25、误在什么地方？而题干的推理可能是形式逻辑的形式推理，也可能是日常逻辑的因果推理，但多数情况下是日常逻辑。因此，这种题型会涉及到形式逻1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）快速读题干，判断是形式逻辑还是日常逻辑。如果是形式逻辑，列出其逻辑关系。如果是日常逻辑，找出因果推理。3）再对其进行仔细分析，对照选项，看哪个选项评价的合理。GCT 首席辅导机构 http:/第 6 页辑的知识和日常逻辑的知识，考察对两种逻辑的综合分析能力。平行结构即题干的推理结构与哪个选项的推理结构一致，这就是所谓的上下一致、上下平行，故称为平行结构。由于题干涉及到的内容可能是形式逻辑的，也可能是日常逻辑的，因此也属于混
26、合题型。1）首先看题目的问题，判断是何种题型。2）快速读题干，判断是形式逻辑还是日常逻辑。如果是形式逻辑，列出其逻辑关系。如果是日常逻辑，找出因果推理。3）再对其进行仔细分析，对照选项，看哪个选项的推理结构与题干一致。7、逻辑分析的 2 种基本题型及解题技巧表：题型 定义 解题技巧排序题排序题是较为简单的逻辑分析题型，该题型的题干给出各条件之间的关系要求，通过分析是要求考生根据题干的各种条件，排列出某种顺序。1）依据题干要求，列出各条件之间的关系。2）综合运用列表、画图、排除、归谬等方法，找出解题的突破口。3）如发现某个选项不符合已经推出的某些顺序信息时，可快速排除该选项。匹配题匹配题一般来说
27、其推理过程较为复杂，具有一定的难度。需要考生对题干给出各条件之间的关系进行分析，利用假设和排除等方法进行迂回分析，最终确定匹配结果。1）依据题干要求，列出各条件之间的关系。2）从已知条件入手，利用假设和排除等方法进行逐步分析。GCT 首席辅导机构 http:/第 7 页2012GCT 备考常用数学公式一、算术 1. 数的概念与性质（1 ） 自然数：0，1，2 ，（2 ） 整数：，-2，-1，0 ，1，2 ，（3 ） 分数：将单位“1”分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“% ”来表示。（4 ） 数的整除：当整数 除以非零整
28、数 ，商正好是整数而无非零余数是，则称 能被 整除，或称abab能被 整除。b（5 ） 倍数或约数：当 能被 整除时，称 是 的倍数，或者 是 的约数。aba（6 ） 质数（素数）：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个约数，叫做质数（素数） 。（7 ） 合数：一个正整数，除了 1 和它本身，还有其他约数，叫做合数。（8 ） 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。（9 ） 最小公倍数：所有公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（10 ） 公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。（11 ） 最大公约数：所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。（12 ） 互质数：公
29、约数只有 1 的两个正整数，叫做互质（素）数。2. 数的四则运算定律与运算性质（1 ） 运算定律加法交换律 ab加法结合律 ()()ccab乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 ()ba（2 ） 运算性质交换性质 cbcab/结合性质 ()()ab/0,cbc()3. 比和比例（1 ） 定义：两个数相除又称为两个数的比，即 。表示两个比相等的式子叫做比例，记作:ab。:abcd（2 ） 比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非的数，其比值不变。（3 ） 比例 的性质：（外项积内项积） 或 （互换外项或内项）adbcdcba（合比定理） （分比定理）（合分比定理）abcd二、初等代数1. 绝对
30、值GCT 首席辅导机构 http:/第 8 页（1） 实数 的绝对值记为 ，并规定aa,0,a（2） 绝对值的性质与运算法则 0a b （ ）ab0当 时， ； 。kkak或 aka2. 复数的基本概念以及代数运算（3） 基本概念：虚数单位： 满足 。1i2i一般形式： ，其中 ， 是实数， 是虚数单位。Zabbi实部与虚部： ， 分别称为复数的实部与虚部。共轭复数： 称为 的共轭复数，记为 。i Zabi模： 称为复数 的模2辐角：复数 的辐角 满足 ，Ztan02，（4） 基本形式一般形式（代数形式）： , bi三角形式： , cosn指数形式： iZe（5） 复数的代数运算设 ，1122
31、,aibaib加法运算： 112()()ib减法运算： 122Z乘法运算： 112121iiaiab除法运算： 1 22222bia ii 3. 共轭复数的性质（1） Z（2） ，RGCT 首席辅导机构 http:/第 9 页（3） 1212Z（4） ； 2ZxyZ（5） （ ）12204. 复数的三角形式及运算（1） 复数的三角形式：假设复数 （ ）的模为 ，幅角为 ，则 称为Zaib,R2rabcosinZr复数 的三角形式，且有 ， ， 。cosrsinta（2） 复数的三角形式的运算法则 如果 ， ，则有：111sinZr222cosiZr，22co（ ） 。 11122ssir0 如
32、果 ，则 。coinZcosinnZr 的 次方根有 个，为：si（其中 ）22inkkrn012k,5. 整式乘法的几个常用公式（1） 和的平方： 22(+)abab（2） 差的平方： -（3） 和的立方： 33（4） 差的立方： 2)( （5） 平方差： )(2baba（6） 立方和： 3（7） 立方差： 26. 根式（1） 基本概念：设正整数 ，已知数 ，若有 ，则称 为 的 次方根，记为 。正数的1nanxaxnna正方跟称为算术根，规定零的算术根为零。由方根的定义，有， 。n（2） 根式的运算性质：乘积的方根 （对于 ， ）nnab0ab分式的方根 （对于 ， ）nGCT 首席辅导机
33、构 http:/第 10 页 根式的乘方 （对于 ）mnna0a 根式的化简 （对于 ）p7. 集合（1） 概念：把某些确定的对象汇集成一个整体，称为集合。集合中的各个对象称为元素。不含有任何元素的集合称为空集，记为 。含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。 如果 是集合 的元素，记作 ，否则，记作 。aAaAaA常用集合：自然数集（ ） ，整数集（ ） ，有理数集（ ） ，实数集（ ） ，复数集（ ） 。NZQRC集合的表示方法： 0x（2） 包含关系 子集：如果集合 中任意一个元素都是集合 的元素，记作 或者 ，则称 是BBA的一个子集。 。BBx 相等：如果 且
34、 ，则称集合 和集合 相等，记作 。 真子集：如果 ，集合 和集合 不相等，则称 是 的真子集，记作 。AA（3） 子集的个数 如果集合 中有 个元素，那么集合 的子集个数为 ；nA2n如果集合 中有 个元素，那么集合 的非空子集个数为 ；-1如果集合 中有 个元素，那么集合 的真子集个数为 ；如果集合 中有 个元素，那么集合 的非空真子集个数为 。（4） 运算 概念：假设 ， 是两个集合。所有既属于 又属于 的元素构成的集合，则称为 和ABBA的交集，记作 。所有或者属于 ，或者属于 的元素构成的集合，则称为 和的并集，记作 。假设 是一个集合， 。所有属于 但不属于 的元素构成IAII的集
35、合，则称为 关于 的补集，记作 ，在 明确的条件下，也可记为 。在有关()IC补集的问题中， 也常称为全集。I 集合运算的性质假设 ， ， 为任意三个集合， 为全集，则：C交换律： ， ；ABAB结合律： ， ；BC分配率： ， ；A摩根定律： ， ；等幂律： ， ；吸收律： ， ；0 1 律： ， ， ， ；II互补律： ， ；AIA重叠率： ， 。BB三、几何与三角1. 三角形（1 ） 三角形内角之和： 。23（2 ） 三角形外角等于不相邻的两个内角之和。（3 ） 三角形面积公式，)()(sin21cpbapCabhs 2abc其中 是 边上的高，C 是 边所夹的角， 为三角形的半周长。,
36、（4 ） 三角形三边关系：两边之和大于第三边，即 。（5 ） 几种特殊三角形勾股定理： 。2c等腰直角三角形的三边之比： 。1:三个内角分别是 的直角三角形，三个内角对应的三边之比为 。3069， ， 1:322. 四边形（1 ） 矩形（正方形）：四内角均为 。2矩形两边长为 ， ，面积 ，周长 ，对角线长 。abSab()lab2ab注： 时的矩形称为正方形。（2 ） 平行四边形（菱形）平行四边形两边长是 ， ，以 为底边的高为 ，面积为 ，周长 。hSh()lGCT 首席辅导机构 http:/第 11 页,Pxy rxO注： 时的矩形称为正方形。ab（3 ） 梯形 上底为 ，下底为 ，高为
37、 ，中位线 ，面积为 。h1()2abhbas)(213. 圆和扇形（1 ） 圆 圆的圆心为 O,半径为 r，直径为 d，则周长为 ，面积是 2Rs。l（2 ） 扇形 扇形 OAB 中，圆心角为 ，则 AB 弧长 ，扇形面积 。 Rlls214. 长方体 假设长方体的 3 条相邻的棱边长是 。,abc体积： Vabc全面积： 2()F对角线长： 2d5. 圆柱体 假设圆柱体的高为 ，底半径为 R.h体积： R2侧面积： S侧 全面积： . 2FRh侧底 6. 正圆锥体假设正圆锥体的高为 ，底半径为 R.h体积： V231母线： lR侧面积： ，其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为Sl侧 2R
38、l全面积： . 2FRl侧底 7. 球假设球半径为 R。体积： 。34V面积： 2S8. 三角函数（1 ） 定义 假设 为角 的终边上的任意一点，它与原点的距离),(yxP.022yxyrO则角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义分别为：sinyr的 对 边斜 边 cosr的 邻 边斜 边tax的 对 边的 邻 边 txy的 邻 边的 对 边GCT 首席辅导机构 http:/第 12 页secrx斜 边的 邻 边 csry斜 边的 对 边（2 ） 特殊角的三角函数值 0345609180sin0 1231 0co1 0 -1tan0 31 不存在 0c不存在 1 0 不存在（3 ） 符
39、号 角 的各个三角函数值的符号取决于它终边上一点的坐标的符号，三角函数值在各象限的符号用图概括如下 cs,insec,ocot,tan9. 三角函数的图像和性质（1 ） 图像：（2 ） 性质三角函数名称 定义域 值域 奇偶性 单调性最小正周期x+ y_ +Oyx_ +Oyx+_ +_OGCT 首席辅导机构 http:/第 13 页正弦函数 sinyxR 1,奇函数在 上增，2,2k在 上减。3+, 2T余弦函数 cosyxR 1,偶函数 在 上增，在21,k上减。+， 2T正切函数 tanyx|,2kZR 奇函数 在 上增,2k余切函数 cot|,R 奇函数 在 上减,1T10. 三角函数的周
40、期公式 的最小周期为 ， 的最小周期为sin,0yAx2Ttan,0yAx。T11. 常用的三角函数恒等式（1） 同角三角函数间的关系222csotean1si（2） 诱导公式， ， ，)si( sin)os(ta()tan2， ， ，inncco， ， ，i()s()t()t， ， 。s2ios2sanan（3 ） 和角与差角公式in()cicosssntatta()1GCT 首席辅导机构 http:/第 14 页sin()sicosinco+tanta()1t（4 ） 倍角与半角公式 2222sinsicocoinsicos1tata1cossin21ccostan2（5 ） 积化和差公式 1coscos+csiniin21scossincco2
