1、新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优1专题 动点问题及四边形难题1、如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ；解：（1）过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E（如图（1
2、） ） ，A（-3，4） ，AE=4，OE=3， ，四边形 ABCO 为菱形，OC=CB=BA=OA=5，C（5，0） ，设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，则有 ， ，直线 AC 的解析式为： ；（2）由（1）得 M 点坐标为 ， ，如图（1） ，当 P 点在 AB 边上运动时，由题意得 OH=4， ， = ， ，当 P 点在 BC 边上运动时，记为 P1，OCM=BCM，CO=CB，CM=CM，OMCBMC，OM=BM= ，MOC=MBC=90， ，S= ；2、已知：如图，在直角梯形 中， ，以 为原点建立平面直角坐标系，COAB O三点的坐标分别为 ，点 为线段 的中点，动点 从点A
3、BC， ， (80)1)(04)C， ， ， ， ， DBCP出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 的路线移动，移动的时间为 秒O t（1）求直线 的解析式；新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优2（2）若动点 在线段 上移动，当 为何值时，四边形 的面积是梯形 面积的 ？POAtOPDCOAB27（3）动点 从点 出发，沿折线 的路线移动过程中，设 的面积为 ，请直接写出BD S与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；St t（1）设直线 的解析式为 依题意得：解得 直线 的解析式为 （2）如图，取 OA 的中点 E，连接 DED、E 分别为梯形 OCBA 两腰的中点 为梯形 的中位
4、线 DEOCAB, OCOA则 于 ， ， 又 ， 如图， 点在 上，且四边形 的面积为 时， ， 即 （3）3、如图，已知 ABC 中， 10A厘米， 8BC厘米，点 D为 AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 CABDCO P xy新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优3点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQ 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与CP全等？（2）若
5、点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿AB三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条边上相遇？试题分析：（1） 秒， 厘米， 1 分 厘米，点 为 的中点， 厘米 2 分又 厘米， 厘米， 3 分又 ， ， 5 分 ， ， 6 分又 ， ，则， 7 分点 ，点 运动的时间 秒， 8 分 厘米/秒 10 分（2） 秒 12 分4、如图，已知 AD 与 BC 相交于 E，123，BDCD，ADB90，CHAB 于H，CH 交 AD 于 F. 新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优4（1）求证：CDAB；（2）求证：BDE
6、ACE；（3）若 O 为 AB 中点，求证：OF BE. 12解：（1）BD=CD，BCD=1l=2，BCD=2CDAB。（2） CDABCDA=3，BCD=2=3，且 BE=AE，且CDA=BCDDE=CE在BDE 和ACE 中，DE=CE，DEB=CEA，BE=AEBDEACE。（3）BDEACE，4=1，ACE=BDE=90ACH=90-BCH 又 CHAB， 2=90-BCH ACH=2=1=4，AF=CF AEC=90-4，ECF=90-ACH，ACH=4 AEC=ECF，CF=EF EF=AF O 为 AB 中点，OF 为ABE 的中位线 OF= BE。5、如图 142l，在边长为
7、 a 的菱形 ABCD 中，DAB60，E 是异于 A、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足 A ECF=a，说明：不论 E、F 怎样移动，三角形 BEF 总是正三角形证明：连接 BD，四边形 ABCD 是菱形，AB=AD，DAB=60，ABD 是等边三角形，AB=DB，又AE+CF=a，AE=DF，在ABE 和DBF 中，AB=DBA=BDF=60AE=DF，ABEDBF（SAS），BE=BF，ABE=DBF，EBF=ABD=60，BEF 是等边三角形6、如图 1438，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB =CD， DBC45 ,翻折梯形使点 B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、
8、BC 于点 F、E ，若 AD=2，BC=8，求 BE 的长新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优5（1）DFE 是BFE 翻折而成，BFEDFE，在BDE 中，DE=BE，DBE=45，BDE=DBE=45DEB=90 度即 DEBC（1 分）在等腰梯形 ABCD 中，AD=2，BC=8，EC=0.5（BC-AD）=3BE=BC-EC=5；（3 分）7、在平行四边形 ABCD中， E为 的中点，连接 AE并延长交 DC的延长线于点 F(1)求证： F；(2)当 与 满足什么数量关系时，四边形 BF是矩形，并说明理由 （1）证明：四边形 是平行四边形 E 为 中点 （2）解：当 时，四边形是
9、矩形.理由如下： 四边形 是平行四边形 四边形 是矩形.8、如图 l480，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过点 A作 AGEB，垂足为 G，AG 交 BD 于 F，则 OE=OF（1）请证明 0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB，AG 交 EB 的延长线于 G，AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F，其他条件不变，则仍有OE=OF问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由证明：（1）AGBE AEG+GAE=90AC 和 BD 是正方形两对角线 AC
10、BD OBE+AEG=90，AOF=BOE=90，AO=BOOBE=GAE在AOF 和BOE 中OBE=GAE，AOF=BOE=90，AO=BOAOFBOE OF=OE （2）成立FEDCB A新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优6在正方形 ABC 中 AO=BO AOB=BOE又AGBE GAE+BEA=90 EBD+AEB=90EBD=GAEAOFBOEOE=OF 9、已知：如图 4-26 所示， ABC 中，AB=AC，BAC=90，D 为 BC 的中点，P 为 BC 的延长线上一点，PE直线 AB 于点 E，PF直线 AC 于点 F求证：DEDF 并且相等10、已知：如图 4-27
11、，ABCD 为矩形，CEBD 于点 E，BAD 的平分线与直线 CE 相交于点F求证：CA=CF11、已知：如图 4-56A ，直线 l 通过正方形 ABCD 的顶点 D 平行于对角线 AC，E 为 l 上一点，EC=AC，并且 EC 与边 AD 相交于点F求证：AE=AF本例中，点 E 与 A 位于 BD 同侧如图 4-56B ，点 E 与 A 位于 BD 异侧，直线 EC 与 DA 的延长线交于点 F，这时仍有 AE=AF请自己证明新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优712、如图所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以AC、BC
12、为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1 与 E 重合） ，试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系 （不需要证明）（1）证明：四边形 CADF、CBEG 是正方形，AD=CA，DAC=ABC=90，DAD 1+CAB=90，DD 1AB，DD 1A=AB
13、C=90，DAD 1+ADD 1=90，ADD 1=CAB，在ADD 1和CAB 中，DD 1A=ABC ADD 1=CAB AD=CA，ADD 1CAB（AAS） ，DD 1=AB；（2）解：AB=DD 1+EE1证明：过点 C 作 CHAB 于 H，DD 1AB，DD 1A=CHA=90，DAD 1+ADD 1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD 1+CAH=90，ADD 1=CAH，在ADD 1和CAH 中，DD 1A=“CHA“ ADD 1=CAH AD=CA，ADD 1CAH（AAS） ，DD 1=AH；同理：EE 1=BH，AB=AH+BH=DD 1
14、+EE1；（3）AB=DD 1-EE1证明：过点 C 作 CHAB 于 H，DD 1AB，DD 1A=CHA=90，DAD 1+ADD 1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD 1+CAH=90，ADD 1=CAH，在ADD 1和CAH 中，DD 1A=CHA ADD 1=CAH AD=CA，ADD 1CAH（AAS） ，DD 1=AH；同理：EE 1=BH，AB=AH-BH=DD 1-EE1新北师大版 成都初二动点问题和四边形培优813、如图 1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点（不与 A、C 重合），PEBC 于点E，PFCD 于点 F（1
15、）试说明：BP=DP；（2）如图 2，若正方形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有 BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请画图用反例加以说明；（3）试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与正方形 PECF 的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论；（4）旋转的过程中 AP 和 DF 的长度是否相等，若不等，直接写出 AP：DF= ；（5）若正方形 ABCD 的边长是 4，正方形 PECF 的边长是 1把正方形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中，PBD 的面积是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由（1）证明：在ABP 与ADP 中，AB=ADBAC=DAC，AP=AP，ABPADP，BP=DP（2）解：不是总成立当四边形 PECF 的点 P 旋转到 BC 边上时，DPDCBP，此时 BP=DP 不成立说明：未用举反例的方法说理的不得分（3）解：连接 BE、DF，则 BE 与 DF 始终相等在图 1 中，由正方形 ABCD 可证：AC 平分BCD，PEBC，PFCD，PE=PF，BCD=90，四边形 PECF 为正方形CE=CF，DCF=BCE，BC=CD，BECDFC，BE=DF
