1、1数学经典专题 1 （10.1） 极坐标与参数方程 姓名 1、已知直线 l 的参数方程为 （ 为参数） 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，sincotyxtOx曲线 的极坐标方程为 C2（I）写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 的普通方程；C（II）若 ，求直线 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 的交点的极坐标4l2、已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直C4cos x角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数） （）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；l1inxtyt C（）若直线 与曲线 相交于 、 两点,且 ,求直线
2、 的倾斜角 的值AB14l3、在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴C5cos,inxy Ox为极轴建立极坐标，直线 的极坐标方程为 ， 与 交于 两点.ls24lC,AB（1）求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程；（2）设点 ，求 的值.Cl 0,PP4、在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的l13xty Ox正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 C2cosin（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的面Cl lCAB、A积25、在
3、直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数 . 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的xOyl3,(1xty)x极坐标系中, 曲线 () 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;:2cos.4ClC() 求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.l6、已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2 （）分别写出 C1的普通方程，C 2的直角坐标方程（）已知 M、N 分别为曲线 C1的上、下顶点，点 P 为曲线 C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值7、在平面直角坐标系 中，曲线 ： ，曲线 ： （ 为参数
4、） ，以坐标原点xOy1C340xy2Ccos1inxy为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . （）求曲线 ， 的极坐标方程；O 2（）曲线 ： （ 为参数， ， ）分别交 ， 于 ， 两点，当 取何值时，3Ccosinxtyt0t212AB取得最大值.BOA8、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 sin（+ ）=2（）直接写出 C1 的普通方程和极坐标方程，直接写出 C2 的普通方程；3（）点 A 在 C1 上，点 B 在 C2 上，求|AB|的最小值9、在平面直角坐标系 中，直
5、线 的参数方程为 （ 为参数） 以 为极点， 轴的正半轴为极轴，xOyl321xtyOx建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ ） ，且曲线 与直线 有且仅有一个公共点Ccosa0Cl（）求 ； （）设 、 为曲线 上的两点，且 ，求 的最大值aABC3AB|AB10、以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，点 的极Ox P(1,2)M坐标为 ，圆 以 为圆心， 为半径 （1）若直线 过点 ，且倾斜角为 ，求直线 的参数方程和圆(3,)2CM3l 6l的极坐标方程；（2）若直线 过点 ，且倾斜角为 ，且 与圆 相交于 两点，求 的最大值及ClPlC,
6、ABAPB 相应的 值11、直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （其中 为参数） ，曲线 ，以原点xOy1C2cosinxy 22:0xyC为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 分别交于点 (均异于原点 ) :0l12,ABO（1）求曲线 的极坐标方程；（2）当 时，求 的取值范围.1,C02a2OAB12、在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数） ，以坐标原点 为极xOyCcosinxay0aO点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程 x l 3()2（1）若曲线 与 只有一个公共点，求 的值；Cla4（2） 为曲线 上的两点，且 ，求
7、的面积最大值,ABC3AOBA13.已知曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为 ,两曲线相交于 A、B 两点。1C2cos82C()6R（1）求 A、B 两点的极坐标；（2）曲线 与直线 分别相交于 M、N 两点，求线段 MN 的长。13(12xty为 参 数 ）14.以平面直角坐标系的原点为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的参数方程为x C,直线 的极坐标方程为 .2cos(3inxy为 参 数 ） lcos()236（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）设点 P 为曲线 上任意一点,求点 P 到直线 的距离的l l最大值.15.平面直角坐标系 中，
8、曲线 .直线 经过点xOy1)(:2yxCl，且倾斜角为 .以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.)0,(mP6（1）写出曲线 的极坐标方程与直线 的参数方程；（2）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，Cl lCBA, 1PB求实数 的值.16在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 （t 为参数）与曲线 （ 为参数）相交于不同两点 A，B（1）若 ，求线段 AB 中点 M 的坐标；5（2）若|PA|PB|=|OP| 2，其中 ，求直线 l 的斜率数学经典专题 1 （10.1） 极坐标与参数方程参考答案1、 （）直线 l 经过定点 ，由 得 ，得曲线 的普通方程为 ，),(2cos
9、2)cos(C22)(xy化简得 ；（）若 ，得 ，的普通方程为 ， 则直线 的极坐标方程为42xy4tyx1xyl，联立曲线 ： 得 ，取 ，得 ，所以直线 l 与曲线 的交点为cosinC2cos1sin2C )2,(2、 （）由 得 , , , 曲线 的直角坐标方程为4cs24cs22xycosxiny,即 . （）将 代入圆的方程得 ,化简得0xyxy1sint22s1si4tt设 两点对应的参数分别为 、 ,则 2cos3t,AB1t212co,3.t , , 或 2212114cos4ABttt2s2433.4、 （1）由曲线 的极坐标方程是： ，得 由曲线 的直角坐标方程是： 由
10、直C2cosin2incosC2yx线 的参数方程 ，得 代入 中消去 得： ，所以直线 的普通方程为：l13xtyy1xt40xyl （2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程 ，得 ，设 两点对应的参数分别为40xlC2287t,AB，所以 ，因为原点到直线 的距离12,t 21211()4876ABttt40xy，所以 的面积是 dOB21Ad65、 ( ) 由消去 得 ,所以直线 的普通方程为 . 由3,1xty40xyl40xy2cos4, 得 .将2cosins2cosin42cos2in2,inyxy代入上式, 得曲线 的直角坐标方程为 , 即 . () 法 1:设曲线 上的点
11、为Cxy1x C, 则点 到直线 的距离为12cos,inPPl2cosin4d2sico2当 时, , 所以曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .in4.si14maxCl法 2: 设与直线 平行的直线为 , 当直线 与圆 相切时, 得 , 解得 或 (舍去), l:0lxyb l12b04b所以直线 的方程为 .所以直 线 与直线 的距离为 . 所以曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 . 0l042dl26、 （1）因为曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，所以曲线 C1 的普通方程为 由曲线 C2 的极坐标方程为 =2 得，曲线 C2 的普通方程为 x2+y2=4；（2）法一：由
12、曲线 C2：x 2+y2=4，可得其参数方程为 ，所以 P 点坐标为（2cos，2sin ） ，由题意可知 M（0， ） ，N（0， ） 因此 PM|+|PN|= + 则（|PM|+|PN|）2=14+2 所以当 sin=0 时， （|PM|+|PN|） 2 有最大值 28， 因此|PM|+|PN|的最大值为 法二：设 P点坐标为（x，y） ，则 x2+y2=4，由题意可知 M（0， ） ，N（0， ） 因此|PM|+|PN|= += + 则（|PM |+|PN|） 2=14+2 所以当 y=0 时， （|PM|+|PN |） 2 有最大值 28，因此|PM|+|PN|的最大值为 7.78、
13、（）由 ，得 ，两式平方作和得：（x+2） 2+y2=4，C 1 的极坐标方程为 =4cos，由 sin（+）=2 ，得 ，即 ，得 x+y4=0 （）C 1 是以点（2，0）为圆心，半径为 2 的圆，C 2 是直线圆心到直线 C2 的距离为 2，直线和圆相离|AB |的最小值为9、解：（）直线 的普通方程是 ，曲线 的直角坐标方程是 ，依题意直线 与圆相切，l30xy22()xayl则 ，解得 或 ，因为 ，所以 （）如图，不妨设 ， ，则|3|2ada1a11(,)A2(,)3B， ，1coscos()312|OABcos3cosin，3()6所以 ，即 ， 时， 最大值是 2k6kZ|1
14、0、 （）直线 的参数方程为 ， （答案不唯一）圆的极坐标方程为 .(要有相应过程) l31,2xty为 参 数 ）( sin6（）法一、把 代入 ，得 ， ，设点 对应的参数1cos,2inxty22(3)9xy2(cosin)70tt127t,AB分别为 ，则 , 12,t12,PAtBt123|.i(),4PABt当 有 最 大 值11、.解（1） ， ，由 得曲线 的极坐标方程为cosinxy2xycosinxy， 1C， ，曲线 的极坐标方程为 ；（2）由（1）得22=si202sin， ，21inOA24 siOBn ，2 22si1sin4i1iB02， ， 的取值范围为 .2s
15、i26s9inOAB,512、 （1）曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆，直线 的直角坐标方程为 ，由直线 与圆 只有一个公共C(,0)aal3xylC点，则可得 ，解得： （舍） ， ，所以 .|3|231a（2）曲线 的极坐标方程为 ， 设 的极角为 ， 的极角为 ，则2cos(0)AB381|sin23OABS|2cos|()|43a2|cos()|3a21cos()coi sin4111(incos(2)44所以当 时， 取得最大值 . 的面积最大值 .61s()34OAB2a13.14.15. (1) 即 , (2), .916.（1）当 时，由 ，得 ，所以直线方程为 ，由 ，得曲线 C 的普通方程为 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）再由 ，得：13x 224x+8=0，所以 ， ，所以 M 的坐标为（2）把直线的参数方程代入 ，得： ，所以 ，由|PA|PB|=|t 1t2|=|OP|2=7，得： ，所以 ，所以 ，所以 所以直线 L 的斜率为
